Einführung in die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen auf funktionentheoretischer Grundlage

Krstos Kapitel. Einleitendes über Uifl'erontial^'loicliunm'en im rcell<;n
Webiel.
1. iieprifl einer Differcntiaigleichuni^ und ihrer Integration ... 1
2. Systeme von Diffeientiaigleicliungen. Zurückfüiirung auf Systeme
von Differentialgleichungen erster Ordnung 8
.'!. Orientierung über die Natur der Integrale einer Differentialgleichung
erster Ordnung. Existenzbeweis für die Lösung :")
4. Eindeutige Bestimmung der Lösung. Abhängigkeit von den Anfangswerten
und von Parametern. Lineare Differentialgleichung ... 13
b. Verallgemeinerung auf ein System von Differentialgleichungen erstei
Ordnung. Differentialgleichung n^«r Ordnung 18
(j. Beispiel aus der analytischen Mechanik 23
Zweites Ka|iitel. Allgomeino Untersuchung- der Ijösung-en von Difterentialgleichuui^
en erster Ordnung-.
7. Differentialgleichungen erster Ordnung- für komplexe Werte der Veränderlichen.
Aufstellung einer I'otenzreihe. die der Differentialgleichung
formal genügt . . 21
iS. Konvergenz der aufgestellten Reihe. Calcul des limites .... 30
9. Konvergenzbeweis nach Cauchy 31
10. Singulare Anfangswerte. Die Ableitung wird so unendlich, daß ihr
reziproker Wert holomorph bleibt 34
11. Untersuchung des Falles, wo die Integralfunktion selbst unendlich wird 38
12. Abhängigkeit von Anfangswerten und Parametern. Unität ... 39
13. Analytische Fortsetzung 45
14. Fe.-^te und verschiebbare singulare Punkte. Der Satz von Painleve 48
l.ö. Differentialgleichungen mit festen Verzweigungspunkten. Riccatische
Differentialgleichung 54
IG. Form des allgemeinen Integrals 57
17. Zusammenhang der Riccatischen Differentialgleichung mit linearen
homogenen Differentialgleichungen 61
Drittes Kapitel. Differentialgleichungen erster Ordnung, wo die Ableitung
als implizite Funktion der unabhängigen Yeränderlicheu
gegeben ist.
18. Begriff der Integralfunktion 67
19. Untersuchung des Falles, wo der Koeffizient der höchsten Potenz
der Ableitung verschwindet 72
YJ Inhalt.
Seile
20. Untersuchung des Falle.«, wo die Diskrirainante verschwindet.
Vorbereitendes ^-^
21. Der Fall, wo die Diskriminante verschwindet, der Koeffizient der
höchsten Potenz der Ableitung aber nicht 77
22. Untersuchung der singulären Integrale «1
23. Untersuchung der Fälle, wo der Koeffizient der höchsten Potenz der
Ableitung zugleich mit der Diskriminante verschwindet, und wo d*s
Integral selbst unendlich wird . '. 85
24. Über die Theorie der singulären Integrale ^9
ViertesKapitel. DilTerentialgleichuni^en mit festen Verzweiifungspnnkten.
2ö. Zusammenfassung der Bedingungen für das Mchtauftreten verschiebbarer
Verzweigungspunkte. Rriot- und Bouquetsche Differentialgleichungen
••3
26. Rang einer algebraischen Gleichung. Rang Null. Eins und Zwei 97
27. Gleichungen vom Range Null 100
28. Gleichungen vom Range Eins 104
29. Briot- und Bouciuetsche Gleichung vom Range Eins IO.t
30. Integration der Differentialgleichung vom Range Eins mit festen
Verzweigungspunkten 112
ol. Additionstheorem der elliptischen Funktionen 116
32. Gleichungen vom Range Zwei. Zusammenfassung der Resultate 118
33. Geschichtliches. Weitere Fragestellungen 123
Fünftes Kapitel. Singulare Stellen linearer Diftereutialgleichungen.
34. Die lineare homogene Differentialgleichung erster Ordnung . . . 126
35. Systeme von zwei linearen Differentialgleichungen. Matrizcnkalkül 132
36. Existenzbeweise im reellen und komple.xen Gebiet 137
37. Methode der sukzessiven .\pproximationen. Mehrdeutigkeit . . 143
38. Wertänderungen der Integralmatrix bei Umläufen. Kanonische
Integralmatrix 146
39. Darstellung der Integralmatri.x in der Umgebung einer isolierten
singulären Stelle. Cauchysche Differentialsysteme 152
Sechstes Kapitel, rntcrsuchung der sing-ulürcn Stellen, wo die Integrale
nicht unbestimmt werden.
