Книга опровергает расхожее мнение о том, что единственный способ обучения математике – решение задач. Автор смещает акцент с формального подхода к развитию математического восприятия, на котором основывается понимание математики в целом. Текст содержит не традиционные упражнения, а, скорее, «поводы к размышлению», помогающие сформировать интуитивное чутье в математике – подобно тому как человек усваивает языки или приобретает художественный вкус. Вы пройдете путь от обзора базовых математических понятий (абстракции, математические паттерны, отношения, категории) к всестороннему изучению различных тем теории категорий, среди которых абстрактная сущность множеств и функций; изоморфизмы, мономорфизмы, эпиморфизмы; произведения и копроизведения; функторы; переход к высшим измерениям; связь теории категорий с реальной жизнью.
Издание будет полезно всем любителям математики, кто желает приобрести более глубокие знания и испытывать положительные эмоции от обучения.
Author(s): Юджиния Ченг
Edition: 1
Publisher: Books.kz
Year: 2024
Language: Russian
Commentary: Publisher's PDF
Pages: 454
City: М.
Tags: Popular Science; Mathematics; Category Theory
От издательства
Благодарности
Пролог
Часть I. ЧТО ТАКОЕ КАТЕГОРИЯ
1. Начнем с идей
1.1. Абстракция и аналогии
1.2. Связи и унификация
1.3. Контекст
1.4. Отношения
1.5. Сходство
1.6. Характеризация объектов по их роли в контексте
1.7. Увеличение и уменьшение детализации
1.8. Структура и методы
2. Абстракция
2.1. Что такое математика?
2.2. Дисциплины-близнецы: логика и абстракция
2.3. Отказ от деталей
2.4. Достоинства и недостатки абстракции
2.5. Построение аналогий с реальными вещами
2.6. Разные абстракции одних и тех же объектов
2.7. Продвижение по уровням абстракции математики
3. Паттерны
3.1. Поиск паттернов в математике
3.2. Паттерны как аналогии
3.3. Паттерны как признаки структуры
3.4. Абстрактная структура как тип паттерна
3.5. Абстракция помогает нам видеть закономерности
4. Контекст
4.1. Расстояние
4.2. Миры чисел
4.3. Нулевой мир
5. Отношения
5.1. Семейные отношения
5.2. Симметрия
5.3. Арифметика
5.4. Модульная арифметика
5.5. Четырехугольники
5.6. Решетки множителей
6. Формализм
6.1. Виды туризма
6.2. Почему мы используем формализм
6.3. Пример: метрические пространства
6.4. Базовая логика
6.5. Пример: модульная арифметика
6.6. Пример: решетки множителей
7. Отношения эквивалентности
7.1. Исследование равенства
7.2. Идея абстрактных отношений
7.3. Рефлексивность
7.4. Симметричность
7.5. Транзитивность
7.6. Эквивалентность
7.7. Примеры из математики
7.8. Интересные неудачи
8. Категории: определение
8.1. Данные: объекты и отношения
8.2. Структура: что мы можем делать с данными
8.3. Свойства: требования к структуре
8.4. Формальное определение
8.5. Проблемы с размером
8.6. Геометрия ассоциативности
8.7. Рисование полезных диаграмм
8.8. Суть композиции
Иинтерлюдия. ТУР ПО МАТЕМАТИКЕ
9. Новый взгляд на знакомые примеры
9.1. Симметрия
9.2. Отношения эквивалентности
9.3. Множители
9.4. Системы счисления
10. Упорядоченные множества
10.1. Полностью упорядоченные множества
10.2. Частично упорядоченные множества
11. Малые математические структуры
11.1. Графические примеры малых структур
11.2. Моноиды
11.3. Группы
11.4. Точки и пути
12. Множества и функции
12.1. Функции
12.2. Структура: тождества и композиция
12.3. Свойства: законы тождественности и ассоциативность
12.4. Категория множеств и функций
13. Большие миры математических структур
13.1. Моноиды
13.2. Группы
13.3. Посеты
13.4. Топологические пространства
13.5. Категории
13.6. Матрицы
Часть II. ПРИМЕНЕНИЕ ИДЕЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЙ
14. Изоморфизмы
14.1. Сходство
14.2. Обратимость
14.3. Изоморфизм в категории
14.4. Сходство изоморфных объектов в теории категорий
14.5. Изоморфизмы множеств
14.6. Изоморфизмы больших структур.
