Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация

1.1.2. Взаимодействие системы с окружающей средой......Page 24
1.1.3. Входные и выходные сигналы и состояние системы......Page 25
1.1.4. Математическая модель системы......Page 26
1.1.5. Виды математических моделей......Page 28
1.2.1. Оператор системы......Page 30
1.2.2. Линейные и нелинейные системы......Page 33
1.2.3. Весовая функция одномерной линейной системы......Page 35
1.2.4. Весовая функция многомерной линейной системы......Page 37
1.2.5. Типовая структура технических систем......Page 39
1.2.6. Дифференциальные системы......Page 40
1.2.7. Уравнения дифференциальной системы при автоматическом управлении......Page 41
1.2.9. Передаточная функция стационарной линейной системы......Page 44
1.2.10. Частотная характеристика стационарной линейной системы......Page 46
1.3.2. Весовая функция......Page 48
1.3.3. Определение весовой функции методом сопряженных систем......Page 51
1.3.4. Приведение уравнений линейной системы к форме Коши......Page 52
1.3.5. Обратные системы......Page 56
1.3.6. Передаточная функция стационарной линейной системы......Page 60
1.3.7. Нахождение дифференциального уравнения по данной передаточной функции......Page 63
1.4.1. Общая форма уравнений стохастических дифференциальных систем......Page 65
1.4.2. Уравнения стохастической дифференциальной системы при автоматическом управлении......Page 67
1.4.3. Системы со случайно изменяющейся структурой......Page 69
1.4.4. Линейные стохастические дифференциальные системы......Page 71
1.4.5. Линейные системы с параметрическими шумами......Page 72
1.5.1. Системы, описываемые функционально-дифференциальными уравненными......Page 73
1.5.2. Приведение интегро-дифференциальных систем к дифференциальным......Page 74
Задачи......Page 78
2.1.1. Определение случайной функции......Page 84
2.1.2. Конечномерные распределения случайной функции......Page 85
2.1.3. Марковские случайные процессы......Page 89
2.1.4. Вероятности событий, связанных со случайными функциями......Page 91
2.2.1. Математическое ожидание......Page 92
2.2.2. Ковариационная функция скалярной случайной функции......Page 93
2.2.3. Взаимная ковариационная функция скалярных случайных функций......Page 96
2.2.5. Белый шум......Page 97
2.2.7. Корреляционные функции......Page 100
2.2.8. Нормально распределенные случайные функции......Page 102
2.2.9. Начальные моменты второго порядка......Page 103
2.2.11. Свойства моментов второго порядка......Page 104
2.2.12. Моменты высших порядков......Page 106
2.3.1. Ортогональное разложение плотности......Page 107
2.3.2. Разложение плотности по полиномам Эрмита......Page 113
2.3.3. Связь между квазимоментами и семиинвариантами......Page 114
2.3.4. Ряд Эджуорта......Page 116
2.3.5. Согласованные биортогональные системы полиномов......Page 119
2.3.6. Согласованные ортогональные разложения конечномерных плотностей......Page 120
2.3.7. Согласованные разложения конечномерных плотностей по полиномам Эрмита......Page 122
2.4.1. Вводные замечания......Page 123
2.4.2. Средняя квадратическая сходимость......Page 124
2.4.3. Средняя квадратическая непрерывность случайной функции......Page 126
2.4.4. Дифференцирование случайных функций......Page 127
2.4.5. Интегрирование случайных функций......Page 130
2.4.6. Средние квадратические интегралы с переменными пределами......Page 133
2.4.7. Формула интегрирования по частям......Page 134
2.4.8. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений, содержащих случайные функции......Page 135
2.4.9. Слабая средняя квадратическая сходимость и обобщенные случайные функции......Page 137
2.4.11. Производные белого шума......Page 143
2.4.10. Интегралы, содержащие белый шум......Page 142
Задачи......Page 145
3.1.1. Процессы с некоррелированными приращениями......Page 152
3.1.2. Стохастический интеграл......Page 156
3.1.4. Интегрирование по частям......Page 160
3.1.5. Аппроксимация стохастического интеграла......Page 162
3.1.6. Белый шум как производная процесса с некоррелированными приращениями......Page 164
