Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno

Capa......Page 1
Título......Page 2
Sumário......Page 3
I. Introdução......Page 5
1.1 Alguns Modelos Matemáticos Básicos; Campos de Direção......Page 6
PROBLEMAS......Page 10
1.2 Soluções de Algumas Equações Diferenciais......Page 12
PROBLEMAS......Page 17
1.3 Classificação de Equações Diferenciais......Page 19
PROBLEMAS......Page 24
1.4 Notas Históricas......Page 25
REFERÊNCIAS......Page 27
2.1 Equações Lineares; Método dos Fatores Integrantes......Page 28
PROBLEMAS......Page 34
2.2 Equações Separáveis......Page 36
PROBLEMAS......Page 41
2.3 Modelagem com Equações de Primeira Ordem......Page 43
PROBLEMAS......Page 50
2.4 Diferenças entre Equações Lineares e Não Lineares......Page 57
PROBLEMAS......Page 63
2.5 Equações Autônomas e Dinâmica Populacional......Page 65
PROBLEMAS......Page 72
2.6 Equações Exatas e Fatores Integrantes......Page 77
PROBLEMAS......Page 81
2.7 Aproximações Numéricas: o Método de Euler......Page 82
PROBLEMAS......Page 89
2.8 0 Teorema de Existência e Unicidade......Page 90
PROBLEMAS......Page 96
2.9 Equações de Diferenças de Primeira Ordem......Page 98
PROBLEMAS......Page 105
PROBLEMAS Problemas Variados......Page 106
III. Equações Lineares de Segunda Ordem......Page 109
3.1 Equações Homogêneas com Coeficientes Constantes......Page 110
PROBLEMAS......Page 115
3.2 Soluções de Equações Lineares Homogêneas; o Wronskiano......Page 116
PROBLEMAS......Page 123
3.3 Raizes Complexas da Equação Característica......Page 126
PROBLEMAS......Page 130
3.4 Raízes Repetidas; Redução de Ordem......Page 132
PROBLEMAS......Page 137
3.5 Equações Não Homogêneas; Método dos Coeficientes Indeterminados......Page 139
PROBLEMAS......Page 146
3.6 Variação dos Parâmetros......Page 148
PROBLEMAS......Page 151
3.7 Vibrações Mecânicas e Elétricas......Page 153
PROBLEMAS......Page 161
3.8 Vibrações Forçadas......Page 165
PROBLEMAS......Page 171
4.1 Teoria Geral para Equações Lineares de Ordem n......Page 174
PROBLEMAS......Page 179
4.2 Equaciies Homogêneas corn Coeficientes Constantes......Page 180
PROBLEMAS......Page 184
4.3 O Método dos Coeficientes Indeterminados......Page 187
PROBLEMAS......Page 189
4.4 0 Método de Variação dos Parâmetros......Page 190
PROBLEMAS......Page 192
V. Soluções em Série para Equações Lineares de Segunda Ordem......Page 193
5.1 Revisão de Séries de Potências......Page 194
PROBLEMAS......Page 198
5.2 Soluções em Série Perto de um Ponto Ordinário, Parte I
......Page 199
PROBLEMAS......Page 206
5.3 Soluções em Série Perto de um Ponto Ordinário, Parte II......Page 207
PROBLEMAS......Page 210
5.4 Equações de Euler; Pontos Singulares Regulares......Page 212
PROBLEMAS......Page 219
5.5 Soluções em Série Perto de um Ponto Singular Regular, Parte I
......Page 220
PROBLEMAS......Page 223
5.6 Soluções em Série Perto de um Ponto Singular Regular, Parte II
......Page 225
PROBLEMAS......Page 229
5.7 Equação de Bessel
......Page 231
PROBLEMAS......Page 238
REFERÊNCIAS......Page 240
6.1 Definição da Transformada de Laplace......Page 241
PROBLEMAS......Page 245
6.2 Solução de Problemas de Valores Iniciais
......Page 247
PROBLEMAS......Page 252
6.3 Funções Degrau
......Page 255
PROBLEMAS......Page 259
6.4 Equações Diferenciais sob a Ação de Funções Descontínuas
......Page 261
PROBLEMAS......Page 265
6.5 Funções de Impulso......Page 267
PROBLEMAS......Page 270
6.6 A Convolução......Page 272
PROBLEMAS......Page 276
REFERÊNCIAS......Page 278
7.1 Introdução......Page 279
PROBLEMAS......Page 282
7.2 Revisão de Matrizes......Page 285