14.7. Дополнительные темы, связанные с изоморфизмами
15. Мономорфизмы и эпиморфизмы
15.1. Асимметрия функций
15.2. Инъективные и сюръективные функции
15.3. Категорийная инъективность
15.4. Эпиморфизмы: категорийная сюръективность
15.5. Связь с изоморфизмами
15.6. Моноиды
15.7. Дополнительные темы
16. Универсальные свойства
16.1. Роль или персонаж?
16.2. Крайние проявления
16.3. Формальное определение
16.4. Уникальность
16.5. Терминальные объекты
16.6. Когда это не работает?
16.7. Примеры
16.8. Контекст
16.9. Дополнительные темы
17. Двойственность
17.1. Разворот стрелок
17.2. Двойственная категория
17.3. Мономорфизмы и эпиморфизмы
17.4. Терминальные и начальные объекты
17.5. Альтернативное определение категорий
18. Произведения и копроизведения
18.1. Идея в основе категорийных произведений
18.2. Формальное определение
18.3. Произведения как терминальные объекты
18.4. Произведения в категории Set
18.5. Уникальность произведений в категории Set
18.6. Произведения в посетах
18.7. Категория частично упорядоченных множеств
18.8. Моноиды и группы
18.9. Некоторые ключевые морфизмы, индуцированные произведениями
18.10. Двойственность и копроизведения
18.11. Копроизведения в Set
18.12. Декатегорификация: связь с арифметикой
18.13. Копроизведения в других категориях
18.14. Дополнительные темы
19. Расслоенные произведения и копроизведения
19.1. Расслоенные произведения
19.2. Расслоенные произведения в Set
19.3. Расслоенные произведения как терминальные объекты
19.4. Пример определения категории с использованием расслоенных произведений
19.5. Двойственность и расслоенные копроизведения
19.6. Расслоенные копроизведения в категории Set
19.7. Расслоенные копроизведения в топологии
19.8. Дополнительные темы
20. Функторы
20.1. Составляем определение функтора
20.2. Функторы между небольшими структурами
20.3. Функторы из небольших схематических категорий
20.4. Свободные и забывающие функторы
20.5. Сохранение и отражение структуры
20.6. Дополнительные темы
21. Категории категорий
21.1. Категория Cat
21.2. Терминальные и начальные категории
21.3. Произведения и копроизведения категорий
21.4. Изоморфизмы категорий
21.5. Полные и строгие функторы
22. Естественные преобразования
22.1. Определение посредством абстрактной интуиции
22.2. Дополнительно о гомотопиях
22.3. Форма
22.4. Категории функторов
22.5. Диаграммы и конусы над диаграммами
22.6. Естественные изоморфизмы
22.7. Эквивалентность категорий
22.8. Примеры эквивалентностей больших категорий
22.9. Горизонтальная композиция
22.10. Перестановки
22.11. Тотальность
23. Вложение и лемма Йонеды
23.1. Великолепие выводов Йонеды
23.2. Возвращаемся к сходству
23.3. Представимые функторы
23.4. Вложение Йонеды
23.5. Лемма Йонеды
23.6. Заключительные соображения
24. Высшие измерения
24.1. Зачем нужны высшие категории?
24.2. Прямое определение 2-категорий
24.3. Снова hom-множества
24.4. От базовых графов к базовым 2-графам
24.5. Моноидальные категории
24.6. Строгость или слабость?
24.7. Когерентность
24.8. Вырожденность
24.9. Измерения, уходящие в бесконечность
24.10. Мораль всей этой истории
Эпилог. Категорийное мышление
Первопричины
Процесс работы в области теории категорий
Практика теории категорий
Приложение А. Общие сведения о буквенных обозначениях
Приложение B. Общие сведения об основах логики
Приложение C. Общие сведения о теории множеств
Приложение D. Общие сведения о топологических пространствах
Глоссарий
Дополнительное чтение
Предметный указатель
Пустая страница