Cet ouvrage est la quatrième édition d'un livre devenu aujourd'hui un classique sur la théorie des équations différentielles ordinaires. Le cours théorique de base est accompagné d'un exposé détaillé des méthodes numériques qui permettent de résoudre ces équations en pratique. De multiples techniques de l'analyse numérique sont présentées : interpolation polynomiale, intégration numérique, méthodes itératives pour la résolution d'équations. Suit un exposé rigoureux des résultats sur l'existence, l'unicité et la régularité des solutions des équations différentielles, avec étude détaillée des équations du premier et du second ordre, des équations et systèmes linéaires à coefficients constants. Enfin, sont décrites les méthodes numériques à un pas ou multi-pas, avec étude comparative de la stabilité et du coût en temps de calcul. De nombreux exemples concrets, des exercices et problèmes d'application en fin de chapitre facilitent l'apprentissage. Plusieurs améliorations ont été apportées dans cette dernière version. De nouveaux problèmes ou exercices ont été introduits dans presque tous les chapitres. La principale nouveauté est que l'ouvrage est maintenant un pap-ebook : le site compagnon en accès libre propose au lecteur des compléments théoriques et pratiques, ainsi que la correction d'un grand nombre d'exercices. Cet ouvrage accessible aux L3, M1 et M2 de mathématiques est très utilisé pour la préparation aux concours de l'enseignement. Il constitue un outil de référence pour les enseignants, chercheurs et scientifiques d'autres disciplines.
Author(s): Jean-Pierre Demailly
Series: Collection Grenoble Sciences
Edition: 4
Publisher: EDP Sciences
Year: 2016
Language: French
Pages: 375
Table des matières
Introduction
Chapitre I. Calculs numériques approchés
1. Cumulation des erreurs d’arrondi
2. Phénomènes de compensation
3. Phénomènes d’instabilité numérique
Chapitre II. Approximation polynomiale des fonctions numériques
1. Méthode d’interpolation de Lagrange
2. Convergence des polynômes d’interpolation pn quand n tend vers +∞
3. Meilleure approximation uniforme
4. Stabilité numérique du procédé d’interpolation de Lagrange
5. Polynômes orthogonaux
6. Problèmes
Chapitre III. Intégration numérique
1. Méthodes de quadrature élémentaires et composées
2. Évaluation de l’erreur
3. Méthodes de Gauss
4. Formule d’Euler-Maclaurin et développements asymptotiques
5. Méthode d’intégration de Romberg
6. Problèmes
Chapitre IV. Méthodes itératives pour la résolution d’équations
1. Principe des méthodes itératives
2. Cas des fonctions d’une variable
3. Cas des fonctions de Rm dans Rm
4. Le théorème des fonctions implicites
5. Problèmes
Chapitre V. Équations différentielles, Résultats fondamentaux
1. Définitions. Solutions maximales et globales
2. Théorème d’existence des solutions
3. Théorème d’existence et d’unicité de Cauchy-Lipschitz
4. Équations différentielles d’ordre supérieur à un
5. Problèmes
Chapitre VI. Méthodes de résolution explicite des équations différentielles
1. Équations du premier ordre
2. Équations du premier ordre non résolues en y'
3. Problèmes géométriques conduisant à des équations différentielles du premier ordre
4. Équations différentielles du second ordre
5. Problèmes
Chapitre VII. Systèmes différentiels linéaires
1. Généralités
2. Systèmes différentiels linéaires
3. Équations différentielles linéaires d’ordre p à coefficients constants
4. Systèmes différentiels linéaires à coefficients variables
5. Problèmes
Chapitre VIII. Méthodes numériques à un pas
1. Définition des méthodes à un pas, exemples
2. Étude générale des méthodes à un pas
3. Méthodes de Runge-Kutta
4. Contrôle du pas
5. Problèmes
Chapitre IX. Méthodes à pas multiples
1. Une classe de méthodes à pas constant
2. Méthodes d’Adams-Bashforth
3. Méthodes d’Adams-Moulton
4. Méthodes de prédiction-correction
5. Problèmes
Chapitre X. Stabilité des solutions et points singuliers d’un champ de vecteurs
1. Stabilité des solutions
2. Points singuliers d’un champ de vecteurs
3. Problèmes
Chapitre XI. Équations différentielles dépendant d’un paramètre
1. Dépendance de la solution
2. Méthode des petites perturbations
3. Problèmes
Références
Formulaire et principaux résultats
Index terminologique
Index des notations
