Основы теории поверхностей в тензорном изложении

Титульный лист......Page 1
Выходные данные......Page 2
ОГЛАВЛЕНИЕ......Page 3
1. Определение диференциальной формы по выведенным из неё христофелям......Page 9
2. Основная теорема теории поверхностей......Page 10
3. Иммерсия двух квадратичных форм......Page 13
4. Теорема Бонне......Page 15
5. Случай поверхности, развёртывающейся на плоскость......Page 16
6. Христофели, определяющие метрическую форму поверхности......Page 18
7. Характеристический признак поверхностей вращения......Page 20
1. Высота и азимут кривой в данной точке поверхности......Page 23
2. Точки распрямления кривой на поверхности......Page 24
3. Формула Менье......Page 25
4. Определение кривизны кривой на поверхности по заданной её ориентации......Page 27
5. Теорема Менье......Page 28
6. Индикатриса Дюпена......Page 30
7. Другая интерпретация индикатрисы Дюпена......Page 32
2. Пространственная и геодезическая кривизны асимптотической линии......Page 34
3. Кручение асимптотической линии......Page 35
4. Завершение того же вывода......Page 36
5. Нормальная кривизна поверхности в асимптотическом направлении......Page 37
6. Линии кривизны поверхности и их диференциальные уравнения......Page 38
8. Плоские линии кривизны......Page 39
9. Теорема Иоахимсталя......Page 40
11. Линии кривизны центральной поверхности 2-го порядка......Page 42
12. Геодезическое кручение линий кривизны......Page 43
13. Линии кривизны прямого геликоида......Page 44
2. Тензор Кодацци на развёртывающейся поверхности......Page 45
3. Выражение производных гауссовой и средней кривизн поверхности черев кодацциев тензор......Page 46
4. Диференциальная форма и инвариант, порождаемые кодацциевым тензором......Page 47
5. Уравнения Форсайта......Page 48
6. Предложения, вытекающие из уравнений Форсайта......Page 50
7. Поверхности, на которых как гауссова, так и средняя кривизны сохраняют постоянные значения вдоль каждой линии кривизны одного семейства......Page 51
8. Разыскание всех поверхностей, на которых основные формы имеют установленный вид......Page 53
9. Другое выражение тензора Кодацци......Page 56
1. Построение трижды ортогональной системы поверхностей......Page 57
2. Функции Ламе......Page 58
3. Деривационные формулы Гаусса в пространстве $Е_3$......Page 59
4. Уравнения иммерсии формы Ламе......Page 60
5. Разыскание функций Ламе, определяющих трижды ортогональную систему поверхностей......Page 61
6. Проблема Кэли......Page 62
7. Вспомогательное предложение......Page 64
8. Решение задачи Кэли......Page 65
9. Диференциальное уравнение Кэли-Дарбу......Page 67
10. Автоморфизмы трижды ортогональных систем поверхностей......Page 70
1. Определение проективных поверхностей......Page 71
2. Компоненты параллельного перенесения на проективной поверхности......Page 72
3. Разыскание метрического тензора проективной поверхности......Page 74
4. Дискриминант метрического тензора проективной поверхности......Page 75
5. Бельтрамиева карта и абсолют проективной поверхности......Page 76
1. Основная метрическая форма поверхности постоянной кривизны в полярных координатах......Page 78
2. Теорема синусов на поверхностях постоянной кривизны......Page 80
3. Полная система тригонометрических уравнений......Page 81
4. Тригонометрические уравнения прямоугольного треугольника......Page 83
5. Вычисление площади геодезического треугольника......Page 84
6. Декартовы координаты на псевдосферической поверхности......Page 85
7. Уравнение геодезической линии на псевдосферической поверхности и бельтрамиевы координаты на ней......Page 86
8. Выражение метрической формы псевдосферической поверхности в декартовых и бельтрамиевых координатах......Page 88
9. Отображение псевдосферической поверхности на бельтрамиевом круге......Page 90
10. Выражение расстояния двух точек на поверхности постоянной кривизны в бельтрамиевых координатах......Page 91
11. Угол между двумя направлениями на поверхности постоянной кривизны. Угол параллельности на псевдосферической поверхности......Page 92
12. Движения на поверхностях постоянной кривизны......Page 93
1. Диференциальное уравнение поверхностей вращения постоянной кривизны и его первый интеграл......Page 96
2. Поверхности вращения постоянной положительной кривизны......Page 97
3. Поверхности вращения постоянной отрицательной кривизны......Page 100
4. Псевдосфера......Page 102
5. Изотермические координаты на псевдосфере......Page 104
6. Геодезические линии псевдосферы......Page 105
7. Параллельное перенесение вектора на псевдосфере......Page 107
8. Асимптотические линии псевдосферы......Page 108
9. Поверхности постоянной средней кривизны......Page 109
2. Асимптотические координаты......Page 111
3. Формула Хацидакиса......Page 113
4. Теорема Гильберта......Page 114
1. Общие свойства отображения......Page 117
2. Эллипс искажения......Page 118
4. Афинор искажения в каждой точке отображаемой поверхности......Page 120
5. Тензор главных направлений отображения......Page 121