PROBLEMAS......Page 291
7.3 Sistemas de Equações Lineares Algébricas; Independência Linear, Autovalores e Autovetores
......Page 292
PROBLEMAS......Page 300
7.4 Teoria Básica de Sistemas de Equações Lineares de Primeira Ordem......Page 301
PROBLEMAS......Page 304
7.5 Sistemas Lineares Homogêneos corn Coeficientes Constantes......Page 305
PROBLEMAS......Page 311
7.6 Autovalores Complexos......Page 314
PROBLEMAS......Page 320
7.7 Matrizes Fundamentais......Page 324
PROBLEMAS......Page 329
7.8 Autovalores Repetidos......Page 330
PROBLEMAS......Page 335
7.9 Sistemas Lineares Não Homogêneos......Page 338
PROBLEMAS......Page 343
REFERÊNCIAS......Page 345
8.1 0 Método de Euler ou Método da Reta Tangente......Page 346
PROBLEMAS......Page 352
8.2 Aprimoramentos no Método de Euler......Page 354
PROBLEMAS......Page 357
8.3 0 Método de Runge-Kutta......Page 359
PROBLEMAS......Page 361
8.4 Métodos de Passos Múltiplos......Page 362
PROBLEMAS......Page 366
8.5 Mais sobre Erros; Estabilidade......Page 367
PROBLEMAS......Page 373
8.6 Sistemas de Equações de Primeira Ordem......Page 374
PROBLEMAS......Page 376
REFERÊNCIAS......Page 377
9.1 0 Plano de Fase: Sistemas Lineares......Page 378
PROBLEMAS......Page 385
9.2 Sistemas Autônomos e Estabilidade......Page 387
PROBLEMAS......Page 393
9.3 Sistemas Localmente Lineares......Page 394
PROBLEMAS......Page 401
9.4 Espécies em Competição
......Page 404
PROBLEMAS......Page 411
9.5 Equações Predador-Presa......Page 414
PROBLEMAS......Page 419
9.6 0 Segundo Método de Liapunov......Page 421
PROBLEMAS......Page 427
9.7 Soluções Periódicas e Ciclos Limites
......Page 429
PROBLEMAS......Page 436
9.8 Caos e Atratores Estranhos: as Equações de Lorenz
......Page 439
PROBLEMAS......Page 444
X. Equações Diferenciais Parciais e Séries de Fourier......Page 446
10.1 Problemas de Valores de Contorno para Fronteiras corn Dois Pontos
......Page 447
PROBLEMAS......Page 451
10.2 Séries de Fourier
......Page 452
PROBLEMAS......Page 458
10.3 0 Teorema de Convergência de Fourier
......Page 460
PROBLEMAS......Page 464
10.4 Funções Pares e Ímpares
......Page 466
PROBLEMAS......Page 470
10.5 Separação de Variáveis, Condução de Calor em uma Barra
......Page 472
PROBLEMAS......Page 477
10.6 Outros Problemas de Condução de Calor
......Page 478
PROBLEMAS......Page 484
10.7 A Equação de Onda: Vibrações de uma Corda Elástica......Page 486
PROBLEMAS......Page 493
10.8 Equação de Laplace......Page 497
PROBLEMAS......Page 502
Apêndice A. Dedução da Equação de Calor......Page 505
Apêndice B. Dedução da Equação de Onda......Page 508
REFERÊNCIAS......Page 510
11.1 A Ocorrência de Problema de Valores de Contorno em Fronteiras corn Dois Pontos
......Page 511
PROBLEMAS......Page 515
11.2 Problemas de Valores de Contorno de Sturm-Liouville
......Page 517
PROBLEMAS......Page 524
11.3 Problemas de Valores de Contorno Não Homogêneos
......Page 527
PROBLEMAS......Page 534
11.4 Problemas de Sturm-Liouville Singulares......Page 538
PROBLEMAS......Page 542
11.5 Observações Adicionais sobre o Método de Separação de Variáveis: Uma Expansão em Funções de Bessel......Page 543
PROBLEMAS......Page 546
11.6 Séries em Funções Ortogonais: Convergência na Média
......Page 548
PROBLEMAS......Page 553
REFERÊNCIAS......Page 554
CAPÍTULO 1......Page 555
CAPÍTULO 2......Page 556
CAPÍTULO 3......Page 562
CAPÍTULO 4......Page 567
CAPÍTULO 5......Page 568
CAPÍTULO 6......Page 575
CAPÍTULO 7......Page 578
CAPÍTULO 8......Page 586
CAPÍTULO 9......Page 590
CAPÍTULO 10......Page 595
CAPÍTULO 11......Page 601