Das vorliegende Buch bietet Studierenden der Physik eine übersichtliche Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie: Was ist der Energie-Impuls-Tensor und was beschreiben die Friedmann-Gleichungen? Wie kann man die Raumzeit durch eine Mannigfaltigkeit modellieren? Was ist die Schwarzschild-Lösung und wann benötigt man Kruskal-Koordinaten? Kann man Energie aus der Ergosphäre eines rotierenden Schwarzen Loches gewinnen? Diese Fragen und viele mehr werden in diesem Buch beantwortet. Der didaktische Fokus liegt auf einer einfachen und verständlichen Vermittlung und detaillierten Darstellung des komplexen Themas. Das Buch verzichtet bewusst auf Phrasen wie "es kann gezeigt werden, dass.." oder "wie man leicht zeigt, gilt" und zeigt die Rechenschritte in Aufgaben und Herleitungen ausführlich auf.
Zur Wiederholung werden die wesentlichen Punkte aus der Lagrange'schen Mechanik, der Elektrodynamik und der Speziellen Relativitätstheorie kurz dargestellt. Mathematische Vorkenntnisse sollten Leser v. a. im Bereich der Linearen Algebra und der komplexen Zahlen mitbringen, notwendige weiterführende Mathematik wie Differenzialgeometrie wird sorgfältig, zweckmäßig und verständlich eingeführt. Konkrete Aufgaben mit vollständigen, ausführlichen Lösungen laden zum Mitdenken und Mitrechnen ein.
Das Buch ist in fünf Teile gegliedert:
- Grundlagen der Speziellen Relativitätstheorie und Folgerungen für die relativistische Mechanik und Elektrodynamik
- Wichtige Ergebnisse des Newton'schen Gravitationsmodells und Notwendigkeit einer neuen Gravitationstheorie, Modellierung der Raumzeit durch eine Lorentz-Mannigfaltigkeit
- Physikalischer Schwerpunkt: heuristische und formale Herleitung der Einstein-Gleichungen
- Astrophysikalische Objekte: Herleitung der Schwarzschild-Metrik, das Innere eines Sterns, nicht rotierende, rotierende und geladene Schwarze Löcher, Eddington-Finkelstein- bzw. Kruskal-Koordinaten, Penrose-Diagramme
- Anwendung auf unser Universum: Homogenität und Isotropie des Universums, Robertson-Walker-Metrik, Friedmann-Gleichungen
und vieles mehr!
Der Autor
Michael Ruhrländer hat an der Universität Essen Mathematik studiert und in Wuppertal promoviert. Anschließend hat er in der Finanzdienstleistungsbrache gearbeitet und ist seit 2010 Dozent für Mathematik und Statistik an der TH Bingen. Seine Leidenschaft für Mathematik und Physik gibt er u. a. mit seinen guten verständlichen Lehr- und Sachbüchern weiter.
