Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 2

Vorwort
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
Teil I
Lineare Algebra
1 Gruppen und Körper
Übersicht
1.1 Gruppe der linearen Funktionen
1.2 Untergruppen der Kongruenzabbildungen eines Quadrates
1.3 Untergruppe generiert durch eine Permutation
1.4 Rechnen mit Permutationen in Zyklenschreibweise
1.5 Zyklendarstellung, Vorzeichen und Hintereinanderschaltung von Permutationen
1.6 Mathematik-Online Schiebepuzzle
1.7 Verknüpfungstabelle einer Permutationsgruppe
1.8 Gleichungssystem mit zwei Unbekannten über einem Primkörper
1.9 Identitäten in Modulo-Arithmetik
1.10 Turniertabellen und Primkörper
1.11 Größter gemeinsamer Teiler von zwei Polynomen
1.12 Chinesischer Restsatz für drei Kongruenzen
2 Vektorräume, Skalarprodukte und Basen
Übersicht
2.1 Unterräume des Vektorraums der Polynome
2.2 Schnitt von Unterräumen
2.3 Eigenschaften reeller Skalarprodukte
2.4 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren im
2.5 Lineare Unabhängigkeit und Basis im
2.6 Punkt im Dreieck als Konvexkombination
2.7 Basis mit Parameter
2.8 Basis eines Polynomraums
2.9 Ergänzung zu einer komplexen orthogonalen Basis und Koeffizientenbestimmung
2.10 Orthogonale Basis einer Hyperebene und Projektion
2.11 Orthogonale Basis für einen Polynomraum
2.12 Basis zu einer Gramschen Matrix
3 Lineare Abbildungen und Matrizen
Übersicht
3.1 Linearität von Abbildungen
3.2 Matrixdarstellung einer linearen Abbildung
3.3 3 × 2-Matrix zu Urbild-Bild-Paaren
3.4 Matrix der Projektion auf eine Ebene
3.5 Matrix eines Basiswechsels
3.6 Normen einer 3 × 2-Matrix
3.7 Affine Abbildungen
3.8 Affine Abbildungen in homogenen Koordinaten
3.9 Matrix-Produkte
3.10 Vervollständigung einer Matrizen-Gleichung
3.11 Multiplikation schwach besetzter Matrizen
3.12 Nilpotente Matrizen
3.13 Matrizen und binomische Formeln
3.14 Kommutierende 3 × 3-Matrizen 
3.15 Cholesky-Faktorisierung
3.16 Rechnen mit adjungierten Matrizen
3.17 Rang einer Matrix und orthogonale Basis für den Kern
3.18 Rang einer Matrix und orthogonale Basis für das Bild
4 Determinanten
Übersicht
4.1 Verschiedene Methoden zur Berechnung einer 3 × 3-Determinante
4.2 Determinanten von 3 × 3-Matrizen
4.3 Rechnen mit Determinanten
4.4 Umformung von 3 × 3-Determinanten
4.5 Entwicklung einer 4 × 4-Determinante
4.6 Gleichung einer Ebene durch drei Punkte
4.7 Determinante einer 5 × 5-Matrix 
4.8 Determinante einer dünn besetzten 5 × 5-Matrix
4.9 Determinanten von Matrizen mit Block-Struktur
4.10 Rekursion für die Determinante einer tridiagonalen Matrix
4.11 Determinante einer n × n-Matrix
5 Lineare Gleichungssysteme
Übersicht
5.1 Cramersche Regel für ein lineares Gleichungssystem
(3 × 3)
5.2 Rationale Interpolation
5.3 Lineares Gleichungssystem (4 × 4)
5.4 Affine Transformation zu gegebenen Bildpunkten
5.5 Punkte innerhalb und außerhalb eines Dreiecks
5.6 Tridiagonales lineares Gleichungssystem (5 × 5)
5.7 Elektrischer Schaltkreis
5.8 Bauer Marcus
5.9 Zeilenstufenform und allgemeine Lösung eines linearen Gleichungssystems (3 × 4)
5.10 Zeilenstufenform und allgemeine Lösung eines linearen Gleichungssystems (3 × 5)
