Matrices et opérateurs de Toeplitz

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Préface
Remerciements
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I. Pourquoi Toeplitz-Hankel ? Motivations et panorama
1. Mûrissement latent - Le PRH et les OIS
1.1. XIXe siècle : B. Riemann et V. Volterra
1.2. XXe siècle : D. Hilbert
1.3. G. Birkhoff et H. Poincaré
2. L'émergence du sujet : O. Toeplitz
3. La période classique
3.1. Révolution de Gabor Szegö
3.2. Opérateurs intégraux de N. Wiener et E. Hopf
3.3. Un nouveau challenge se prépare -le modèle de Lenz-Ising
4. L'âge d'or et le drame des idées
4.1. S. Mikhlin et le calcul symbolique des OIS
4.2. L'école de Mark Krein
4.3. L. Onsager, et à nouveau G. Szegö
4.4. M. Rosenblum, A. Devinatz, et le drame de la coïncidence
5. Le monde parallèle/complémentaire de Hankel, et l'époque post-moderne des opérateurs Ha-plitz
6. Notes et remarques
II. Hankel et Toeplitz - opérateurs frères dans l'espace H²
1. Trois définitions des opérateurs de Toeplitz. Le symbole
1.1. Les espaces l², L² et H²
1.2. Opérateurs de translation (ou shift)
1.3. Matrice d'un opérateur
1.4. Matrices de Toeplitz
1.5. Opérateurs de Toeplitz
1.6. Commentaire : trois définitions équivalentes des opérateurs de Toeplitz
1.7. Exemples
2. Opérateurs de Hankel et leurs symboles
2.1. Matrices de Hankel
2.2. Opérateurs de Hankel
3. Exercices
3.0. Exercices de base: espaces de Hilbert et de Hardy, et leurs opérateurs
3.1. Transformation de Berezin et le TNR
3.2. Projection naturelle sur ...
3.3. Opérateurs de Toeplitz dans l^p(Z+) et H^p(T)
3.4. L'espace BMO(T), le TNR et la norme de A. Garsia
3.5. Hankel compacts et les espaces VMO(T) et QC(T)
3.6. Opérateurs de Hankel de rang fini (L. Kronecker, 1881)
3.7. Opérateur de Hankel de Hilbert-Schmidt
3.8. La preuve originelle du lemme de Sarason, 1967
3.9. Compacité des commutateurs [P+, M_φ] (S. Power, 1980)
3.10. La projection naturelle sur Hank(l²(Z+))
3.11. Opérateurs de Toeplitz à valeurs vectorielles
3.12. Propriétés algébriques des opérateurs de Toeplitz/Hankel
4. Notes et remarques
III. Théorie H² des opérateurs de Toeplitz
1. Théorie de Fredholm de l'algèbre de Toeplitz
1.8. Le rôle de l' homotopie
2. Le principe local de Igor Simonenko
2.3. Preuve du théorème III-2.1 (D. Sarason, 1973)
2.4. Exemples
3. Le critère principal d'inversibilité
3.6. Factorisation de Wiener-Hopf
3.8. Commentaire sur la factorisation Wiener-Hopf
3.9. Premières conséquences du critère principal
4. Exercices
4.0. Exercices de base : opérateurs intégraux et de multiplication
4.1. Inclusions spectrales
4.2. Symboles holomorphes φ∈H^∞
4.3. Théorie de Fredholm dans l'algèbre ...
4.5. Théorie de Fredholm dans l'algèbre ...
4.6. Un principe local simplifié (I. Simonenko, 1960)
4.7. Fred(H²) et sectorialité locale
4.8. Multiplicateurs conservant Fred(H²)
4.9. L'algèbre de Toeplitz ... - une condition nécessaire
4.10. Opérateurs de Hankel dans l'algèbre de Toeplitz ...
4.11. L'équation T_φ = 1 et le théorème III-3.9.2
4.12. Y a-t-il un régularisateur de T_φ dans ...
4.13. Théorie de Fredholm pour les symboles presque périodiques
4.14. Opérateurs de Fredholm T_φ à symboles matriciels
4.15. Opérateurs de Toeplitz « tronqués »
5. Notes et remarques
IV. Applications : Riemann-Hilbert, Wiener-Hopf, et les OIS
1. Le problème de Riemann-Hilbert et les OIS
1.2. Transformation de Hilbert H et OIS
1.3. Commentaire. Opérateurs et équations intégrales singulières
2. Toeplitz dans H²(C+) et Wiener-Hopf dans L²(R+)
2.1. Rappel sur l'espace H²(C+). Théorème de Paley-Wiener
2.3. Pseudo-mesures et opérateurs de Wiener-Hopf
2.4. Transfert de la théorie aux opérateurs de Wiener-Hopf
2.5. Équations et opérateurs de Wiener-Hopf classiques
2.6. Opérateurs aux différences finies
2.7. Opérateurs W_μ, aux mesures μ causales
2.8. L'OIS de Hilbert dans L²(R+)
3. Matrice de W_k dans une BON de Laguerre
4. Opérateurs de Wiener-Hopf sur un intervalle fini
4.1. Détermination du symbole
4.2. W^a_k de rang 1
4.3. Majoration de la norme ||W^a_k|| par la meilleure extension
4.4. Exemple: un opérateur W^a_k sans symbole k∈PM[-a,a]