4 in der Umgebung einer singulären Stelle der Bestimmtheit 1.59
41. Übergang zum Differentialsystem. Die gefundene Form ist auch
hinreichend 165
42. Berechnung der Integrale in der Umgebung einer Stelle der Bestimmtheit
für Differentialgleichungen zweiter Ordnung 168
43. Beispiele. Verhalten der Integrale im Unendlichen 175
44. Direkte Behandlung der Differentialsysteme 181
45. Riccatische Differentialgleichung und beliebige Differentialgleichung
erster Ordnung 185
46. Der Fuchssche Typus .191
47. Das Integrationsproblem. Fundamentalsubstitntionm 196
Inhalt. VII
Seite
4H. Monodromiugnippe. Dpi Artbej^riff. Kuiidaiiioiitallcmiiia .... 200
4y. Kon.stanteiizählunf^eii. Iliemannsclie Differeiitialsystenie .... 20.t
hO. Vereinfacliun^ des Hiemannsclieii Difforcntial.sy.stonis. (Jaußsche
Differential};;l(Mchung 208
Siebentes Kapitel. Die (Jauüsclie Diirerciitial^leicliuii^^.
51. Aufstellung des kanonischen Fundamentulsy.stenis für den Nullpunkt 21U
52. Erledigung der Ausnahmefälle 212
53. Kanonische Fundainentalsysteiiie für x= l,.r=cv) 21G
54. Konvergenzbereiche der aufgestellten Reihenentwicklungen . . 217
55. Bestimmung der Fundamentalsubstitutionen 219
5(5. Multiplikator. Adjungierte Differentialgleichung. Identität voü
hagrange 223
57. Integration der Gaußscheu Differentialgleichung durch bestimmte
Inte.rale. Vertauschung von Parameter und Argument Eulersche
Transformierte 2215
58. Bestimmung der Dichtigkeitsfunktion und des Integrationsweges 228
59. Darstellung der Gaußscheu Reihe F (n. .';. (. x) durch ein bestimmtes
Integral 282
IJO. Darstellung des zweiten zu x = gehörigen kanonischen Integrals.
Differentialgleichung für die Periodizitätsmoduln des elliptischen
Integrals erster Gattung 236
61. Die Klassenbeziehung 240
62. Behandlung eines speziellen Falles 243
63. Legendresche Polynome 245
Achtes Kapitel. Untersuchung der Integrale in der Inigcbung- eines
Punktes der Unbestimmtheit.
64. Differentialsysteme vom Range Eins. Normalreihe.i 248
65. Differentialgleichung zweiter Ordnung. Riccatische Differentialgleichung
252
66. Begriff der asymptotischen Darstellung. Differentialgleichungen vom
Range Eins. Angenäherte Differentialgleichungen 257
67. Laplacesche Differentialgleichung. Integration durch bestimmte
Integrale 260
68. Bestimmung der Dichtigkeitsfunktion und des Integrationsweges 263
69. Reellpositive Werte der unabhängigen Veränderlichen. Reihenentwicklung
der Integrale. Gammafunktion 266
70. Beweis der asymptotischen Darstellung durch Untersuchung des
Restgliedes . • 270
71. Die Besselsche Differentialgleichung 274
72. Darstellung der Lösungen der Laplaceschen Differentialgleichung
durch Fakultätenreihen 280
Neuntes Kapitel. Terailgemeinerungen. Parametrale Probleme.
73. Differentialsysteme für n Unbekannte. Integrodifferentialgleichungen 286
VIIT Inhalt.
Seite
74. Die Altbeziehung. Adjungierte Systeme 289
In. Theorie der adjungierten Systeme. Integration des vollständigen
linearen DiffercntiaLsysteras 292
7H. Beispiel oiner linearen Integrodifferentialgleichung 295
77. Die Fundanientalsubstitutionen in ihrer Abhängigkeit von den in den
Koeffizienten des Differentialsystems enthaltenen Parametern. Das
Riemannsche Problem 299
78. Das Fuchssche Problem. .Aufstellung eines DifferentiaJsystems
zweiten Grades • 303
79. Algebraische Integralgleichungen des Difterentialsystems ^K,i. Besondere
Fälle 307
80. Integration des Differentialsystems (K). Bericht über neuere i'ntersuchungen
314
Sach- und .Xamenverzeichnis .321