5.11 Lineares Gleichungssystem mit Parameter (2 × 2)
5.12 Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems mit Parameter (3 × 3)
5.13 Lineares Gleichungssystem mit Parameter (3 × 3)
5.14 Lineares Gleichungssystem mit Parameter (4 × 3)
5.15 Inverse einer symmetrischen 3 × 3-Matrix
5.16 Inverse einer 3 × 3-Matrix
5.17 Rang-1-Aktualisierung einer inversen Matrix
6 Eigenwerte und Normalformen
Übersicht
6.1 Eigenwerte und Eigenvektoren von 2 × 2-Matrizen
6.2 Eigenwerte und Eigenvektoren einer 3 × 3-Matrix
6.3 Eigenvektoren von 3 × 3-Matrizen mit dreifachen
Eigenwerten
6.4 Eigenwerte von Permutationsmatrizen
6.5 Eigenvektoren einer symmetrischen 4 × 4-Matrix
6.6 Abschätzung von Gerschgorin
6.7 Diagonalisierung einer 3 × 3-Matrix
6.8 Diagonalform einer orthogonalen symmetrischen 3 × 3-Matrix
6.9 Dritte Wurzel einer 2 × 2-Matrix
6.10 Eigenwerte und Inverse einer zyklischen 4 × 4-Matrix
6.11 Normalität und Eigenvektoren einer 2 × 2-Matrix mit
Parameter
6.12 Jordan-Form einer 3 × 3-Matrix
6.13 Grenzwert bei einer 3-Term-Rekursion
6.14 Marktanteile konkurrierender Firmen 
7 Ausgleichsprobleme und Singulärwertzerlegung
Übersicht
7.1 Ausgleichsgerade zu drei Datenpaaren
7.2 Ausgleichsproblem (3 × 2)
7.3 Gewichtetes Ausgleichsproblem
7.4 Gerade mit kürzesten Abständen zu gegebenen Punkten 
7.5 Ausgleichsebene
7.6 Rekonstruktion eines Kreises aus gestörten Daten
7.7 Pseudo-Inverse einer 4 × 3-Matrix und ihrer
Transponierten
7.8 Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse einer 3 × 2-Matrix
7.9 Lösung eines Ausgleichsproblems mit der
Singulärwertzerlegung
7.10 Lineare Approximation einer Abbildung 
7.11 Korrektur von Höhenmessungen 
7.12 Rekursion bei Ausgleichsproblemen 
7.13 Iterative Lösung von Ausgleichsproblemen
8 Spiegelungen, Drehungen, Kegelschnitte und Quadriken
Übersicht
8.1 Matrix-Darstellung einer Spiegelung
8.2 Projektion und Spiegelung, bestimmt durch eine Gerade
8.3 Drehachse und Drehwinkel
8.4 Matrixdarstellung einer Drehung
8.5 Drehmatrix, die gegebene Vektoren ineinander überführt
8.6 Drehung als Komposition zweier Spiegelungen
8.7 Zerlegung einer Drehung in Drehungen um die Koordinatenachsen
8.8 Gleichung einer Ellipse
8.9 Hyperbel durch einen Punkt zu gegebenen Brennpunkten
8.10 Hauptachsentransformation eines Kegelschnitts
8.11 Normalform eines Kegelschnitts
8.12 Rationale Parametrisierung eines Kegelschnitts
8.13 Normalform und Typ einer parameterabhängigen Quadrik
8.14 Gleichung einer Quadrik
8.15 Normalform, Typ und Hauptachsenlängen einer Quadrik
9 Tests
Übersicht
9.1 Gruppen und Körper
9.2 Vektorräume, Skalarprodukte und Basen
9.3 Lineare Abbildungen und Matrizen
9.4 Determinanten
9.5 Lineare Gleichungssysteme
9.6 Eigenwerte und Normalformen
9.7 Ausgleichsprobleme und Singulärwertzerlegung
9.8 Spiegelungen, Drehungen, Kegelschnitte und Quadriken
Teil II
Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen
10 Stetigkeit, partielle Ableitungen und Jacobi-Matrix
Übersicht
10.1 Stetigkeit im Ursprung
10.2 Höhenlinien und Schnitte einer bivariaten Funktion
10.3 Grenzwerte bivariater Funktionen
