Рассматривается построение, исследование и использование ортонормировании х базисов, образованных элементарными и специальными функциями. Излагается метод преобразования Фурье и обобщенные функции:
дельта-функция, функция Хевисайда, знаковая и прямоугольная функции, гребенчатая функция. Ортонормированные базисы в виде специальных функций математической физики являются решениями однородных дифференциальных уравнений обобщенного гипергеометрического типа.
Для их решения используется метод факторизации. Неоднородные уравнения решаются методом функций Грина. Приводятся примеры решений задач, предлагаются задачи для самостоятельного решения.
Издание предназначено для студентов, приступающих к изучению дисциплин, относящихся к теоретической физике, и обучающихся по направлениям подготовки, входящих в УГС: «Математика и механика», «Физика и астрономия», «Физико-технические науки и технологии» и другим физико-математическим и инженерно-техническим направлениям
подготовки и специальностям, а также для специалистов, которые могут использовать издание в качестве справочного пособия.
Author(s): Краснопевцев Е. А.
Edition: 2-е изд., стер
Publisher: Лань
Year: 2018
Language: Russian
Pages: 375
City: СПб
Введение ......Page 5
Глава 1. Преобразование Фурье ......Page 13
1.1. Теоремы Фурье ......Page 15
1.2. Преобразование Фурье периодической функции ......Page 29
1.3. Преобразование Фурье в трехмерном пространстве ......Page 35
Глава 2. Дельта-функция ......Page 40
2.1. Свойства дельта-функции ......Page 41
2.2. Производная дельта-функции ......Page 45
2.3. Дельта-функция в двухмерном пространстве ......Page 48
2.4. Дельта-функция в трехмерном пространстве ......Page 50
2.5. Гребенчатая функция ......Page 53
3.1. Функция включения и наклонные функции ......Page 60
3.2. Функции знака и модуля аргумента ......Page 63
3.3. Прямоугольная функция и функция sinc x ......Page 66
3.4. Треугольная функция и функция sinс^2 x ......Page 72
3.5. Ортонормированные базисы сингулярных функций ......Page 74
Примеры 1 ......Page 79
Задачи 1 ......Page 102
4.1. Гамма-функция ......Page 111
4.2. Бета-функция ......Page 115
4.3. Символ Похгаммера и формулы суммирования ......Page 117
4.4. Формула Стирлинга ......Page 119
4.5. Функция ошибок ......Page 121
4.6. Дробное дифференцирование и интегрирование ......Page 123
4.7. Дифференциальные операторы ......Page 128
Примеры 2 ......Page 130
Задачи 2 ......Page 142
Глава 5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка ......Page 149
5.1. Метод факторизации ......Page 150
5.2. Алгоритм метода факторизации ......Page 166
5.3. Метод степенного ряда для уравнения с особой точкой ......Page 169
5.4. Разложение решения в ряд по малому параметру. Метод ВКБ ......Page 170
Примеры 3 ......Page 173
Задачи 3 ......Page 183
6.1. Ортонормированный базис функций и переходы между состояниями ......Page 186
6.2. Полиномы Эрмита ......Page 192
6.3. Функции гармонического осциллятора ......Page 201
Примеры 4 ......Page 206
Задачи 4 ......Page 214
6.4. Обобщенные полиномы Лагерра ......Page 215
6.5. Состояния электрона в атоме водорода ......Page 223
Примеры 5 ......Page 230
Задачи 5 ......Page 235
6.6. Полиномы Лежандра ......Page 237
6.7. Присоединенные функции Лежандра ......Page 241
Примеры 6 ......Page 245
Задачи 6 ......Page 253
6.8. Полиномы Чебышева ......Page 255
Примеры 7 ......Page 261
Задачи 7 ......Page 264
7.1. Операторы момента импульса ......Page 266
7.2. Сферическая функция ......Page 269
Примеры 8 ......Page 278
Задачи 8 ......Page 282
8.1. Функция Бесселя первого рода ......Page 283
8.2. Сферическая функция Бесселя ......Page 298
8.3. Функция Эйри первого рода ......Page 302
8.4. Преобразования Ганкеля и Фурье – Бесселя ......Page 307
8.5. Функция Бесселя второго рода ......Page 314
8.6. Функции Ганкеля ......Page 317
8.7. Модифицированные функции Бесселя ......Page 318
Примеры 9 ......Page 325
Задачи 9 ......Page 344
Глава 9. Функция Грина ......Page 347
9.1. Функция Грина дифференциального уравнения ......Page 348
9.2. Метод сшивания ......Page 350
9.3. Уравнение Лиувилля и метод спектрального разложения ......Page 354
Примеры 10 ......Page 360
Задачи 10 ......Page 370
Библиографический список ......Page 372
Предметный указатель ......Page 373
