Обложка ......Page 1
Титульный лист оригинала ......Page 2
Титульный лист ......Page 3
Аннотация ......Page 4
От редактора перевода и переводчиков ......Page 5
Предисловие к русскому изданию ......Page 7
Предисловие ......Page 8
1.1.1. Абстрактная теория интерполяции ......Page 11
1.1.2. Конкретные интерполяционные теоремы ......Page 12
1.1.3. Замечания о структуре первой главы ......Page 14
1.2.1. Интерполяционные пары ......Page 15
1.2.2. Интерполяционные функторы ......Page 16
1.2.4. Ретракции и коретракции ......Page 20
1.3.1. $K$-функционал ......Page 22
1.3.2. Пространства $(A_0,A_1)_{\theta,q}$ ......Page 23
1.3.3. Свойства пространств $(A_0,A_1)_{\theta,q}$ ......Page 24
1.4.1. $K^\ast$- и $L^\ast$-функционалы ......Page 27
1.4.2. Эквивалентность K- и L-методов ......Page 28
1.5.1. Предварительные замечания ......Page 30
1.5.2. Первая теорема об эквивалентности ......Page 33
1.5.3. Вторая теорема об эквивалентности ......Page 35
1.6.1. Теорема об эквивалентности ......Page 38
1.6.2. Плотность $A_0 \cap A_1$ в $(A_0,A_1)_{\theta,p}$ ......Page 39
1.7. Дискретные методы ......Page 40
1.8.1. Пространства $V_m(р_0,\eta_0,A_0;р_1,\eta_1,A_1)$ и $T^m_j(р_0,\eta_0,A_0;р_1,\eta_1,A_1)$ ......Page 42
1.8.2. Теорема об эквивалентности ......Page 46
1.8.3. Теорема вложения ......Page 51
1.8.4. Квазилинеаризуемые интерполяционные пары ......Page 54
1.8.5. Обобщение теоремы вложения 1.8.3 ......Page 56
1.9. Комплексные методы ......Page 59
1.9.1. Пространства $F(A_0,A_1,\gamma)$ и $F_-(A_0,A_1,\gamma)$ ......Page 60
1.9.2. Пространства $[А_0,A_1]_\theta$, $[А_0,A_1]_{\theta,\gamma}$ и $[А_0,A_1]_{\theta,\gamma,-}$ ......Page 63
1.9.3. Свойства пространств $[А_0,A_1]_\theta$ ......Page 64
1.10.1. Классы $K(\theta,А_0,A_1)$ и $J(\theta,А_0,A_1)$ ......Page 67
1.10.2. Теорема о реитерации ......Page 68
1.10.3. Комплексный метод и теорема о реитерации ......Page 70
1.11. Теория двойственности ......Page 74
1.11.1. Сопряженное к $l_р(А)$ ......Page 75
1.11.2, Теория двойственности для вещественного метода ......Page 76
1.11.3. Теория двойственности для комплексного метода ......Page 79
1.12. Теория интерполяции для квазилинеаризуемых интерполяционных пар ......Page 80
1.12.1. Одна общая интерполяционная теорема ......Page 81
1.12.2. Обобщение интерполяционной теоремы 1.12.1 ......Page 82
1.13. Полугруппы операторов и интерполяционные пространства ......Page 83
1.13.1. Полугруппы операторов ......Page 84
1.13.2. Пространства $(A, D(\Lambda^m))_{\theta,p}$ [Часть I] ......Page 85
1.13.3. Пространства $K^m$ ......Page 90
1.13.4. Свойства пространств $K^m$ ......Page 92
1.13.5. Пространства $(A, D(\Lambda^m))_{\theta,p}$ [Часть II] ......Page 97
1.13.6. Пространства $(A, K^m)_{\theta,p}$ ......Page 98
1.14.2. Пространства $(A, D(\Lambda^m))_{\theta,p}$ ......Page 103
1.14.3. Эквивалентные нормы в пространствах $(A, D(\Lambda^m))_{\theta,p}$ ......Page 106
1.14.4. Пространства $(A, \cap_{j=1}^n D(\Lambda_j^{m_j}))_{\theta,p}$ ......Page 107
1.14.5. Аналитические полугруппы и интерполяционные пространства ......Page 108
1.15. Дробные степени позитивных операторов и интерполяционные пространства ......Page 111
1.15.1. Дробные степени позитивных операторов ......Page 112
1.15.2. Свойства дробных степеней позитивных операторов ......Page 114
1.15.3. Области определения дробных степеней позитивных операторов ......Page 117
1.15.4. Теоремы о реитерации ......Page 120