10.4 Sierpinski-Folgen
10.5 Partielle Ableitungen bivariater Funktionen
10.6 Partielle Ableitungen eines Polynoms
10.7 Partielle Ableitungen trivariater Funktionen
10.8 Höhere partielle Ableitungen von trivariaten Funktionen
10.9 Partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung einer trivariaten Funktion
10.10 Partielle Ableitungen bis zur dritten Ordnung einer bivariaten Funktion
10.11 Spezielle Lösungen partieller Differentialgleichungen
10.12 Jacobi-Matrizen (2 × 1, 1 × 2, 2 × 3)
10.13 Jacobi-Matrizen (2 × 4, 3 × 3)
10.14 Restglied der linearen Approximation mit Hilfe der Jacobi-Matrix
11 Kettenregel und Richtungsableitung
Übersicht
11.1 Erste und zweite partielle Ableitungen eines Ausdrucks mit einer quadratischen Form
11.2 Erste und zweite partielle Ableitungen radialsymmetrischer Funktionen
11.3 Kettenregel für den Gradienten einer bivariaten zusammengesetzten Funktion
11.4 Kettenregel für Jacobi-Matrizen
11.5 Jacobi-Matrix bei Komposition und Invertierung von Funktionen
11.6 Partielle Ableitungen und Polarkoordinaten
11.7 Ableitung einer trivariaten Funktion entlang einer Kurve
11.8 Richtungsableitungen trivariater Funktionen
11.9 Richtungsableitung und Abstiegsrichtungen einer bivariaten Funktion
11.10 Steigungen bei einer Bergwanderung
12 Inverse und implizite Funktionen
Übersicht
12.1 Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung
12.2 Inverse und Jacobi-Matrizen für eine trivariate Funktion
12.3 Tangente einer algebraischen Kurve
12.4 Tangente und lokale Parametrisierung einer implizit definierten Kurve
12.5 Lokale Parametrisierung einer Schnittkurve
12.6 Lokale Auflösbarkeit einer trivariaten Gleichung
12.7 Auflösbarkeit von zwei nichtlinearen Gleichungen
12.8 Implizite Differentiation und Tangentialebene
13 Anwendungen partieller Ableitungen
Übersicht
13.1 Kontrahierende univariate Abbildungen
13.2 Banachscher Fixpunktsatz für eine univariate Abbildung
13.3 Gestörtes lineares Gleichungssystem
13.4 Newton-Verfahren für ein System zweier nichtlinearer Gleichungen
13.5 Tangenten ebener Kurven
13.6 Krümmung ebener Kurven
13.7 Tangentialebenen für implizit und parametrisch definierte Flächen
13.8 Schnittgerade zweier Tangentialebenen
13.9 Fehlerfortpflanzung bei der Lösung einer quadratischen Gleichung
14 Taylor-Entwicklung
Übersicht
14.1 Bivariate quadratische Taylor-Approximation mit Hilfe bekannter Entwicklungen
14.2 Restglied eines bivariaten quadratischen Taylor-Polynoms
14.3 Quadratisches Taylor-Polynom einer trivariaten Funktion
14.4 Jacobi-Matrix und Abschätzung des Taylor-Restglieds
14.5 Taylor-Reihe einer bivariaten Wurzelfunktion
14.6 Auflösbarkeit einer nichtlinearen Gleichung und Taylor-Approximation
14.7 Lineare Taylor-Approximation einer inversen Matrix
15 Extremwerte
Übersicht
15.1 Kritische Punkte bivariater quadratischer Funktionen
15.2 Kritische Punkte eines bivariaten Polynoms
15.3 Nullstellenmenge und kritische Punkte einer bivariaten Funktion
15.4 Extremwerte eines trivariaten Polynoms
15.5 Minimum einer quadratischen Funktion auf einem Rechteck
15.6 Extrema einer bivariaten Funktion entlang einer Kurve