6. Главная сеть отображения......Page 122
1. Гауссово определение конформного отображения......Page 123
2. Конформное преобразование плоскости......Page 124
3. Осуществление конформного преобразования......Page 126
4. Бельтрамиева проекция сферы на плоскость......Page 127
7. Изменение компонент параллельного перенесения при конформном преобразовании поверхности......Page 128
1. Сферическое изображение поверхности......Page 129
2. Главные линии сферического изображения......Page 130
3. Сферическое изображение линий кривизны......Page 131
4. Сферическое изображение вблизи параболической точки поверхности......Page 132
5. Сферическое изображение и гауссова кривизна поверхности......Page 134
1. Метрический тензор единичной сферы......Page 136
3. Вспомогательные соотношения на сфере......Page 137
4. Диференциальные уравнения единичной сферы......Page 138
5. Скаляр, определяющий метрическую форму сферы......Page 139
6. Теорема Вейнгартена......Page 140
8. Определение поверхности по второй и третьей основным её формам......Page 142
9. Определение средней и гауссовой кривизн поверхности её второй и третьей формами......Page 143
2. Тривиальные случаи геодезического отображения......Page 144
3. Уравнения Вейля......Page 145
4. Преобразование уравнений Вейля......Page 147
5. Тензор геодезического отображения......Page 149
6. Поверхности, допускающие нетривиальное геодезическое отображение на другую поверхность......Page 151
7. Теорема Дарбу......Page 152
8. Теорема Дини......Page 154
2. Ортографическая проекция......Page 156
3. Глобулярная проекция......Page 159
4. Цилиндрические проекции......Page 161
5. Меркаторова проекция......Page 162
6. Ламбертова эквиареальная проекция......Page 164
7. Эквиареальная проекция Мольвейде......Page 166
8. Конические проекции......Page 168
9. Коническая конформная карта Ламберта......Page 169
10. Азимутальная проекция......Page 171
11. Задача о наивыгоднейшей проекции при построении карт......Page 174
1. Изометрическое отображение одной поверхности на другую......Page 177
2. Уравнения Христофеля......Page 178
3. Дискретные изометрии двух поверхностей......Page 179
4. Непрерывные изометрии двух поверхностей......Page 183
1. Задача об изгибании поверхностей......Page 184
2. Диференциальное уравнение Бианки......Page 185
3. Применение уравнения Бианки к решению общей эадачи об изгибании......Page 187
4. Метод Дарбу......Page 190
5. Гауссова кривизна формы Дарбу......Page 191
6. Диференциальное уравнение Дарбу......Page 193
1. Обзор уже рассмотренных случаев изгибания поверхности......Page 194
3. Движение поверхности в самой себе......Page 196
4. Изгибание поверхности с сохранением твёрдой кривой......Page 198
5. Теорема Джеллетта......Page 199
6. Изгибание поверхнасти с сохранением твёрдой асимптотической линии......Page 201
2. Виртуальная асимптотическая сеть......Page 202
3. Изгибание поверхности с сохранением одного семейства асимптотических линий......Page 204
4. Изгибание линейчатой поверхности в линейчатую же......Page 206
1. Аполярные тензоры......Page 208
2. Тензор Дарбу......Page 209
3. Направления Дарбу в заданной точке поверхности и линии Дарбу на поверхности......Page 210
4. Линии Дарбу......Page 211
5. Формулы Фосса......Page 213
6. Формулы проективного преобразования второй основной формы поверхности......Page 214
7. Вспомогательный афинор......Page 215
8. Формулы проективного преобразования компонент параллельного перенесения на поверхности......Page 216
10. Формулы проективного преобразования тензоров Кодацци и Дарбу......Page 218
2. Характеристический признак поверхности второго порядка......Page 220
3. Теорема Бонне......Page 221
4. Поверхности вращения......Page 223
5. Координаты Чезаро......Page 224
6. Разыскание основных форм поверхности в координатах Чезаро......Page 226
7. Полином Чезаро......Page 228
8. Характеристический полином Чезаро для поверхностей второго порядка......Page 229
9. Основная теорема......Page 232
1. Руководящие идеи афинной диференциальной геометрии......Page 234
2. Предварительные соображения......Page 235
3. Квадратичная форма центроафинной диференциальной геометрии поверхностей......Page 236
4. Квадратичная форма эквиафинной диференциальной геометрии поверхностей......Page 238
5. Вспомогательный вектор и кубическая форма афинной диференциальной геометрии поверхностей......Page 239
6. Афинная нормаль и деривационные формулы......Page 241
7. Афинная диференциальная геометрия поверхностей......Page 242
1. Формы Фубини......Page 243
2. Сопоставление форм Фубини с основными формами эквиафинной диференциальной геометрии......Page 245
3. Формы Фубини в проективном пространств......Page 248
4. Проективные формы Фубини......Page 249
5. Построение форм Фубини в проективном пространстве......Page 250
6. Формы Фубини в асимптотических координатах......Page 252
7. Нормальные проективные координаты и нормирование форм Фубини......Page 253
8. Проективный линейный элемент......Page 254