3.1.7. Стохастические интегралы как интегралы, содержащие белый шум......Page 168
3.2.1. Стохастические меры......Page 169
3.2.2. Стохастический интеграл......Page 171
3.2.3. Интегральные канонические представления случайных функций......Page 173
3.3.1. Определение......Page 175
3.3.2. Решение линейного уравнения......Page 176
3.3.3. Линейные уравнения высших порядков......Page 178
3.4.1. Процессы с независимыми приращениями......Page 179
3.4.2. Белый шум в строгом смысле......Page 185
3.4.3. Винеровские процессы......Page 186
3.4.4. Интегральное представление общего пуассоновского процесса......Page 187
3.4.5. Общая форма процесса с независимыми приращениями......Page 191
3.4.6. Интеграл Ито......Page 193
3.4.8. Другие виды стохастических интегралов......Page 196
3.4.10. Общий интеграл Ито......Page 198
3.5.1. Дифференциал Ито......Page 199
3.5.2. Дифференцирование сложной функции в случае винеровского процесса......Page 200
3.5.3. Дифференцирование сложной функции в случае пуассоновского процесса......Page 203
3.5.4. Дифференцирование сложной функции в общем случае......Page 205
3.5.5. Другие виды стохастических дифференциалов......Page 210
3.6.1. Уравнение Ито......Page 214
3.6.3. Замена переменных в уравнении Ито......Page 216
3.6.4. Другие виды стохастических дифференциальных уравнений......Page 218
3.6.5. Приведение стохастического дифференциального уравнения к уравнению Ито......Page 219
3.6.6. О численном интегрировании стохастических дифференциальных уравнений......Page 221
Задачи......Page 223
4.1.1. Определение стационарной случайной функции......Page 226
4.1.2. Свойства стационарных случайных функций......Page 227
4.1.3. Стационарно связанные случайные функции......Page 230
4.1.4. Дифференцирование стационарных случайных функций......Page 231
4.1.5. Некоторые типовые ковариационные функции......Page 232
4.1.6. Случайные функции, приводимые к стационарным......Page 234
4.2.1. Стационарные случайные функции с дискретным спектром......Page 237
4.2.2. Стационарные случайные функции с непрерывным спектром......Page 238
4.2.3. Спектральная функция и спектральная плотность......Page 241
4.2.4. Спектральное разложение......Page 242
4.2.5. Свойства спектральной плотности......Page 251
4.2.7. Интервал корреляции стационарной случайной функции......Page 253
4.3.1. Спектральные плотности производных......Page 255
4.3.2. Стационарные линейные системы со случайными входными сигналами......Page 256
4.3.3. Вычисление дисперсий и ковариаций компонент сигналов......Page 258
Задачи......Page 260
5.1.1. О принципиальном возможности замены случайной функции в дифференциальном уравнении белым шумом......Page 264
5.1.2. Уравнение Ито, соответствующее данному уравнению......Page 265
5.1.3. О практической возможности замены случайной функции в дифференциальном уравнении белым шумом......Page 269
5.1.4. Метод формирующих фильтров......Page 270
5.1.5. Формирующий фильтр для стационарного случайного процесса......Page 272
5.1.6. Формирующий фильтр для стационарного векторного процесса......Page 279
5.1.7. Формирующий фильтр для процесса, приводимого к стационарному......Page 280
5.1.9. Стохастические уравнения системы......Page 282
5.2.2. Формулы для моментов первого и второго порядков......Page 284
5.2.3. Дифференциальное уравнение для математического ожидания......Page 285
5.2.5. Дифференциальное уравнение для момента второго порядка......Page 286
5.2.6. Дифференциальное уравнение для ковариационной функции......Page 287
5.2.7. Стационарные процессы в стационарных линейных системах......Page 289
5.3.1. Одномерная характеристическая функция......Page 291
5.3.2. Конечномерные характеристические функции......Page 297
5.3.3. Конкретная форма уравнений для характеристических функций......Page 299
5.3.5. Формулы для функции х......Page 300
5.3.6. Уравнение для конечномерных плотностей в случае винеровского процесса......Page 302
5.3.7. Уравнение для переходной плотности в случае винеровского процесса......Page 306
