Монография. — Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1982. — 145 с.Работа содержит изложение метода решения двумерных задач эллиптического типа применительно, в основном, к задачам теории упругости: плоская упругость, осесимметричная упругость, изгиб и кручение призматических тел, кручение тел вращения. Математический аппарат метода граничных вариационных уравнений близок к аппарату, используемому в методе интегральных уравнений и основывается на применении обобщённых интегралов типа Коши и обобщённых интегралах Коши. Для каждого класса уравнений конструируется функционал, зависящий от функций, определённых на границе области. Показывается, что минимизация этих функционалов при ограничениях, соответствующих краевым условиям смешанного типа, эквивалентна решению соответствующей краевой задачи. Доказывается сходимость методов минимизации типа метода наискорейшего спуска.
Работа разбита на четыре главы. В I главе рассматриваются вопросы сведения систем уравнений эллиптического типа к системам уравнений с частными производными 1-го порядка. Даётся постановка краевых задач при переходе к новой системе уравнений. Рассматриваются некоторые интегральные соотношения, а также вопросы единственности решения сформулированных краевых задач в классе достаточно гладких функций.
В главе II рассматриваются свойства потенциалов с логарифмической особенностью. Конструируются обобщённые ядра Коши в действительной матричной форме для разных классов уравнений, а также обобщённые интегралы Коши.
В III главе рассматриваются некоторые классы функций, связанных с обобщёнными интегралами типа Коши, а также вопросы единственности решения краевых задач в классе функций, менее гладких при подходе к границе, чем в главе I. Выводятся интегральные соотношения, связывающие между собой два обобщённых интеграла типа Коши.
В IV главе выводятся ГВУ для рассматриваемых классов задач, а также рассматриваются вопросы сходимости схемы наискорейшего спуска при решении краевых задач методом ГВУ. Результаты главы IV позволяют использовать метод ГВУ в достаточно широком диапазоне граничных условий и границ области при решении краевых задач с получением гарантированной равномерной сходимости итерационных схем.
Работа выполнена в НИИ прикладной математики и механики Томского университета, рассчитана на научных сотрудников, инженеров и преподавателей, занимающихся вопросами механики деформируемого тела.Введение.
Приведение двумерных краевых задач эллиптического типа к решению систем дифференциальных уравнений 1-го порядка. Некоторые свойства этих систем.
Неоднородные уравнения эллиптического типа. Краевые условия. Фундаментальные решения. Однородные уравнения.
Переход к системам уравнений 1-го порядка. Эллиптичность систем. Краевые условия в преобразованных краевых задачах.
Примеры перехода к системам уравнений 1-го порядка.
Обобщённые интегральные формулы I рода для системы уравнений 1-го порядка.
Интегралы обобщённой энергии. Интегральные соотношения II рода.
Сопряжённые граничные операторы.
Теоремы единственности решения краевых задач для функций из класса А1q (DUγ).
Основные интегральные представления для решений систем уравнений 1-го порядка.
Потенциалы логарифмического типа и некоторые их свойства.
Некоторые свойства интегралов, содержащих логарифмические потенциалы.
Обобщённое ядро Коши.
Обобщённый интеграл типа Коши.
Первые производные обобщённых интегралов типа Коши.
Обобщённые интегралы Коши.
Функциональные пространства А0q (p) и некоторые интегральные соотношения.
Задание функциональных пространств А0q (p).
Интегральные соотношения III рода для задач плоского потенциала.
Интегральные соотношения III рода для задач осесимметричного потенциала.
Интегральные соотношения III рода для задач сопряжённого осесимметричного потенциала.
Интегральные соотношения III рода для задач плоской упругости.
Интегральные соотношения III рода для задач осесимметричной упругости.
Интегральные соотношения II рода для функций из класса А0q (p).
Формулировка краевых задач для функций из пространства А0q (p) и теоремы единственности.
Граничные вариационные уравнения (ГВУ) и решение краевых задач.
ГВУ краевых задач плоского потенциала.
ГВУ краевых задач осесимметричного потенциала.
ГВУ краевых задач сопряжённого осесимметричного потенциала.
Основной функционал ГВУ краевых задач плоской упругости.
Решение краевых задач плоской упругости с помощью ГВУ.
Решение краевых задач изгиба пластин с помощью ГВУ.
Основной функционал ГВУ краевых задач осесимметричной упругости.
Решение краевых задач осесимметричной упругости с помощью ГВУ.
Литература.