Author(s): Michael Ruhrländer
Publisher: Springer Spektrum
Year: 2021
Language: German
Pages: 691
Vorwort
Anmerkungen zur Notation und Vorzeichenkonvention
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Teil I Spezielle Relativitätstheorie
1 Grundlagen der Speziellen Relativitätstheorie
1.1 Das Newton'sche Relativitätsprinzip
1.2 Das Einstein'sche Relativitätsprinzip
1.3 Relativität der Gleichzeitigkeit, Zeitdilatation
1.4 Längenkontraktion
1.5 Doppler-Effekt in der Speziellen Relativitätstheorie
1.6 Lorentz-Transformationen
1.7 Raumzeitintervalle
1.8 Lorentz- und Poincaré-Gruppe
2 Die Raumzeit der Speziellen Relativitätstheorie
2.1 Indexnotation und Einstein'sche Summenkonvention
2.2 Minkowski-Raum
2.3 Semi-Skalarprodukt im Minkowski-Raum
2.4 Transformationen
2.5 Weltlinien in der Raumzeit
3 Relativistische Mechanik
3.1 Impuls, Masse, Energie, Kraft
3.2 Natürliche Einheiten
3.3 Vierergeschwindigkeit, Viererimpuls
3.4 Relativistische Dynamik
4 Tensorrechnung im Minkowski-Raum
4.1 Dualraum und Einsformen
4.2 Tensoren vom Rang (0,N)
4.3 Tensoren vom Rang (M,0)
4.4 Tensoren vom Rang (M,N)
4.5 Kontraktion von Tensoren
4.6 Ableitungen von Tensoren im Minkowski-Raum
5 Elektrodynamik
5.1 Maxwell-Gleichungen
5.2 Feldstärketensor
5.3 Lorentz-Invarianz der Maxwell-Gleichungen
5.4 Lorentz-Kraft
5.5 Lorentz-invarianter Lagrange-Formalismus
6 Energie-Impuls-Tensoren in der Speziellen Relativitätstheorie
6.1 Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes
6.2 Energie-Impuls-Tensor für Staub
6.3 Ideale Fluide
6.4 Allgemeine Energie-Impuls-Tensoren
Teil II Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie
7 Gravitation und Raumzeitmodell
7.1 Newton'sche Gravitation
7.2 Schwere und träge Masse, Äquivalenzprinzip
7.3 Gravitativer Doppler-Effekt
7.4 Lichtablenkung an der Sonne im Newton'schen Gravitationsfeld
7.5 Gravitation und Krümmung
7.6 Allgemeine Koordinatensysteme
8 Mannigfaltigkeiten
8.1 Topologische und differenzierbare Mannigfaltigkeiten
8.2 Differenzierbare Abbildungen
8.3 Tangentialraum
8.4 Basis des Tangentialraumes
8.5 Vektorfelder
9 Tensorrechnung auf Mannigfaltigkeiten
9.1 Einsformen
9.2 Tensorfelder
9.3 Kontraktion und Quotientenregel
9.4 Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten
9.5 Tensoranalysis
9.6 Lie-Ableitung
10 Differenzialformen auf Mannigfaltigkeiten
10.1 Differenzialformen
10.2 Dachprodukt
10.3 Die äußere (Cartan'sche) Ableitung
10.4 Integration auf Mannigfaltigkeiten
10.5 Der Satz von Stokes
10.6 Differenzialformen und klassische Vektoranalysis
11 Semi-Riemann'sche Mannigfaltigkeiten
11.1 Die Metrik
11.2 Längen, Integration und Isometrien
11.3 Zusammenhang und kovariante Ableitung
11.4 Der Levi-Civita-Zusammenhang
11.5 Paralleltransport und Geodäten
11.6 Normalkoordinaten und Äquivalenzprinzip
12 Krümmung der Raumzeit
12.1 Paralleltransport und Krümmung
12.2 Riemann'scher Krümmungstensor
12.3 Symmetrien des Riemann'schen Krümmungstensors
12.4 Ricci-Tensor und Krümmungsskalar
12.5 Zusammenhangs- und Krümmungsformen, Cartan'sche Strukturgleichungen
12.6 Symmetrien und Killing-Vektoren
Teil III Einstein-Gleichungen, Schwarzschild-Lösung, Gravitationswellen
13 Physikalische Gesetze in der Raumzeit, Einstein-Gleichungen
