Математические методы в теории игр, программировании и экономике

Обложка......Page 1
Титульный лист оригинального издания......Page 2
Титульный лист......Page 3
Аннотация......Page 4
Предисловие редактора......Page 5
Предисловие......Page 9
1. Общие замечания......Page 13
2. Классификация математического аппарата задач принятия решений......Page 16
3. Основные дисциплины......Page 19
Обозначения......Page 23
ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР......Page 25
1.1. Введение. Игры в нормальной форме......Page 27
1.2. Примеры......Page 32
1.3. Выбор стратегий......Page 34
1.4. Теорема о минимаксе для конечных матричных игр......Page 37
1.5. Общая теорема о минимаксе......Page 42
1.6. Задачи......Page 45
Комментарии и библиография к главе 1......Page 48
2.1. Свойства оптимальных стратегий......Page 51
2.2. Виды строгого доминирования......Page 53
2.3. Нахождение оптимальных стратегий......Page 57
2.4. Описание крайних оптимальных стратегий......Page 61
2.5. Вполне смешанные матричные игры......Page 69
2.6. Симметричные игры......Page 74
2.7. Задачи......Page 76
Комментарии и библиография к главе 2......Page 79
3.1. Основная теорема......Page 81
3.2. Доказательство теоремы 3.1.1......Page 82
3.3. Доказательство теоремы 3.1.2......Page 87
3.4. Обращение теоремы 3.1.2......Page 90
3.5. Единственность оптимальных стратегий......Page 95
3.6. Задачи......Page 101
Комментарии и библиография к главе 3......Page 103
Глава 4. Решения некоторых матричных игр......Page 105
4.1. Игра полковника Блотто......Page 106
4.2. Опознание своего и неприятеля......Page 107
4.3. Игра в покер......Page 110
4.4. Один пример рекламы......Page 116
4.5*. Пример торгов......Page 120
4.6. Задачи......Page 125
Комментарии и библиография к главе 4......Page 127
Решения задач из глав 1—4......Page 129
ЧАСТЬ II. ЛИНЕЙНОЕ И НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА......Page 139
Глава 5. Линейное программирование......Page 141
5.1. Формулировка задачи линейного программирования......Page 142
5.2. Задача линейного программирования и двойственная ей задача......Page 145
5.3. Основные теоремы линейного программирования (предварительные результаты)......Page 147
5.4. Основные теоремы линейного программирования (продолжение)......Page 152
5.5*. Связь между задачами линейного программирования и теорией игр......Page 154
5.6*. Обобщения теоремы двойственности......Page 155
5.7. Задача о рациональном использовании склада......Page 158
5.8. Задача об оптимальном назначении......Page 161
5.9. Транспортная задача и задача о потоке......Page 167
5.10. Теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе......Page 172
5.11*. Задача о поставщике......Page 174
5.12*. Модель биржевой игры......Page 180
5.13. Задачи......Page 184
Комментарии и библиография к главе 5......Page 188
Глава 6. Вычислительные методы линейного программирования и теории игр......Page 191
6.1. Симплекс-метод......Page 192
6.2*. Вспомогательные варианты симплекс-метода......Page 202
6.3. Пример применения симплекс-метода......Page 207
6.4*. Вычисление потока в сети......Page 210
6.5. Метод приближенного вычисления значения игры......Page 214
6.6*. Доказательство сходимости......Page 217
6.7. Метод определения значения игры при помощи дифференциальных уравнений......Page 224
6.8 Задачи......Page 228
Комментарии и библиография к главе 6......Page 232
Глава 7. Нелинейное программирование......Page 234
7.1. Вогнутое программирование......Page 235
7.2. Примеры вогнутого программирования......Page 240
7.3*. Градиентный метод Эрроу — Гурвица......Page 249
7.4. Векторная задача максимизации......Page 253
7.5*. Сопряженные функции......Page 256
7.6*. Композиция сопряженных функций......Page 260
7.7*. Сопряженные вогнутые функции......Page 265
7.8*. Теоремы двойственности для нелинейного программирования......Page 266
7.9*. Приложения теории сопряженных функций к выпуклым множествам......Page 270
7.10. Задачи......Page 279
Комментарии и библиография к главе 7......Page 282
Глава 8. Математические методы в изучении экономических моделей......Page 285
8.1. Открытые и замкнутые линейные модели Леонтьева......Page 286
8.2. Теория положительных матриц......Page 289
8.3. Приложения теории положительных матриц к изучению линейных моделей равновесия и обмена......Page 300
8.4. Теория производства......Page 303
8.5. Эффективные точки модели леонтьевского типа......Page 307
8.6*. Теория потребительского выбора......Page 311
8.7. Нелинейные модели равновесия......Page 320
8.8*. Модель равновесия конкурентной экономики (Эрроу — Дебре)......Page 328
8.9. Задачи......Page 333
Комментарии и библиография к главе 8......Page 337
Глава 9. Математические методы в изучении экономических моделей (продолжение)......Page 341
9.1*. Экономика благосостояния......Page 343
9.2. Устойчивость конкурентного равновесия......Page 351
9.3. Локальная устойчивость......Page 356
9.4. Глобальная устойчивость процесса регулирования цен......Page 361
9.5*. Глобальная устойчивость (продолжение)......Page 372
9.6*. Формулировка глобальной устойчивости в терминах разностных уравнений......Page 378
9.7. Устойчивость и ожидания (модель I)......Page 381
