Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 3

Vorwort
Vorwort zur zweiten Auflage
Vorwort zur dritten Auflage
Vorwort zur vierten Auflage
Hinweise für Dozenten
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
Teil I Vektoranalysis
1 Skalar- und Vektorfelder
Übersicht
1.1 Niveaulinien, Gradient und Laplace-Operator für ein ebenes Skalarfeld
1.2 Differentialgleichung für die Feldlinien eines ebenen Vektorfeldes, Existenz eines Potentials
1.3 Darstellung eines Vektorfeldes sowie Berechnung von Divergenz und Rotation
1.4 Skalarfeld in Zylinderkoordinaten
1.5 Vektorfeld in Zylinderkoordinaten
1.6 Rechenregeln für Gradient, Rotation und Divergenz
1.7 Differentiation von Skalar-, Vektor- und Spatprodukten
1.8 Produktregeln für Differentialoperatoren
1.9 Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten
1.10 Gradient und Laplace-Operator in Kugelkoordinaten
1.11 Divergenz und Rotation in Kugelkoordinaten
2 Arbeits- und Flussintegral
Übersicht
2.1 Kurven- und Arbeitsintegral für eine Schraubenlinie
2.2 Arbeitsintegral längs geradliniger Wege
2.3 Arbeitsintegral längs verschiedener Wege
2.4 Arbeitsintegrale für einen Weg auf der Sphäre
2.5 Flächeninhalt und Flussintegral
2.6 Fluss- und Flächenintegral für ein Dreieck
2.7 Flussintegrale für Parallelogramme
2.8 Fluss durch einen Funktionsgraph
2.9 Fluss durch eine Sphäre
2.10 Fluss durch die Oberfläche eines Hohlzylinders
2.11 Flussintegral für ein Paraboloid
3 Integralsätze von Gauß, Stokes und Green
Übersicht
3.1 Arbeits- und Flussintegrale längs verschiedener Wege
3.2 Arbeitsintegrale und Satz von Green
3.3 Satz von Green für ein Dreieck
3.4 Fluss eines ebenen Vektorfeldes
3.5 Fläche mit polynomialem Rand
3.6 Querschnitt eines Joukowsky-Tragflügels
3.7 Satz von Gauß und Flussintegrale für ein Prisma
3.8 Satz von Gauß für einen Zylinder
3.9 Volumen und Fluss in Zylinderkoordinaten
3.10 Flächen- und Flussintegral für eine Halbkugelschale
3.11 Sätze von Gauß und Stokes für einen Kegel
3.12 Fluss- und Flächenintegral für einen Kegelmantel
3.13 Fluss durch ein sphärisches Dreieck
3.14 Fluss durch eine Halbkugelschale
3.15 Arbeits- und Flussintegrale für einen Zylinder
3.16 Greensche Formeln für einen Tetraeder
4 Potential und Vektorpotential
Übersicht
4.1 Existenz und Konstruktion von Potentialen für ebene Vektorfelder
4.2 Vektorfeld zu gegebenen Arbeitsintegralen
4.3 Bestimmung eines Vektorfeldes und dessen Potentials
4.4 Konstruktion eines wirbelfreien Vektorfeldes aus Feldlinien, Potential
4.5 Potential für ein Vektorfeld mit Parametern
4.6 Wegunabhängigkeit und Wert eines Arbeitsintegrals für ein lineares Vektorfeld
4.7 Potential und Arbeitsintegral für ein radialsymmetrisches Vektorfeld
4.8 Vektorpotential und Flussintegral
4.9 Vektorpotential und Fluss durch eine Kugelkappe
4.10 Potentiale des quellen- und des wirbelfreien Anteils eines linearen Vektorfeldes
4.11 Potentiale und Vektorpotentiale
4.12 Vektorpotential für ein Vektorfeld mit Parametern
4.13 Quellenfreies Vektorpotential
5 Tests
Übersicht
5.1 Skalar- und Vektorfelder
5.2 Arbeits- und Flussintegral
5.3 Integralsätze von Gauß, Stokes und Green
5.4 Potential und Vektorpotential
Teil II Differentialgleichungen
6 Differentialgleichungen erster Ordnung
Übersicht
6.1 Anfangswertprobleme verschiedenen Typs
6.2 Richtungsfeld einer Differentialgleichung
6.3 Lineare Differentialgleichung erster Ordnung
6.4 Lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit spezieller rechter Seite
6.5 Parameterabhängige lineare Differentialgleichung erster Ordnung
6.6 Bernoullische Differentialgleichung
6.7 Separable Differentialgleichung
6.8 Allgemeine Lösung und Skizze von Lösungen für eine separable Differentialgleichung
6.9 Ähnlichkeitsdifferentialgleichung
6.10 Exakte Differentialgleichung
6.11 Integrierender Faktor
6.12 Substitution bei einer Differentialgleichung erster Ordnung
6.13 Fehler des Euler-Verfahrens
6.14 Riccatische Differentialgleichung
6.15 Verfolgung auf hoher See
7 Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Übersicht
7.1 Linearer Oszillator mit variabler Frequenz
7.2 Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit verschiedenen rechten Seiten