1.15.5. Пространства $(A, \cap_{j=1}^n D(\Lambda_j^{\alpha_j}))_{\theta,p}$ ......Page 121
1.16.1. Энтропийные идеалы и поперечниковые идеалы ......Page 122
1.16.2. Интерполяционные свойства энтропийных идеалов ......Page 129
1.16.3. Интерполяционные свойства поперечниковых идеалов ......Page 133
1.16.4. Интерполяционные свойства компактных операторов ......Page 135
1.17.1. Интерполяция подпространств ......Page 136
1.17.2. Интерполяция факторпространств ......Page 138
1.18.1. Интерполяция пространств $l_p(A_j)$ ......Page 139
1.18.2. Интерполяция пространств $l_p^\sigma(А)$ ......Page 143
1.18.3. Интерполяция пространств $l_p(А)$ ......Page 145
1.18.4. Интерполяция пространств $L_p(А)$ ......Page 148
1.18.5. Интерполяция пространств $L_{p,w(x)}(А)$ ......Page 151
1.18.6. Интерполяция пространств $L_p(А)$. Пространства Лоренца ......Page 153
1.18.7. Классические интерполяционные теоремы ......Page 157
1.18.8. Теорема Хаусдорфа—Юнга ......Page 161
1.18.9. Свертки в $R_n$ ......Page 162
1.18.10. Самосопряженные операторы и теория интерполяции ......Page 165
1.19. Дополнения ......Page 167
1.19.2. Интерполяционные функции ......Page 168
1.19.3. Интерполяционные пространства для $\{L_1, L_\infty\}$ и для общих интерполяционных пар ......Page 169
1.19.5. Интерполяционные свойства билинейных форм ......Page 170
1.19.7. Теория интерполяции для нормированных идеалов в гильбертовых пространствах ......Page 171
1.19.8. Теория интерполяции для квазинормированных идеалов в банаховых пространствах ......Page 173
1.19.10. Интерполяционные $n$-ки ......Page 174
1.19.12. Приложения ......Page 175
2.1. Введение ......Page 177
2.2.1. Обобщенные функции ......Page 178
2.2.2. Свойства отображений, осуществляемых интегральными операторами ......Page 179
2.2.3. Сингулярные интегральные операторы ......Page 185
2.2.4. Теорема о мультипликаторах ......Page 190
2.3.1. Определения ......Page 199
2.3.2. Пространства $B_{p,q}^s(R_n)$ и $F_{p,q}^s(R_n)$ ......Page 204
2.3.3. Пространства $H_p^s(R_n)$ ......Page 211
2.3.4. Свойство изоморфизма ......Page 215
2.4.1. Интерполяция пространств $B_{p,q}^s(R_n)$ ......Page 216
2.4.2. Интерполяция пространств $F_{p,q}^s(R_n)$ ......Page 220
2.5.1. Эквивалентные нормы и группы сдвигов ......Page 224
2.5.2. Эквивалентные нормы и полугруппы Гаусса—Вейерштрасса ......Page 228
2.5.3. Эквивалентные нормы и полугруппы Коши—Пуассона ......Page 231
2.5.4 Эквивалентные нормы и аппроксимация ......Page 236
2.6.1. Сопряженные к $B_{p,q}^s(R_n)$ и $H_p^s(R_n)$ ......Page 239
2.7. Пространства Гёльдера $C^t(R_n)$ ......Page 241
2.7.1. Определение пространств Гёльдера ......Page 242
2.7.2. Интерполяция и эквивалентные нормы ......Page 243
2.8.1 Теорема вложения ......Page 245
2.8.2 Другие доказательства теоремы 2.8.1(a) ......Page 251
2.9.1. Прямые и обратные теоремы вложения для пространств Соболева $(l=п—1)$ ......Page 253
2.9.2. Пространства $W^m_{p,|x_n|^\alpha(R_n)$ и $W^m_{p,x_n^\alpha(R_n^+)$ ......Page 258
2.9.3. Прямые и обратные теоремы вложения для пространств Лебега—Бесова $(l=n-1)$ ......Page 264
2.9.4. Прямые и обратные теоремы вложения для пространств Лебега—Бесова (общий случай) ......Page 271
2.10.2. Теория двойственности [Часть I] ......Page 276
2.10.3. Свойство изоморфизма ......Page 281
2.10.4. Интерполяция пространств $\mathring{H}_p^s(R_n^+)$, $\tilde{H}_p^s(R_n^+)$, $\mathring{B}_{p,q}^s(R_n^+)$ и $\tilde{B}_{p,q}^s(R_n^+)$ ......Page 284