9.8. Устойчивость и ожидания (модель II)......Page 386
9.9. Модель расширяющейся экономики фон Неймана......Page 389
9.10. Общая модель сбалансированного роста......Page 391
9.11. Задачи......Page 397
Комментарии и библиография к главе 9......Page 401
Решения задач к главам 5—9......Page 404
ЧАСТЬ III. ТЕОРИЯ БЕСКОНЕЧНЫХ ИГР......Page 415
10.1. Введение......Page 417
10.2. Игры на единичном квадрате......Page 421
10.3. Классы игр на единичном квадрате......Page 424
10.4. Бесконечные игры, у которых пространства стратегий являются известными функциональными пространствами......Page 432
10.5. Как решать бесконечные игры......Page 436
10.6. Задачи......Page 440
Комментарии и библиография к главе 10......Page 443
11.1. Конечные выпуклые игры общего вида......Page 445
11.2. Метод неподвижной точки для конечных выпуклых игр......Page 448
11.3. Соотношения между размерностями для конечных выпуклых игр......Page 453
11.4. Метод сопряженных конусов......Page 457
11.5. Структура множеств решений вырожденных игр......Page 461
11.6. Общие замечания о выпуклых множествах в пространстве $E^n$......Page 463
11.7. Пространства обобщенных моментов......Page 467
11.8. Полиномиальные игры......Page 472
11.9. Задачи......Page 479
Комментарии и библиография к главе 11......Page 481
12.1. Введение......Page 483
12.2. Непрерывные выпуклые игры......Page 484
12.3*. Обобщенно-выпуклые игры......Page 488
12.4. Игры с выпуклой функцией выигрыша в $E^n$......Page 493
12.5*. Одна теорема о выпуклых функциях......Page 500
12.6. Задачи......Page 503
Комментарии и библиография к главе 12......Page 505
Глава 13. Игры с выбором момента времени при однократном действии каждого игрока......Page 507
13.1. Примеры игр с выбором момента времени......Page 508
13.2. Интегральные уравнения для игр с выбором момента времени и их решения......Page 517
13.3*. Интегральные уравнения с положительными ядрами......Page 526
13.4. Доказательство существования......Page 532
13.5. Бесшумная дуэль с произвольными функциями меткости......Page 546
13.6. Задачи......Page 551
Комментарии и библиография к главе 13......Page 554
14.1. Игры с выбором момента времени; класс I......Page 556
14.2. Примеры......Page 557
14.3*. Доказательство теоремы 14.1.1......Page 560
14.4*. Игры с выбором нескольких моментов времени......Page 565
14.5*. Бабочкообразные ядра......Page 574
14.6. Задачи......Page 584
Комментарии и библиография к главе 14......Page 586
Глава 15*. Различные игры......Page 588
15.1. Игры с аналитическими ядрами......Page 589
15.2. Колоколообразные ядра......Page 594
15.3. Колоколообразные игры......Page 599
15.4. Другие типы непрерывных игр......Page 606
15.5. Инвариантные игры......Page 609
15.6. Задачи......Page 615
Комментарии и библиография к главе 15......Page 620
Глава 16. Бесконечные классические игры, разыгрываемые не на единичном квадрате......Page 622
16.1. Предварительные результаты (леммы Неймана — Пирсона)......Page 623
16.2*. Приложение леммы Неймана — Пирсона к вариационной задаче......Page 626
16.3. Дуэль снайпера с пулеметчиком......Page 632
16.4*. Решение дуэли снайпера с пулеметчиком......Page 636
16.5*. Дуэль двух пулеметчиков......Page 643
16.6. Задачи......Page 653
Комментарии и библиография к главе 16......Page 656
Глава 17. Покер и общие салонные игры......Page 658
17.1. Упрощенная игра "черный валет"......Page 661
17.2. Модель покера с одним кругом ставок и одним размером ставки......Page 666
17.3. Модель покера с несколькими размерами ставки......Page 669
17.4. Модель покера с двумя кругами ставок......Page 676
17.5*. Модель покера с $k$ повышениями......Page 683
17.6. Покер с одновременными ходами......Page 687
17.7. Игра "проходящий туз"......Page 689
17.8*. "У кого старше, тот выигрывает"......Page 693
17.9. Задачи......Page 698
Комментарии и библиография к главе 17......Page 701
Решения задач к главам 10—17......Page 703
Приложения......Page 740
А. 1. Евклидовы и унитарные пространства......Page 741
Упражнения......Page 742
А. 2. Подпространства» линейная независимость, базис, прямые суммы, ортогональные дополнения......Page 743
А. 3. Линейные преобразования, матрицы и линейные уравнения......Page 745
Упражнения......Page 751
А. 4. Собственные значения. Собственные векторы. Каноническая форма Жордана......Page 752
Упражнения......Page 759
А. 5. Транспонированные, нормальные и эрмитовы матрицы; ортогональные дополнения......Page 760
А. 6. Квадратичные формы......Page 763
А. 7. Функции от матриц......Page 765
А. 8. Определители, миноры, алгебраические дополнения......Page 768
А. 9. Некоторые тождества......Page 771
A. 10. Блочные матрицы......Page 777
Б. 1. Выпуклые множества в $E^n$......Page 779
Б. 2. Выпуклые оболочки множеств и крайние точки выпуклых множеств......Page 782
Б. 3. Выпуклые конусы......Page 785
Б. 4. Выпуклые и вогнутые функции......Page 788
B. 1. Полунепрерывные и равностепенно непрерывные функции......Page 790
В. 3. Функции множеств и распределения вероятностей......Page 793
Библиография......Page 798
Предметный указатель......Page 819
Именной указатель......Page 830
ОГЛАВЛЕНИЕ......Page 833
Выходные данные......Page 839