Излагаются теоретические основы численных методов, включая теорию погрешностей,
особенности машинной арифметики, корректность и обусловленность вычислительных за-
дач; современные прямые и итерационные методы решения больших систем линейных ал-
гебраических уравнений. Основное внимание уделено современным итерационным методам
на основе подпространств Крылова. Рассмотрено решение частичной и полной проблемы
собственных значений, в том числе для больших разреженных матриц. Для основных вы-
числительных методов приведены реализации с использованием программ, разработанных
автором, а также соответствующие функции системы MATLAB.
Author(s): Горбаченко В.И.
Publisher: БХВ-Петербург
Year: 2011
Language: Russian
Pages: 318
Введение......Page 6
1.1. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент......Page 9
1.2.1. Источники погрешностей вычислений......Page 11
1.2.2. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешность......Page 13
1.2.3. Особенности машинной арифметики......Page 15
1.2.4. Трансформированные погрешности арифметических операций......Page 19
1.2.5. Трансформированные погрешности вычисления функций......Page 22
1.3.1. Корректность вычислительной задачи......Page 23
1.3.2. Обусловленность вычислительной задачи......Page 26
1.3.3. Требования, предъявляемые к численному методу......Page 32
1.4. Вопросы и задания для самопроверки......Page 33
Библиографический список к главе 1......Page 34
2.1. Системы линейных алгебраических уравнений. Матрицы и их свойства......Page 37
2.2. Метод Гаусса......Page 41
2.3. Метод прогонки......Page 45
2.4. Метод LU-разложения......Page 47
2.5. Метод Холецкого......Page 49
2.6. Метод LDLT-разложения......Page 52
2.7.1. Метод вращений......Page 54
2.7.2. Метод отражений......Page 61
2.7.3. Приведение матриц к форме Хессенберга......Page 66
2.8. Вычисление определителей и обращение матриц......Page 67
2.9. Оценка погрешностей решений, получаемых прямыми методами......Page 69
2.10.1. Постановка задачи наименьших квадратов. Нормальные уравнения......Page 70
2.10.2. Использование QR-разложения для решения задачи наименьших квадратов......Page 72
2.10.3. Использование сингулярного разложения......Page 75
2.11.1. Некоторые функции матричных вычислений и реализации прямых методов в MATLAB......Page 78
2.11.2. Хранение и обработка разреженных матриц......Page 91
2.11.3. Примеры программ......Page 102
2.12. Задания для лабораторных и самостоятельных работ......Page 113
2.13. Вопросы и задания для самопроверки......Page 120
Библиографический список к главе 2......Page 121
3.1. Дискретизация задач математической физики и особенности решения систем алгебраических уравнений......Page 123
3.2. Основные теоретические положения итерационных методов......Page 129
3.3. Метод Ричардсона......Page 134
3.4. Методы простой итерации и Якоби......Page 136
3.5.1. Метод Зейделя......Page 139
3.5.2. Метод последовательной верхней релаксации......Page 140
3.6. Блочные и асинхронные итерационные методы......Page 144
3.7. Методы спуска......Page 146
3.8. Предобусловливатели......Page 153
Понятие пространства......Page 155
Базисы и операторы......Page 158
Подпространства......Page 161
3.9.2. Проекционные методы......Page 162
3.9.3. Подпространства Крылова......Page 167
Процедура Грама—Шмидта......Page 168
Процедура Арнольди......Page 172
Биортогонализация Ланцоша......Page 175
3.9.5. Метод сопряженных градиентов......Page 178
FOM — метод полной ортогонализации......Page 188
GMRES — обобщенный метод минимальных невязок......Page 190
BiCG — метод бисопряженных градиентов......Page 192
CGS — квадратичный метод сопряженных градиентов......Page 193
BiCGSTAB — устойчивый алгоритм бисопряженных градиентов......Page 197
3.10. Итерационные методы решения нормальных систем линейных алгебраических уравнений......Page 201
3.11. Итоговые замечания......Page 206
3.12.1. Некоторые функции реализации итерационных методов в MATLAB......Page 207
3.12.2. Примеры программ......Page 216
3.13. Задания для лабораторных и самостоятельных работ......Page 236
3.14. Вопросы и задания для самопроверки......Page 238
Библиографический список к главе 3......Page 239
4.1. Собственные пары матриц и их свойства......Page 243
4.2.1. Степенно́й метод......Page 249
4.2.2. Метод скалярных произведений......Page 254
4.2.3. Метод обратных итераций. Обратные итерации со сдвигами......Page 256
4.2.4. Градиентный метод решения частичной проблемы собственных значений......Page 258
4.3.1. QR-алгоритм решения полной проблемы собственных значений......Page 259
4.3.2. Методы для симметричных задач на собственные значения......Page 267
4.3.3. Использование QR-алгоритма для вычисления собственных векторов......Page 269
4.4.1. Приведение матрицы к двухдиагональной форме......Page 271
4.4.2. Сингулярное разложение двухдиагональной матрицы......Page 274
4.5.1. Метод одновременных итераций......Page 279
4.5.2. Метод Арнольди......Page 282
4.5.3. Метод Ланцоша......Page 285
4.6.1. Основы теории......Page 287
4.6.2. Решение обобщенной задачи на собственные значения......Page 288
4.7.1. Стандартные функции MATLAB......Page 292
4.7.2. Примеры программ......Page 300
4.8. Задания для лабораторных и самостоятельных работ......Page 305
4.9. Вопросы и задания для самопроверки......Page 306
Библиографический список к главе 4......Page 307
Литература по вычислительной математике......Page 309
Литература по по системе MATLAB......Page 313
Предметный указатель......Page 315