5.3.8. Случай полиномиальной правой части и независимого от состояния системы коэффициента при белом шуме......Page 307
5.3.9. Случай полиномиальной правой части и нормального белого шума......Page 308
5.3.10. Системы со случайно изменяющейся структурой......Page 310
5.3.11. Стационарные процессы в стохастических дифференциальных системах......Page 316
5.4.2. Интегрирование уравнений для характеристических функций......Page 320
5.4.3. Явные формулы для конечномерных характеристических функций......Page 323
5.4.4. Случай нормального распределения состояния системы......Page 329
5.4.5. Стационарные в узком смысле процессы в стационарных линейных системах......Page 331
5.5.1. Стохастические интегро-дифференциальные системы......Page 333
5.5.2. Приведение стохастических интегро-дифференциальных уравнений к стохастическим дифференциальным уравнениям......Page 334
Задачи......Page 336
6.1.1. Непосредственное определение конечномерных характеристических функций......Page 346
6.1.3. Определение одномерной плотности......Page 347
6.1.4. Определение многомерных плотностей......Page 348
6.2.2. Формула для производной момента второго порядка......Page 350
6.2.4. Формулы для производных момента второго порядка и ковариационной функции......Page 353
6.2.5. Бесконечная система уравнений для моментов......Page 354
6.2.6. Линейные системы с параметрическими шумами......Page 357
6.2.7. Стационарные процессы в линейных системах с параметрическими шумами......Page 360
6.3.1 . Одномерное распределение......Page 361
6.3.2. Многомерные распределения......Page 365
6.3.3. Приближенное определение стационарных процессов в нелинейных системах......Page 368
6.3.4. Параметризация распределений......Page 369
6.4. 1. Одномерное распределение. Начальные моменты......Page 370
6.4.2. Одномерное распределение. Центральные моменты......Page 374
6.4.3. Вычисление подынтегральных функций в уравнениях......Page 378
6.4.4 . Многомерные распределения. Начальные моменты......Page 384
6.4.5. Многомерные распределения. Центральные моменты......Page 387
6.5.1. Метод семиинвариантов. Одномерное распределение......Page 392
6.5.3. Моментно-семиинвариантный метод......Page 396
6.6.1. Ортогональное разложение одномерного распределения......Page 400
6.6.2. Метод квазимоментов......Page 404
6.6.3. Вычисление подынтегральных функций в уравнениях......Page 405
6.6.4. Согласованные ортогональные разложения конечномерных распределений......Page 407
6.6.5. Согласованные разложения по полиномам Эрмита......Page 413
6.6.7. Сокращение числа уравнений......Page 415
6.7.1 . Эллипсоидальная аппроксимация одномерного распределении......Page 419
6.7.2. Уравнения для параметров распределения......Page 420
6.7.3. Вычисление подынтегральных функций в уравнениях......Page 426
6.7.4. Разложение одномерной, плотности по полиномам, ортогональным по отношению к х2-распределению......Page 427
6.7.5. Вычисление типовых интегралов в уравнениях для параметров распределения......Page 428
6.7.6. Моменты вектора состояния системы......Page 440
Задачи......Page 442
7.1.1. Оценивание состояния системы......Page 448
7.1.3. Распознавание сигналов......Page 450
7.1.4. Построение математических моделей систем......Page 451
7.1.6. Постановка математических задач оценивания и экстраполяции......Page 452
7.2.1. Общая формула для оптимальной оценки......Page 455
7.2.3. Преобразование уравнений......Page 456
7.2.4. Стохастический дифференциал оптимальной оценки функции состояния системы......Page 459
7.2.5 . Уравнение для апостериорной характеристической функции......Page 464
7.2.6. Уравнение для апостериорной плотности......Page 465
7.2.7 . Стохастический дифференциал апостериорного математического ожидания......Page 466
7.2.9. Стохастический дифференциал апостериорной ковариационной матрицы......Page 467
7.2.11. Стохастические дифференциалы апостериорных вероятностей в задаче распознавания......Page 469
7.2.12. О возможности решения задач оптимальной фильтрации при автокоррелированной помехе в наблюдениях......Page 472