15.7 Abstand eines Kegelschnitts vom Ursprung
15.8 Extrema einer trivariaten linearen Funktion unter einer quadratischen Nebenbedingung
15.9 Extrema einer Funktion auf der Sphäre
15.10 Quadratisches Optimierungsproblem
15.11 Abstand eines Kegelschnitts vom Ursprung
15.12 Extrema einer linearen Funktion unter Ungleichungsnebenbedingungen
15.13 US-Mailbox
16 Tests
Übersicht
16.1 Stetigkeit, partielle Ableitungen und Jacobi-Matrix
16.2 Kettenregel und Richtungsableitung
16.3 Inverse und Implizite Funktionen
16.4 Anwendungen partieller Ableitungen
16.5 Taylor-Entwicklung
16.6 Extremwerte
Teil III
Mehrdimensionale Integration
17 Volumina und Integrale über Elementarbereiche
Übersicht
17.1 Elementare Doppelintegrale
17.2 Trigonometrische Doppelintegrale
17.3 Doppelintegrale mit Exponentialfunktionen
17.4 Doppelintegral einer rationalen Funktion
17.5 Vertauschung der Integrationsreihenfolge bei Doppelintegralen
17.6 Elementare Dreifachintegrale
17.7 Integration über die Vereinigungsmenge zweier Ellipsen
17.8 Integral über einen Pyramidenstumpf
17.9 Quadraturformel für ein Dreieck
17.10 Integration über einen Tetraeder
17.11 Volumen eines Polyeders
17.12 Darstellung und Volumen eines Schnittkörpers
17.13 Volumina von Rohranschlussstücken
18 Transformationssatz
Übersicht
18.1 Integration über Parallelogramme
18.2 Integral einer quadratischen Funktion über ein Dreieck
18.3 Transformationssatz für ein Gebiet in Polarkoordinaten
18.4 Integral einer linearen Funktion über einen Spat
18.5 Integration eines Polynoms über einen polynomial parametrisierten ebenen Bereich
18.6 Volumen verschiedener Tori
19 Kurven- und Flächenintegrale
Übersicht
19.1 Länge einer spiralförmigen Kurve und Kurvenintegral
19.2 Parametrisierung und Länge einer Hypozykloide
19.3 Berechnung von Flächenelementen
19.4 Integral über ein Parallelogramm
19.5 Integral über eine Fläche mit polynomialer Parametrisierung
19.6 Flächeninhalt und Randlänge eines Funktionsgraphen
20 Integration in Zylinder- und Kugelkoordinaten
Übersicht
20.1 Flächeninhalt und Umfang eines in Polarkoordinaten beschriebenen Bereichs
20.2 Integration über einen elliptischen Kegel
20.3 Integrale über einen Zylinder und eine Kugel
20.4 Integral über eine Kugelkappe
20.5 Oberfläche eines Rohrs mit ausgestanztem Loch
20.6 Integral über eine Zylinderoberfläche
20.7 Integrale über eine Kugeloberfläche
20.8 Mittelwert der Abstandsfunktion für eine Sphäre
20.9 Vivianische Kurve
21 Rotationskörper, Schwerpunkt und Trägheitsmoment
Übersicht
21.1 Volumen von Rotationskörpern bezüglich unterschiedlicher Achsen
21.2 Profil und Volumen einer Vase
21.3 Volumen und Mantelfläche eines Rotationskörpers
21.4 Oberfläche eines Reifens
21.5 Guldinsche Regel für Volumina von Rotationskörpern
21.6 Volumen und Mantelfläche eines Hyperboloids
21.7 Geometrischer Schwerpunkt einer Eistüte
21.8 Flächenschwerpunkt eines Paraboloids
21.9 Schwerpunkt und Trägheitsmoment eines Kegelstumpfes
21.10 Masse, Schwerpunkt und Trägheitsmoment eines Paraboloids
22 Partielle Integration
Übersicht
22.1 Hauptsatz bei Kugel und Sphäre