2.10.5. Теория двойственности [Часть II] ......Page 286
2.11.1. Предварительные замечания (свойства пространств $L_p$ и $l_p$) ......Page 287
2.11.2. Структура пространств $H_p^s(R_n)$ и $B_{p,q}^s(R_n)$ ......Page 288
2.11.3. Структура пространств $H_p^s(R_n^+)$, $\tilde{H}_p^s(R_n^+)$, $B_{p,q}^s(R_n^+)$ и $\tilde{B}_{p,q}^s(R_n^+)$ ......Page 293
2.12. Несовпадение пространств $B_{p,q}^s(R_n)$ и $H_r^t(R_n)$ (Rn) ......Page 294
2.13. Анизотропные пространства ......Page 296
2.13.1. Определения ......Page 297
2.13.2. Интерполяционная теорема ......Page 298
3.1. Введение ......Page 299
3.2.1. Пространства $W^m_p(\Omega;\sigma)$ ......Page 300
3.2.2. Свойства пространств $W^m_p(\Omega;\sigma)$ ......Page 303
3.2.3. Пространства $B_{p,q}^s(\Omega;\rho^\mu;\rho^\nu)$ и $H_p^s(\Omega;\rho^\mu;\rho^\nu)$ ......Page 306
3.2.4. Свойства пространств $B_{p,q}^s(\Omega;\rho^\mu;\rho^\nu)$ и $H_p^s(\Omega;\rho^\mu;\rho^\nu)$ ......Page 309
3.2.5. Эквивалентные нормы и компактные вложения в $W^m_p(\Omega)$ [Часть I] ......Page 317
3.2.6. Пространства $W_p^s(\Omega;\rho^\mu;\rho^\nu)$ с $\nu<\mu+sp$ ......Page 318
3.3. Теория интерполяции для пространств $W^m_p(\Omega;\sigma)$ ......Page 327
3.3.1. Пространства $W^m_p(\Omega;\sigma)$ с весовыми функциями типа 1 ......Page 328
3.3.2. Пространства $\mathring{W}^m_p(\Omega;\sigma)$ с весовыми функциями типа 2 ......Page 330
3.3.3. Пространства $W^m_p(\Omega;\sigma)$ с весовыми функциями типа 3 ......Page 333
3.3.4. Пространства $\mathring{W}^m_p(\Omega;\sigma)$ с весовыми функциями типа 4 ......Page 336
3.4.1. Подготовительная лемма ......Page 337
3.4.2. Интерполяционная теорема ......Page 339
3.4.3. Интерполяция пространств $\mathring{W}_p^s(\Omega;\rho^\mu;\rho^\nu)$ с $\nu<\mu+sp$ ......Page 342
3.5.1. Пространства $B_{p,r}^s(\Omega;\rho^\mu;\rho^\nu)$ и $H_p^s(\Omega;\rho^\mu;\rho^\nu)$ ......Page 343
3.5.2. Пространства $\mathring{W}_p^s(\Omega;\rho^\mu;\rho^\nu)$ с $\nu<\mu+sp$ ......Page 344
3.6.1. Прямые и обратные теоремы вложения для пространств $W^m_p(\Omega;d^{\alpha(x)})$ ......Page 345
3.6.2, Прямые и обратные теоремы вложения для пространств $B_{p,q}^s(R_n^+;x_n^\alpha)$ ......Page 348
3.6.8. Прямые и обратные теоремы вложения для пространств $B_{p,q}^s(\Omega;d^{\alpha(x)})$ ......Page 352
3.6.4. Прямые и обратные теоремы вложения для пространств $W^m_p(R_n;\sigma)$, $W^m_p(R_n^+;\sigma)$, $B_{p,q}^s(R_n;\sigma)$ и $B_{p,q}^s(R_n^+;\sigma)$ ......Page 353
3.7. Структурная теория ......Page 358
3.8. Операторы вложения и поперечники ......Page 359
3.8.1. Эквивалентные нормы и компактные вложения в $W^m_p(\Omega)$ [Часть II] ......Page 360
3.8.2. Компактные вложения $W_p^m(\Omega;\rho^\mu;\rho^\mu+mp)$ в $L_p(\Omega;\rho^\nu)$ ......Page 363
3.8.3. Компактные вложения $W_p^s(\Omega;\rho^\mu;\rho^\mu+sp)$ в $L_q(\Omega;\rho^\nu)$ ......Page 366
3.9. Пространства $w^s_{p,\mu}(R_n)$ ......Page 369
3.9.1. Определение. Эквивалентные нормы ......Page 370
3.9.2. Теория интерполяции ......Page 374
3.9.3. Прямые и обратные теоремы вложения (теоремы о следах) ......Page 375
3.10. Дополнения ......Page 378
3.10.1. Пространства с весами $\rho(x) \sim d^\varkappa(х)$ ......Page 379
3.10.3. Пространства Кудрявцева и их обобщения ......Page 380
3.10.5. Пространства Куфнера ......Page 381
3.10.6. Один аксиоматически определенный класс весовых пространств ......Page 382
4.2. Определения. Теоремы продолжения ......Page 383