4.7. Exemple: opérateur de Volterra
5. Exercices
5.0. Exercices de base : les transformations de Riesz
5.1. Formules de Sokhotsky-Plemelj
5.2. Systèmes d'équations et opérateurs de Wiener-Hopf matriciels
5.3. Opérateurs de Hankel dans H²(C+) et L²(R+)
5.4. Polynômes de Laguerre
5.5. Opérateurs W^a_k compacts
6. Notes et remarques
V. Matrices de Toeplitz : Moments, Spectres, Asymptotiques
1. Matrices de Toeplitz définies positives, problèmes des moments et polynômes orthogonaux
1.3. Preuve du théorème V-1.1 (page 215)
1.4. Le PMT tronqué : extension en une suite définie positive
1.5. Opérateurs de Toeplitz tronqués
1.6. L'approche opérateur des polynômes orthogonaux
1.7. Le PMT tronqué d'après C. Carathéodory et G. Szego
2. Norme d'une matrice de Toeplitz
2.2. Commentaires et cas particuliers
2.3. Preuve du théorème V-2.1 (page 229)
2.4. Preuve du lemme V-2.2.1 (page 233)
3. Inversion d'une matrice de Toeplitz
3.3. Commentaires
4. Inversion des opérateurs de Toeplitz par troncatures finies
4.1. Inversion par troncatures
4.2. Théorème (opérateurs de Toeplitz ITro)
4.3. Commentaire: un contre-exemple de S. Treil (1987)
5. Théorie des matrices circulantes
5.1. Shift (translation) cyclique
5.3. Propriétés de base
5.4. Spectre et diagonalisation des circulantes
5.5. Une inégalité de W. Wirtinger (1904)
6. Déterminants de Toeplitz et asymptotique des spectres
6.1. La première formule asymptotique de Szegö (1915)
6.2. Équidistribution des suites, d'après H. Weyl (1910)
6.3. Distribution asymptotique des spectres
6.4. Distribution asymptotique rencontre des circulantes
6.5. Le second terme de l'asymptotique de Szegö
6.6. Quelques formules pour les traces et les déterminants
6.7. Conclusion
7. Exercices
7.0. Exercices de base : volumes, distances, et approximations
7.1. Suites définies positives et fonctions holomorphes
7.2. Semi-commutateurs des matrices de Toeplitz finies
7.3. Inversion des opérateurs de Wiener-Hopf par troncatures
7.4. Quand la deuxième asymptotique de Szegö se stabilise
7.5. Déterminants de Cauchy (1841)
7.6. Le second terme d'asymptotique selon Libkind et Widom
7.7. La formule de W. Helton et R. Howe du V-6.6.1
7.8. Formule de A. Borodin/A. Okounkov
8. Notes et remarques
Annexe A. Rappels sur les espaces de Banach
1. Dualité
2. Somme de sous-espaces
3. Sous-espaces de dimension ou de codimension finie
4. Bases de Schauder
5. Notes et remarques
Annexe B. Rappels sur les espaces de Hilbert
1. Produits semi-scalaires et espaces de Hilbert
2. Décompositions orthogonales
3. Bases orthogonales
4. Matrices de Gram
5. Théorème de représentation de F. Riesz
6. Espaces de Hilbert à Noyau Reproduisant (EHNR)
7. Notes et remarques
Annexe C. Rappels sur les algèbres de Banach
1. Spectre et calcul fonctionnel holomorphe
2. Algèbres stellaires (C*-algèbres)
3. Algèbres de Banach commutatives. Théorie de I. Gelfand
4. Exemple(s)
5. Notes et remarques
Annexe D. Rappels sur les opérateurs linéaires
1. L'espace des opérateurs linéaires bornés X -> Y
2. Adjoints, polaires, et la dualité
3. Fondamentaux des opérateurs linéaires (S. Banach, J. Schauder)
4. Opérateurs intégraux, test de I. Schur
5. Opérateurs compacts
6. Algèbre de Calkin ...
7. Opérateurs dans un espace de Hilbert
8. Classes de Schatten-von Neumann ...
9. Notes et remarques
Annexe E. Opérateurs de Fredholm et indice de Noether
1. Opérateurs de Fredholm
2. L'inversibilité et la propriété de Fredholm
3. Le spectre de Fredholm (spectre essentiel)
4. Opérateurs entre des espaces de dimension finie
5. Opérateurs de Fredholm et isomorphismes
6. Sommes directes
7. Fondamentaux des opérateurs de Fedholm
7.5. L'algèbre de Calkin (rappel et notations)
8. Quelques exemples
9. En guise de conclusion
10. Notes et remarques
Annexe F. Rappels sur les espaces de Hardy
1. Espaces de Hardy dans le disque et sur le cercle
2. Propriétés de base
3. Conjugaison harmonique (transformation de Hilbert)
4. Approximation polynomiale
5. Transfert de H²(T) sur l'axe réel R
6. Espaces H^p à valeurs vectorielles
7. Notes et remarques
Bibliographie
Index
Liste des notations