7.3.1. Уравнения линейной фильтрации......Page 473
7.3.2. Фильтры Калмана — Бьюси......Page 475
7.3.3. Обновляющие процессы......Page 477
7.3.4. Оптимальная линейная фильтрация при автокоррелированной помехе в наблюдениях......Page 479
7.3.5. Метод дифференцирования наблюдаемого сигнала......Page 486
7.3.6. Начальные условия в случае автокоррелированной помехи......Page 490
7.3.7. Дифференцирующие свойства оптимального фильтра в случае автокоррелированной помехи......Page 492
7.3.8. Оптимальная линейная экстраполяция......Page 495
7.3.9. Случай уравнений, линейных относительно вектора состояния......Page 496
7.3.10. Оптимальное распознавание в линейных системах......Page 500
7.3.11. Оптимальное распознавание в случае уравнений, линейных относительно вектора состояния......Page 501
Задачи......Page 502
8.1.1. Общая характеристика приближенных методов оптимальной фильтрации......Page 504
8.1.3. Нормальная аппроксимация апостериорного распределения......Page 505
8.2.1. Метод моментов. Начальные моменты......Page 509
8.2.2. Метод моментов. Центральные моменты......Page 511
8.2.3. Метод семиинвариантов......Page 516
8.2.4. Метод ортогональных разложений......Page 519
8.2.5. Метод квазимоментов......Page 521
8.2.6. Сокращение числа уравнений......Page 522
8.2.7. Эллипсоидальная аппроксимация апостериорного распределения......Page 523
8.3.1. Способы упрощения уравнений оптимальной фильтрации......Page 527
8.3.2 . Обобщенный фильтр Калмана — Бьюси......Page 528
8.3.3. Фильтры второго порядка......Page 530
8.3.4. Гауссов фильтр......Page 532
8.3.5. Априорная оценка точности фильтрации......Page 533
Задачи......Page 535
9.1.1. Основная идея условно оптимальной фильтрации......Page 536
9.1.2. Классы допустимых фильтров......Page 538
9.1.3. Классы допустимых фильтров при автокоррелированной помехе и наблюдениях......Page 539
9.1.4. Постановка задач условно оптимальной фильтрации и экстраполяции......Page 540
9.2.1. Определенно коэффициентов уравнения условно оптимального фильтра......Page 544
9.2.2. Случаи винеровского процесса и линейного фильтра......Page 546
9.2.3. Случаи винеровского процесса и нелинейного фильтра......Page 548
9.2.4. Уравнения для оптимальных коэффициентов в общем случае......Page 550
9.2.5. Уравнения, определяющие условно оптимальный фильтр......Page 553
9.2.6. Уравнения, определяющие условно оптимальный экстраполятор......Page 561
9.2.8. Применение условно оптимальной фильтрации к задачам распознавания......Page 565
9.3.1. Преобразование уравнений......Page 566
9.3.3. Оптимальные коэффициенты уравнения линейного фильтра......Page 569
9.3.4. Оптимальные коэффициенты уравнения нелинейного фильтра......Page 570
9.3.5. Уравнения, определяющие условно оптимальный фильтр......Page 571
9.3.6. Уравнения, определяющие условно оптимальный экстраполятор......Page 576
9.3.7. Формула для производной ковариационной матрицы ошибки......Page 579
9.4.1. Фильтрация......Page 580
9.4.2. Экстраполяция......Page 584
9.4.3. Фильтрация при автокоррелированной помехе......Page 589
9.4.4. Экстраполяция при автокоррелированной помехе......Page 594
9.5.1. Постановка задачи......Page 597
9.5.2. Классы допустимых фильтров......Page 598
9.5.3. Условно оптимальный дискретный фильтр......Page 599
9.5.4. Фильтрация в случае зависимых; ошибок измерения......Page 602
9.5.5. Условно оптимальный дискретный экстраполятор......Page 604
9.5.6. Экстраполяция в случае зависимых ошибок измерений......Page 606
Задачи......Page 607
1. Полиномы Эрмита......Page 608
2. Полиномы, ортогональные по отношению к g-распределению......Page 614
3. Уравнение Риккати......Page 617
4. Условные моменты случайного вектора, образованного частью компонент нормально распределенного вектора......Page 618
5. Статистическая линеаризация типовых нелинейных функций......Page 619
6. Стохастические дифференциалы Ито типовых нелинейных функций......Page 622
Список литературы......Page 625
Список дополнительной литературы......Page 628
Предметный указатель......Page 10