22.2 Vereinfachung eines uneigentlichen Integrals mit Hilfe partieller Integration
22.3 Partielle Integration für einen Zylinder
22.4 Erste Greensche Formel für ein Dreieck
22.5 Greensche Formel für eine Kugel
22.6 Fundamentallösung der bivariaten Poisson-Gleichung
23 Tests
Übersicht
23.1 Volumina und Integrale über Elementarbereiche
23.2 Transformationssatz
23.3 Kurven- und Flächenintegrale
23.4 Integration in Zylinder- und Kugelkoordinaten
23.5 Rotationskörper, Schwerpunkt und Trägheitsmoment
23.6 Partielle Integration
Teil IV
Anwendungen mathematischer Software
24 MATLAB®
Übersicht
24.1 Produkte von Matrizen und Vektoren mit MATLAB®
24.2 Lineare Gleichungssysteme mit MATLAB®
24.3 Interpolation mit radialen Funktionen mit MATLAB®
24.4 Polynomapproximation mit MATLAB®
24.5 Gauß-Parameter mit MATLAB®
24.6 Gauß-Seidel-Verfahren mit MATLAB®
24.7 Jacobi-Iteration für die Poisson-Gleichung mit MATLAB®
24.8 Eigenwerte und Eigenvektoren mit MATLAB®
24.9 Ausgleichsprobleme mit MATLAB®
24.10 Normalform einer Quadrik mit MATLAB®
24.11 Darstellung von Quadriken in MATLAB®
24.12 Mengenoperationen mit R-Funktionen in MATLAB®
24.13 Visualisierung bivariater Funktionen mit MATLAB®
24.14 Kubische Splinekurven mit MATLAB®
24.15 Kubische Splineinterpolation mit MATLAB®
24.16 Minimierung mit MATLAB®
24.17 Gauß-Newton-Verfahren mit MATLAB®
24.18 Doppel- und Dreifachintegrale mit MATLAB®
24.19 Subdivision von Spline-Flächen mit MATLAB®
24.20 Monte-Carlo-Integration mit MATLAB®
25 Maple™
Übersicht
25.1 Eingabe und Multiplikation von Matrizen und Vektoren mit Maple™
25.2 Gram-Schmidt-Orthogonalisierung mit Maple™
25.3 Lösen linearer Gleichungssysteme mit Maple™
25.4 Eigenwerte und Jordanform mit Maple™
25.5 Lösen nichtlinearer Gleichungssysteme mit Maple™
25.6 Gleichung eines rational parametrisierten Kegelschnitts mit Maple™
25.7 Partielle Ableitungen mit Maple™
25.8 Multivariate Taylor-Entwicklung mit Maple™
25.9 Epizykloiden mit Maple™
25.10 Algorithmus von De Casteljau mit Maple™
25.11 Maple™ -Animation von Regelflächen
25.12 Gebietstransformation für ein Doppelintegral mit Maple™
25.13 Flächenberechnung mit Maple™
25.14 Konstruktion eines 1000-Liter Fasses mit Maple™
Teil V
Formelsammlung
26 Lineare Algebra
Übersicht
26.1 Gruppen und Körper
26.2 Vektorräume, Skalarprodukte und Basen
26.3 Lineare Abbildungen und Matrizen
26.4 Determinanten
26.5 Lineare Gleichungssysteme
26.6 Eigenwerte und Normalformen
26.7 Ausgleichsprobleme und Singulärwertzerlegung
26.8 Spiegelungen, Drehungen, Kegelschnitte und Quadriken
27 Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen
Übersicht
27.1 Stetigkeit, partielle Ableitungen und Jacobi-Matrix
27.2 Kettenregel und Richtungsableitung
27.3 Inverse und implizite Funktionen
27.4 Anwendungen partieller Ableitungen
27.5 Taylor-Entwicklung
27.6 Extremwerte
28 Mehrdimensionale Integration
Übersicht
28.1 Volumina und Integrale über Elementarbereiche
28.2 Transformationssatz
28.3 Kurven- und Flächenintegrale
28.4 Integration in Zylinder- und Kugelkoordinaten
28.5 Rotationskörper, Schwerpunkt und Trägheitsmoment
28.6 Partielle Integration
Literaturverzeichnis