4.2.1. Определения ......Page 384
4.2.2. Первый метод продолжения ......Page 385
4.2.3. Второй метод продолжения ......Page 386
4.2.4. Эквивалентные нормы в $W^m_p(\Omega)$ ......Page 393
4.3.1. Пространства $B_{p,q}^s(\Omega)$ и $H_p^s(\Omega)$ ......Page 394
4.3.2. Пространства $\mathring{B}_{p,q}^s(\Omega)$, $\tilde{B}_{p,q}^s(\Omega)$, $\mathring{H}_p^s(\Omega)$ и $\tilde{H}_p^s(\Omega)$ ......Page 395
4.3.3. Пространства $B_{p,q,\{B_j\}}^s(\Omega)$ и $H_{p,\{B_j\}}^s(\Omega)$ ......Page 398
4.4.1. Пространства Соболева—Бесова в областях, удовлетворяющих условию конуса ......Page 400
4.4.2. Пространства Соболева—Бесова в ограниченных областях ......Page 403
4.5.1. Определение и теорема продолжения ......Page 405
4.5.2. Интерполяция и эквивалентные нормы ......Page 406
4.6.1. Теоремы вложения для произвольных областей ......Page 408
4.6.2. Теоремы вложения для ограниченных областей ......Page 409
4.7.1. Прямые и обратные теоремы вложения $(l=n—1)$ ......Page 411
4.7.2. Прямые и обратные теоремы вложения (общий случай) ......Page 413
4.8.2. Сопряженные к $B_{p,q}^s(\Omega)$ и $H_p^s(\Omega)$ ......Page 414
4.9.1. Эллиптические граничные задачи ......Page 415
4.9.2. Шкалы ......Page 418
4.9.3. Свойства изоморфизма ......Page 420
4.9.4. Базисы Шаудера ......Page 422
4.10. Качественные характеристики операторов вложения ......Page 429
4.10.1. Операторы вложения для ограниченных областей, удовлетворяющих условию конуса (аппроксимационные числа, поперечники) ......Page 430
4.10.2. Операторы вложения для ограниченных областей класса $C^\infty$ (аппроксимационные числа, поперечники) ......Page 434
4.10.3. Операторы вложения в ограниченных областях ($\varepsilon$-энтропия) ......Page 443
4.11. Дополнения ......Page 445
4.11.1. «Периодические» пространства ......Page 446
4.11.3. Пространства абстрактных функций ......Page 447
4.11.4. Пространства Хёрмандера и пространства Волевича и Панеяха ......Page 448
4.11.5. Пространства с переменным порядком дифференцирования ......Page 449
5.2.1. Определения ......Page 450
5.2.2. Эллиптические операторы ......Page 455
5.2.3. Регулярные эллиптические задачи в $R_n^+$ ......Page 457
5.3. Априорные оценки ......Page 460
5.3.1. Пространства $H^{s,r}_p(R_n^+)$ ......Page 461
5.3.2. Априорные оценки [Часть I. $R_n^+$, постоянные коэффициенты, задача Дирихле] ......Page 463
5.3.3. Априорные оценки [Часть II. $R_n^+$, постоянные коэффициенты, общая граничная задача] ......Page 467
5.3.4. Априорные оценки [Часть III. Ограниченная область, переменные коэффициенты, общая граничная задача] ......Page 470
5.4.1. Свойства гладкости ......Page 474
5.4.2. Сопряженные операторы ($L_2$-теория) ......Page 477
5.4.3. Основная теорема $L_p$-теории в пространствах Соболева ......Page 479
5.4.4. Операторы $А_р$ ......Page 481
5.4.5. Операторы $\mathfrak{A}_р$ ......Page 486
5.4.6. Дополнения ......Page 487
5.5. Граничные задачи [Часть I] ......Page 489
5.5.1. Однородные граничные задачи ......Page 490
5.5.2. Неоднородные граничные задачи ......Page 491
5.6. Распределение собственных значений. Собственные и присоединенные векторы. Функции Грина ......Page 492
5.6.1. Распределение собственных значений. Собственные и присоединенные векторы в гильбертовом пространстве ......Page 493
5.6.2. Распределение собственных значений самосопряженных эллиптических дифференциальных операторов ......Page 498
5.6.3. Собственные и присоединенные векторы эллиптических дифференциальных операторов ......Page 499