13.1 Kovarianzprinzip
13.2 Energie-Impuls-Tensoren in der Lorentz-Mannigfaltigkeit
13.3 Newton'scher Grenzfall
13.4 Einstein'sche Feldgleichungen
13.5 Interpretation der Einstein-Gleichungen
13.6 Ableitung der Einstein-Gleichungen mit dem Lagrange-Formalismus
14 Die Schwarzschild-Lösung
14.1 Äußere Schwarzschild-Metrik
14.2 Der Riemann-Tensor der (äußeren) Schwarzschild-Raumzeit
14.3 Physikalische Interpretation der (äußeren) Schwarzschild-Lösung
14.4 Isotrope Schwarzschild-Koordinaten
14.5 Birkhoff'sches Theorem
14.6 Die Killing-Vektoren der Schwarzschild-Metrik
15 Klassische Tests der Allgemeinen Relativitätstheorie
15.1 Kepler-Bewegung in der Newton'schen Gravitationstheorie
15.2 Geodäten in der Schwarzschild-Raumzeit
15.3 Die Periheldrehung des Merkurs
15.4 Lichtablenkung in der Schwarzschild-Raumzeit
15.5 Gravitative Rotverschiebung in der Schwarzschild-Raumzeit
16 Gravitationswellen
16.1 Einstein-Gleichungen für schwache Gravitationsfelder
16.2 Ausbreitung von Gravitationswellen
16.3 Beobachtung von Gravitationswellen
16.4 Erzeugung von Gravitationswellen
16.5 Gravitationswellenenergie
16.6 Nachweis von Gravitationswellen
Teil IV Gravitationskollaps und Schwarze Löcher
17 Gravitationskollaps und die innere Schwarzschild-Metrik
17.1 Einführendes Beispiel: Innere Lösung in der Elektrodynamik
17.2 Innere Schwarzschild-Metrik
17.3 Innere Schwarzschild-Metrik für nichtkomprimierbare Fluide
17.4 Physikalische Interpretation der inneren Lösung
18 Schwarze Löcher in der Schwarzschild-Raumzeit
18.1 Singularitäten
18.2 Einige Eigenschaften Schwarzer Löcher
18.3 Radialer Fall in der Schwarzschild-Raumzeit
18.4 Eddington-Finkelstein-Koordinaten
18.5 Kruskal-Koordinaten
19 Diagramme, Flächen und Horizonte
19.1 Einbettungsdiagramme und Wurmlöcher
19.2 Penrose-Diagramme
19.3 Dreidimensionale Flächen
20 Geladene Schwarze Löcher
20.1 Die Reissner-Nordström-Lösung
20.2 Grundlegende Eigenschaften der Reissner-Nordström-Lösung
20.3 Eddington-Finkelstein-Koordinaten der Reissner-Nordström-Lösung
20.4 Penrose-Diagramme für die Reissner-Nordström-Lösung
21 Rotierende Schwarze Löcher
21.1 Die Kerr-Lösung
21.2 Nulltetraden
21.3 Die Kerr-Metrik in Kerr-Eddington-Koordinaten
21.4 Die Kerr-Metrik in Boyer-Lindquist-Koordinaten
21.5 Singularitäten und Horizonte
21.6 Die Ergosphäre
21.7 Der Penrose-Prozess
21.8 Die Thermodynamik von Schwarzen Löchern
Teil V Kosmologie
22 Unser Universum
22.1 Die beobachtete Zusammensetzung unseres Universums
22.2 Entfernungsbestimmung im Weltall
22.3 Ausdehnung des Universums
22.4 Homogenität und Isotropie des Universums
23 Kosmologische Modelle
23.1 Ein Modell des Universums in der klassischen Mechanik
23.2 Robertson-Walker-Metrik
23.3 Kosmologische Rotverschiebung und Hubble-Parameter
23.4 Die Friedmann-Gleichungen
24 Evolution des Universums
24.1 Entwicklung der Energiedichte
24.2 Zustandsgleichungen
24.3 Qualitative Analyse der Friedmann-Gleichung
24.4 Spezielle analytische Lösungen der Friedmann-Gleichungen
A Anhang: Nützliche Formeln, Einheiten und Tabellen
A.1 Formeln
A.2 Physikalische Größen und Einheiten
A.3 Physikalische Konstanten
A.4 Astronomische Größen
Literatur
Stichwortverzeichnis