7.3 Homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
7.4 Homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit Parameter
7.5 Randwertproblem für eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
7.6 Newton-Verfahren bei Randwertproblemen
7.7 Inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
7.8 Differentialgleichung zweiter Ordnung mit polynomialer rechter Seite
7.9 Inhomogene Eulersche Differentialgleichung
7.10 Differentialgleichungen mit reduzierbarer Ordnung
7.11 Autonome Differentialgleichungen
7.12 Anfangswertproblem für eine Schwingungsdifferentialgleichung
7.13 Periodischer Orbit oder Reise ohne Wiederkehr?
7.14 Allgemeine Lösung und Resonanzfrequenz einer Schwingungsdifferentialgleichung
7.15 Taylor-Approximation der Differentialgleichung für ein gedämpftes Pendel
7.16 Kritische Punkte und Phasendiagramm einer autonomen Differentialgleichung
7.17 Eindimensionale Bewegung in einem Potential
8 Differentialgleichungssysteme
Übersicht
8.1 Standardform und Taylor-Approximation
8.2 Fundamentalmatrix für ein lineares Differentialgleichungssystem
8.3 Anfangswertproblem für ein lineares Differentialgleichungssystem
8.4 Schwingungsdifferentialgleichungen gekoppelter Federn
8.5 Inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem
8.6 Jordan-Form eines homogenen Differentialgleichungssystems
8.7 Differentialgleichungen für Feld- und Äquipotentiallinien
8.8 Eliminationsmethode für ein System von zwei Differentialgleichungen
8.9 Zweidimensionales System, Typ und allgemeine Lösung
8.10 Newtonsche Bewegungsgleichung für ein nicht-konservatives Kraftfeld
8.11 Jordan-Form eines inhomogenen Differentialgleichungssystems
8.12 Raubtier-Beute-Modell
8.13 Typ und Lösungskurven eines zweidimensionalen Differentialgleichungssystems mit Parameter
9 Laplace-Transformation
Übersicht
9.1 Laplace-Transformation trigonometrischer Funktionen
9.2 Laplace-Transformierte von Exponentialfunktionen
9.3 Inverse Laplace-Transformierte rationaler Funktionen
9.4 Laplace-Transformierte periodischer Funktionen
9.5 Laplace-Transformation eines Anfangswertproblems erster Ordnung
9.6 Laplace-Transformation von Anfangswertproblemen erster Ordnung
9.7 Laplace-Transformation eines Anfangswertproblems erster Ordnung mit stückweise konstanter rechter Seite
9.8 Laplace-Transformation eines Anfangswertproblems zweiter Ordnung
9.9 Laplace-Transformation einer Integralgleichung
9.10 Laplace-Transformation einer homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit Parameter
10 Tests
Übersicht
10.1 Differentialgleichungen erster Ordnung
10.2 Differentialgleichungen zweiter Ordnung
10.3 Differentialgleichungssysteme
10.4 Laplace-Transformation
Teil III Fourier-Analysis
11 Reelle und komplexe Fourier-Reihen
Übersicht
11.1 Orthogonalität von Sinus und Kosinus
11.2 Sinus als Kosinus-Reihe
11.3 Reelle Fourier-Reihe einer Treppenfunktion
11.4 Reelle und komplexe Fourier-Reihe einer stückweise linearen Funktion
11.5 Reelle und komplexe Fourier-Reihe von Hyperbelfunktionen
11.6 Komplexe und reelle Fourier-Entwicklung einer T -periodischen Funktion
11.7 Reelle Fourier-Reihe und Stammfunktion
11.8 Reelle Fourier-Reihe einer 1-periodischen Funktion
11.9 Funktionen zu reellen Fourier-Reihen
11.10 Sinus-Reihe und Parseval-Identität
11.11 Differentiation von Fourier-Reihen und Parseval-Identität
11.12 Konvergenz der Fourier-Projektion
