La droite de Berkovich sur z

Introduction
Description des espaces en jeu
Géométrie analytique complexe
Géométrie analytique p-adique
L'approche de Vladimir G. Berkovich
Chapitre 1 : Espaces analytiques sur un anneau de Banach
Chapitre 2 : Algèbres de séries convergentes
Chapitre 3 : Espace affine analytique au-dessus d'un anneau d'entiers de corps de nombres
Chapitre 4 : Droite affine analytique au-dessus d'un anneau d'entiers de corps de nombres
Chapitre 5 : Morphismes finis
Chapitre 6 : Espaces de Stein
Chapitre 7 : Applications
Remerciements
Chapitre 1. Espaces analytiques sur un anneau de Banach
1.1. Définitions
1.1.1. Spectre analytique d'un anneau de Banach
1.1.2. Espace affine analytique
1.1.2.1. Espace affine analytique sur un corps archimédien
1.1.2.2. Droite sur un corps trivialement valué
1.1.2.3. Droite sur un corps ultramétrique quelconque
1.1.3. Faisceau structural
1.2. Parties compactes spectralement convexes
1.3. Flot
Chapitre 2. Algèbres de séries convergentes
2.1. Algèbres globales de disques et de couronnes
2.2. Limites d'algèbres de disques
2.2.1. Théorèmes de Weierstraß
2.2.2. Propriétés
2.3. Limites d'algèbres de couronnes
2.4. Exemples d'anneaux locaux
2.5. Hensélianité
2.5.1. Démonstration
2.5.2. Isomorphismes locaux
Chapitre 3. Espace affine analytique au-dessus d'un anneau d'entiers de corps de nombres
3.1. Spectre analytique d'un anneau d'entiers de corps de nombres
3.1.1. Description ensembliste et topologique
3.1.2. Faisceau structural
3.1.2.1. Parties compactes
3.1.2.2. Parties ouvertes
3.1.2.3. Bord de Shilov
3.2. Faisceau structural sur l'espace affine
3.2.1. Anneaux locaux
3.2.2. Anneaux de sections globales
3.3. Points rigides des fibres
3.3.1. Isomorphismes locaux
3.3.2. Voisinages sur la droite
3.3.3. Étude topologique locale
3.3.4. Étude algébrique locale
3.4. Fibres internes
3.5. Dimension topologique
3.6. Prolongement analytique
Chapitre 4. Droite affine analytique au-dessus d'un anneau d'entiers de corps de nombres
4.1. Récapitulatif
4.2. Points de type 3
4.2.1. Fibres extrêmes
4.2.2. Fibre centrale
4.3. Points de type 2
4.3.1. Fibres extrêmes
4.3.2. Fibre centrale
4.4. Résumé
4.5. Cohérence
Chapitre 5. Morphismes finis
5.1. Morphismes topologiques finis
5.2. Théorème de division de Weierstraß global
5.3. Un exemple
5.4. Théorème de division de Weierstraß en un point rigide
5.5. Endomorphismes de la droite
5.6. Au-dessus d'un anneau d'entiers de corps de nombres
Chapitre 6. Espaces de Stein
6.1. Définitions
6.2. Cadre général pour les compacts
6.2.1. Lemmes de Cousin et de Cartan
6.2.2. Prolongement de sections d'un faisceau
6.3. Parties compactes de la base
6.4. Parties compactes des fibres
6.5. Couronnes compactes de la droite
6.6. Lemniscates de la droite
6.6.1. Exhaustions de Stein
6.6.2. Fermeture des modules
6.6.3. Conclusion
Chapitre 7. Applications
7.1. Problèmes de Cousin arithmétiques
7.1.1. Problème de Cousin multiplicatif
7.1.2. Problème de Cousin additif
7.1.3. Théorème de Poincaré
7.2. Noethérianité d'anneaux de séries arithmétiques
7.2.1. Sous-variétés analytiques
7.2.2. Théorème de Frisch
7.2.3. Séries arithmétiques
7.3. Problème de Galois inverse
7.3.1. Construction locale de revêtements cycliques
7.3.2. Recollement
Bibliographie
Glossaire des notations
Index