Um curso de cálculo

Frontispício......Page 2
GEN......Page 3
Página de rosto......Page 4
Créditos......Page 5
Dedicatória......Page 7
Prefácio......Page 8
Sumário......Page 11
1.1 Os números racionais......Page 19
1.2 Os números reais......Page 23
1.3 Módulo de um número real......Page 35
1.4 Intervalos......Page 40
1.5 Propriedade dos intervalos encaixantes e propriedade de Arquimedes......Page 41
1.6 Existência de raízes......Page 42
1.7 Potência com expoente racional......Page 48
2.1 Funções de uma variável real a valores reais......Page 49
2.2 Funções trigonométricas: seno e cosseno......Page 71
2.3 As funções tangente, cotangente, secante e cossecante......Page 77
2.4 Operações com funções......Page 79
3.1 Introdução......Page 83
3.2 Definição de função contínua......Page 89
3.3 Definição de limite......Page 101
3.4 Limites laterais......Page 113
3.5 Limite de função composta......Page 117
3.6 Teorema do confronto......Page 122
3.7 Continuidade das funções trigonométricas......Page 125
3.8 O limite fundamental......Page 127
3.9 Propriedades operatórias. Demonstração do Teorema do Confronto......Page 130
4.1 Limites no infinito......Page 132
4.2 Limites infinitos......Page 136
4.3 Sequência e limite de sequência......Page 146
4.4 Limite de função e sequências......Page 154
4.5 O número e......Page 156
5 Teoremas do anulamento, do valor intermediário e de Weierstrass......Page 159
6.1 Potência com expoente real......Page 163
6.2 Logaritmo......Page 167
6.3 O limite......Page 173
7.1 Introdução......Page 176
7.2 Derivada de uma função......Page 177
7.3 Derivadas de xn e......Page 185
7.4 Derivadas de ex e ln x......Page 190
7.5 Derivadas das funções trigonométricas......Page 192
7.6 Derivabilidade e continuidade......Page 194
7.7 Regras de derivação......Page 197
7.8 Função derivada e derivadas de ordem superior......Page 205
7.9 Notações para a derivada......Page 207
7.10 Regra da cadeia para derivação de função composta......Page 216
7.11 Aplicações da regra da cadeia......Page 218
7.12 Derivada de f(x)g(x)......Page 229
7.13 Derivação de função dada implicitamente......Page 232
7.14 Interpretação de como um quociente. Diferencial......Page 241
7.15 Velocidade e aceleração. Taxa de variação......Page 245
7.16 Problemas envolvendo reta tangente e reta normal ao gráfico de uma função......Page 254
7.17 Exercícios do capítulo......Page 259
8.1 Função inversa......Page 267
8.2 Derivada de função inversa......Page 272
9.1 Teorema do valor médio (TVM)......Page 279
9.2 Intervalos de crescimento e de decrescimento......Page 280
9.3 Concavidade e pontos de inflexão......Page 294
9.4 Regras de L’Hospital......Page 300
9.5 Gráficos......Page 316
9.6 Máximos e mínimos......Page 333
9.7 Condição necessária e condições suficientes para máximos e mínimos locais......Page 343
9.8 Máximo e mínimo de função contínua em intervalo fechado......Page 347
10.1 Relação entre funções com derivadas iguais......Page 349
10.2 Primitiva de uma função......Page 356
11.2 Soma de Riemann......Page 367
11.3 Integral de Riemann: definição......Page 370
11.4 Propriedades da integral......Page 371
11.5 1.º teorema fundamental do cálculo......Page 374
11.6 Cálculo de áreas......Page 380
11.7 Mudança de variável na integral......Page 390
11.8 Trabalho......Page 400
12.1 Primitivas imediatas......Page 412
12.2 Técnica para cálculo de integral indefinida da forma......Page 420
12.3 Integração por partes......Page 433
12.4 Mudança de variável......Page 442
12.5 Integrais indefinidas do tipo......Page 453
12.6 Primitivas de funções racionais com denominadores do tipo (x − α) (x − β) (x − γ)......Page 458
12.7 Primitivas de funções racionais cujos denominadores apresentam fatores irredutíveis do 2.º grau......Page 462
12.8 Integrais de produtos de seno e cosseno......Page 467
12.9 Integrais de potências de seno e cosseno. Fórmulas de recorrência......Page 470
12.10 Integrais de potências de tangente e secante. Fórmulas de recorrência......Page 476
12.11 A mudança de variável......Page 482
13.1 Volume de sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, de um conjunto A......Page 486
13.2 Volume de sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, de um conjunto A......Page 492
13.3 Volume de um sólido qualquer......Page 498
13.4 Área de superfície de revolução......Page 500
13.5 Comprimento de gráfico de função......Page 504
13.6 Comprimento de curva dada em forma paramétrica......Page 506
13.7 Área em coordenadas polares......Page 511
13.8 Comprimento de curva em coordenadas polares......Page 523
13.9 Centro de massa......Page 525
14.1 Equações diferenciais: alguns exemplos......Page 534
14.2 Equações diferenciais de 1.ª ordem de variáveis separáveis......Page 535
14.3 Soluções constantes......Page 537
14.4 Soluções não constantes......Page 538
14.5 Método prático para determinar as soluções não constantes......Page 540
14.6 Equações diferenciais lineares de 1.ª ordem......Page 548
15.1 Teorema de Rolle......Page 554
15.2 Teorema do valor médio......Page 556
15.3 Teorema de Cauchy......Page 558
16.1 Aproximação local de uma função diferenciável por uma função afim......Page 562
16.2 Polinômio de Taylor de ordem 2......Page 566
16.3 Polinômio de Taylor de ordem n......Page 578
17.1 Quadratura da parábola: método de Arquimedes......Page 590
17.2 Pascal e o cálculo de áreas......Page 595
17.3 Fermat e o cálculo de áreas......Page 601
A1.1 Máximo, mínimo, supremo e ínfimo de um conjunto......Page 604
A1.2 Propriedade do supremo......Page 605
A1.3 Demonstração da propriedade dos intervalos encaixantes......Page 607
A1.4 Limite de função crescente (ou decrescente)......Page 608
A2.1 Demonstração do teorema do anulamento......Page 610
A2.3 Teorema da limitação......Page 611
A2.4 Demonstração do teorema de Weierstrass......Page 612
A3.1 Demonstração do teorema da Seção 6.1......Page 614
A3.2 Demonstração da Propriedade (7) da Seção 2.2......Page 617
A4.1 Uma condição necessária para integrabilidade......Page 619
A4.2 Somas superior e inferior de função contínua......Page 620
A4.3 Integrabilidade das funções contínuas......Page 623
A4.4 Integrabilidade de função limitada com número finito de descontinuidades......Page 626
A4.5 Integrabilidade das funções crescentes ou decrescentes......Page 628
A4.6 Critério de integrabilidade de Lebesgue......Page 630
Apêndice 5 Demonstração do teorema da Seção 13.4......Page 636
A6.1 Definição de número real......Page 640
A6.2 Relação de ordem em ℝ......Page 642
A6.3 Adição em ℝ......Page 643
A6.4 Propriedades da adição......Page 645
A6.5 Multiplicação em ℝ......Page 649
A6.6 Propriedades da multiplicação......Page 652
A6.7 Teorema do supremo......Page 655
A6.8 Identificação de ℚ com......Page 656
Respostas, Sugestões ou Soluções......Page 658
Bibliografia......Page 768
Índice......Page 769