5.6.4. Функции Грина эллиптических дифференциальных операторов ......Page 500
5.7.1. Невесовые пространства Лебега—Бесова ......Page 504
5.7.2. Весовые пространства Соболева—Бесова ......Page 506
5.7.3. Пространства Гёльдера ......Page 509
6.2.1. Определения ......Page 510
6.2.2. Степени сильно вырождающихся эллиптических дрфференциальных операторов ......Page 513
6.3.1. Эквивалентные нормы в пространствах $W_p^k(\Omega;\rho^\mu;\rho^\nu)$ ......Page 516
6.3.2. Априорные оценки ......Page 517
6.4.1. Самосопряженность ......Page 521
6.4.2. Собственные функции ......Page 524
6.4.3. Области определения дробных степеней. Изоморфизмы ......Page 525
6.5.1. Априорные оценки (обобщение теоремы 6.3.2) ......Page 527
6.5.2. Теоремы об изоморфизме ......Page 529
6.6.1. Распределение собственных значений и области определения дробных степеней ......Page 532
6.6.2. Собственные и присоединенные векторы ......Page 536
6.6.3. Функции Грина ......Page 538
7.1. Введение ......Page 541
7.2.1. Дифференциальные операторы Лежандра ......Page 543
7.2.2. Дифференциальные операторы Трикоми ......Page 544
7.3.1. Интегральные неравенства [Часть I] ......Page 547
7.3.2. Свойства пространств $W^m_2((a,b),p^\alpha)$ ......Page 551
7.3.3. Отображения в $W^m_2((a,b),p^\alpha)$ ......Page 554
7.4.1. Самосопряженные и положительно-определенные операторы ......Page 556
7.4.2. Минимальный оператор $\mathring{A}_{m,k}$ ......Page 559
7.4.3. Области определения операторов $\bar{A}_{m,k}^{l/2}$, $l=0,1,2$ ......Page 560
7.4.4. Пространства $\bar{C}_{j,l}^\infty((a,b))$ ......Page 562
7.5.1. Собственные и присоединенные векторы операторов $\bar{B}_{m,k}$ ......Page 566
7.5.2. Изоморфизмы ......Page 567
7.6. Дифференциальные операторы Трикоми ......Page 569
7.6.1. Эллиптические дифференциальные операторы на компактных многообразиях класса $C^\infty$ ......Page 570
7.6.2. Интегральные неравенства [Часть II] ......Page 572
7.6.3. Самосопряженные дифференциальные операторы Трикоми первого типа ......Page 577
7.6.4. Несамосопряженные дифференциальные операторы Трикоми первого типа ......Page 581
7.6.5. Пространства $\bar{C}_{j,l}^\infty(\Omega)$ ......Page 582
7.6.6. Дифференциальные операторы Трикоми второго типа ......Page 584
7.7.1. Дифференциальные операторы Лежандра (случай $m=k=1$) ......Page 585
7.7.3. Дифференциальные операторы Трикоми первого типа ......Page 590
7.8.1. Дифференциальные операторы Лежандра ......Page 591
7.8.2. Дифференциальные операторы Трикоми первого типа ......Page 593
7.8.3. Дифференциальные операторы Трикоми второго типа ......Page 594
7.9.1. Граничные задачи для вырождающихся эллиптических дифференциальных операторов ......Page 596
7.9.2. Дифференциальные операторы Трикоми, аналитические функции и функции классов Жеврея ......Page 597
7.9.3. Другие типы вырождающихся эллиптических дифференциальных уравнений ......Page 598
8.2.1. Ядерные $(F)$-npocтpaнствa ......Page 600
8.2.2. Структура пространств $D(A^\infty)$ ......Page 602
8.3.1. Общая структурная теорема ......Page 605
8.3.2. Пространства $S_{\rho(x)}(\Omega)$ и $\bar{C}_0^\infty(\Omega)$ ......Page 606
8.3.3. Пространства $\bar{C}_{j,l}^\infty(\Omega)$ и $C^\infty(\Omega)$ ......Page 607
Литература ......Page 609
Указатель обозначений ......Page 646
Именной указатель ......Page 649
Предметный указатель ......Page 654
ОГЛАВЛЕНИЕ ......Page 657
Выходные данные ......Page 664