11.13 Multiplikation von Fourier-Reihen mit trigonometrischen Funktionen
11.14 Laplace-Gleichung auf der Einheitskreisscheibe
11.15 Fourier-Entwicklung für eine Wärmeleitungsgleichung
12 Diskrete Fourier-Transformation
Übersicht
12.1 Diskrete Fourier-Transformation trigonometrischer Vektoren
12.2 Inverse der Sinus-Transformation
12.3 Rekursion bei diskreter Fourier-Transformation
12.4 Ablauf des FFT-Algorithmus
12.5 Trigonometrische Interpolation an äquidistanten Stützstellen
12.6 Eigenwerte und Inverse einer zyklischen Matrix
12.7 Konstruktion einer zyklischen Matrix aus einem Bildvektor
12.8 Zyklisches lineares Gleichungssystem
12.9 Approximation von Fourier-Koeffizienten mit Riemann-Summen
13 Fourier-Transformation
Übersicht
13.1 Fourier-Transformierte und Fourier-Reihe einer linearen Funktion
13.2 Fourier-Transformierte einer stückweise linearen Funktion
13.3 Fourier-Transformierte und reelle Fourier-Reihe einer Betragsfunktion
13.4 Fourier-Transformierte einer Treppenfunktion
13.5 Fourier-Transformation von Produkten mit charakteristischen Funktionen
13.6 Fourier-Transfomierte von Exponentialfunktionen
13.7 Fourier-Transformation von Gauß-Funktionen
13.8 Regeln für Fourier-Transformationen
13.9 Rekursionen für uniforme B-Splines
13.10 Fourier-Transformierte von rationalen Funktionen
13.11 Fourier-Transformation einer Wärmeleitungsgleichung
13.12 Satz von Plancherel und uneigentliche Integrale
13.13 Fourier-Transformation einer Differentialgleichung zweiter Ordnung
13.14 Reihenberechnung mit der Poisson-Summationsformel
14 Tests
Übersicht
14.1 Reelle und komplexe Fourier-Reihen
14.2 Diskrete Fourier-Transformation
14.3 Fourier-Transformation
Teil IV Komplexe Analysis
15 Komplexe Differenzierbarkeit und konforme Abbildungen
Übersicht
15.1 Reelle Darstellung komplexer Funktionen
15.2 Komplexe Ableitung und Jacobi-Matrix
15.3 Komplexe Differenzierbarkeit
15.4 Komplexes Potential
15.5 Strömung mit komplexem Potential
15.6 Möbius-Transformation durch Interpolation dreier Punkte
15.7 Darstellung einer Möbius-Transformation mit Elementarabbildungen
15.8 Fixpunkte einer Möbius-Transformation
15.9 Bilder von Kreisen unter einer Möbius-Transformation
15.10 Bild des Koordinatengitters unter einer Möbius-Transformation
15.11 Winkeltreue der Joukowsky-Transformation
15.12 Konforme Abbildung eines Quadranten auf einen Streifen und eine Kreisscheibe
15.13 Konforme Abbildung eines Halbstreifens auf eine Halbkreisscheibe
15.14 Konforme Abbildung für ein Dirichlet-Problem
16 Komplexe Integration und Residuenkalkül
Übersicht
16.1 Komplexe Kurvenintegrale über ein Liniensegment
16.2 Komplexe Kurvenintegrale über ein Parabel- und ein Kreissegment
16.3 Stammfunktionen mit Hilfe der Kettenregel und komplexe Kurvenintegrale
16.4 Stammfunktionen und komplexe Kurvenintegrale
16.5 Berechnung von Residuen
16.6 Komplexe Integration einer rationalen Funktion über einen Kreis
16.7 Residuensatz für Integranden mit trigonometrischen Funktionen
16.8 Residuensatz für uneigentliche rationale Integrale
16.9 Komplexe Kurvenintegrale längs unterschiedlicher Wege
16.10 Residuensatz für trigonometrische Integranden
16.11 Residuenkalkül für transzendente Integranden
16.12 Fourier-Transformierte einer rationalen Funktion
16.13 Die Kunst der komplexen Integration
17 Taylor- und Laurentreihen
Übersicht
17.1 Taylor-Reihe eines Produktes
17.2 Taylor-Reihe einer rationalen Funktion
17.3 Taylor-Reihe einer Logarithmus-Funktion
17.4 Entwicklung der lokalen Umkehrfunktion eines Polynoms
17.5 Laurent-Entwicklung einer rationalen Funktion
17.6 Hauptteil und Konvergenzgebiet einer Laurent-Reihe
17.7 Verschiedene Konvergenzgebiete von Laurent-Reihen
17.8 Laurent-Entwicklung durch Koeffizientenvergleich
17.9 Laurent-Entwicklung durch Multiplikation und Division von Reihen
18 Komplexe Differentialgleichungen
Übersicht
18.1 Taylor-Entwicklung für Anfangswertprobleme erster Ordnung
18.2 Potenzreihenansatz im regulären Punkt
18.3 Taylor-Entwicklung für ein Anfangswertproblem zweiter Ordnung
18.4 Polynomiale Lösungen einer Differentialgleichung zweiter Ordnung
18.5 Differentialgleichung zu einer Rekursion der Taylor-Koeffizienten der Lösung
18.6 Anfangswertproblem für eine Eulersche Differentialgleichung
18.7 Differentialgleichung mit regulärem singulären Punkt
18.8 Potenzreihenansatz und Variation der Konstanten
19 Tests
Übersicht
19.1 Komplexe Differenzierbarkeit und konforme Abbildungen
19.2 Komplexe Integration und Residuenkalkül
19.3 Taylor- und Laurentreihen
19.4 Komplexe Differentialgleichungen
Teil V Anwendungen mathematischer Software
20 Maple™
Übersicht
20.1 Differentialoperatoren mit Maple™
20.2 Koordinatentransformationen für Skalar- und Vektorfelder mit Maple™
20.3 Visualisierung von Skalar- und Vektorfeldern mit Maple™
20.4 Potential und Arbeitsintegral mit Maple™
20.5 Vektorpotential und Flussintegral mit Maple™
20.6 Differentialgleichungen erster Ordnung mit Maple™
20.7 Schwingungsdifferentialgleichung mit Maple™
20.8 Sturm-Liouville-Probleme mit Maple™
20.9 Richtungsfeld und numerische Lösung eines Differentialgleichungssystems mit Maple™
20.10 Animation einer inkompressiblen Strömung mit Maple™
20.11 Schnelle Fourier-Transformation mit Maple™
20.12 Fourier-Analysis mit Maple™
20.13 Residuen und Laurent-Entwicklung mit Maple™
21 MATLAB®
Übersicht
21.1 Animation mit MATLAB®
21.2 Grafische Eingabe mit MATLAB®
21.3 Vektorfelder mit MATLAB®
21.4 Differentialgleichungen mit MATLAB®
21.5 Finite-Elemente-Approximation mit MATLAB®
21.6 Modellierung einer Achterbahnfahrt mit MATLAB®
21.7 Lineare Differentialgleichungssysteme mit MATLAB®
21.8 Grenzzyklus der van der Pol-Gleichung mit MATLAB®
21.9 Tor des Monats mit MATLAB®
21.10 Rückkehr zur Erde mit MATLAB®
21.11 3-Körper-Problem mit MATLAB®
21.12 Trigonometrische Interpolation und Tiefpassfilter mit MATLAB®
21.13 Fourier-Entwicklung mit MATLAB®
21.14 Visualisierung komplexer Funktionen mit MATLAB®
21.15 Visualisierung komplexer Iterationen mit MATLAB®
21.16 Riemannsche Zeta-Funktion mit MATLAB®
Teil VI Formelsammlung
22 Vektoranalysis
Übersicht
22.1 Skalar- und Vektorfelder
22.2 Arbeits- und Flussintegral
22.3 Integralsätze von Gauß, Stokes und Green
22.4 Potentialtheorie
23 Differentialgleichungen
Übersicht
23.1 Differentialgleichungen erster Ordnung
23.2 Differentialgleichungen zweiter Ordnung
23.3 Differentialgleichungssysteme
23.4 Laplace-Transformation
24 Fourier-Analysis
Übersicht
24.1 Reelle und komplexe Fourier-Reihen
24.2 Diskrete Fourier-Transformation
24.3 Fourier-Transformation
25 Komplexe Analysis
Übersicht
25.1 Komplexe Differenzierbarkeit und konforme Abbildungen
25.2 Komplexe Integration und Residuenkalkül
25.3 Taylor- und Laurent-Reihen
25.4 Komplexe Differentialgleichungen
Literaturverzeichnis