9. Проективная нормаль и основные уравнения проективной диференциальной геометрии......Page 255
1. Прямолинейные конгруэнции и конфигурации Куммера......Page 257
2. Момент луча конгруэнции относительно данной точки......Page 258
3. Первый основной тензор конгруэнции......Page 259
4. Вторая основная форма конгруэнции......Page 260
5. Постановка вопроса......Page 261
6. Лемма......Page 262
7. Интегрирование системы уравнений......Page 263
8. Уравнение Санниа......Page 264
10. Тензоры Рашевского......Page 265
1. Квадратичные формы конгруэнции......Page 266
3. Деривационные формулы......Page 267
4. Основная теорема теории куммеровых конфигураций......Page 268
5. Выражение тензора конгруэнции через величины куммеровой конфигурации, в состав которой она входит......Page 269
6. Выражение второго тензора конгруэнции через тензоры содержащей её куммеровой конфигурации......Page 270
1. Средняя поверхность конгруэнции......Page 271
2. Уравнение средней поверхности конгруэнции, выраженное в величинах, определяющих конгруэнцию......Page 272
3. Исследование средней поверхности......Page 273
5. Линейчатые поверхности конгруэнции......Page 275
7. Фокусы и фокальные поверхности конгруэнции......Page 277
8. Главные линейчатые поверхности конгруэнции......Page 279
9. Нормальные конгруэнции......Page 280
11. Изгибание конгруэнции......Page 281
12. Инвариант изгибания конгруэнции......Page 282
13. Расширение понятия об изгибании конгруэнции......Page 283
1. Принцип двойственности......Page 284
2. Уравнение геодезической линии на сфере......Page 285
3. Расстояние между двумя точками на сфере......Page 286
5. Метрическая форма сферы или эллиптической плоскости в бельтрамиевых координатах......Page 287
6. Угол между двумя большими кругами на сфере......Page 288
7. Лонгометрическая и гонометрическая формы сферы......Page 289
9. Гонометрическое исследование эллиптической плоскости......Page 290
10. Гонометрическая площадь бесконечно малого треугольника......Page 292
11. Гонометрические интегральные инварианты......Page 293
12. Гиперболическая плоскость......Page 294
13. Гонометрическая форма гиперболической плоскости......Page 296
14. Гонометрическая форма на поверхностях, развёртывающихся на плоскость......Page 297
1. Гауссова и финслерова формы......Page 298
2. Гонометрическое семейство кривых......Page 300
3. Гонометрические семейства кругов на плоскости......Page 301
4. Гонометрические семейства кругов другого типа......Page 303
5. Гонометрическая диференциальная геометрия семейства кругов......Page 304
1. Диференциальное уравнение гонометрического семейства кривых......Page 305
2. Задание двупараметрического семейства кривых по способу Рашевского......Page 306
3. Два диференциальных оператора......Page 307
4. Диференциальное уравнение Рашевского......Page 310
5. Достаточность установленного условия......Page 311
6. Ближайшее рассмотрение найденного условия......Page 313
7. Изменение кривизны кривых конгруэнции при конформном преобразовании плоскости......Page 314
8. Квазиокружности. Характеристический признак семейства квазиокружностей......Page 316
9. Уравнение Рашевского для квазиокружностей......Page 318
10. Поверхности с гонометрическим семейством геодезических линий......Page 320
1. Теорема Рашевского......Page 321
2. Диференциальные уравнения трёхпараметрического семейства кривых......Page 322
3. Включение двухпараметрического семейства в трёхпараметрическое......Page 323
4. Уточнение состава характеристической функции для гонометрической системы......Page 324
1. Гонометрическая площадь множества геодезических линий......Page 325
2. Гонометрическая площадь круга на сфере......Page 326
3. Гонометрическая площадь отрезка геодезической линии на сфере......Page 327
4. Гонометрическая площадь прямолинейного отрезка на евклидовой плоскости......Page 328
5. Развитие теоремы Крофтона......Page 329
6. Инвариант Картана......Page 332
7. Приложения к теории вероятностей......Page 335
8. Интегральная геометрия......Page 336
1. Регулярное однопараметрическое семейство кривых на поверхности......Page 338
2. Сеть и её диференциальное уравнение......Page 339
3. Инварианты сетевого тензора......Page 342
4. Нормирование сетевого тензора и его инвариантов......Page 343
5. Геометрическое значение нормированного первого инварианта сети......Page 344
6. Выражение компонент одного иэ направляющих векторов сети через компоненты второго направляющего вектора и сетевой угол......Page 345
8. Скаляры, сохраняющие постоянное значение на каждой линии одного из семейств сети......Page 346
1. Аналитические условия, определяющие чебышевскую сеть......Page 347
2. Уравнения Сервана - Бианки......Page 348
3. Чебышевские сети на любой поверхности......Page 349
4. Чебышевские сети на плоскости......Page 350
5. Формулы Дубнова и их интерпретация......Page 352
6. Чебышевские векторы сети......Page 354
7. Соотношения, связывающие чебышевские векторы сети......Page 355
8. Чебышевский вектор чебышевской сети......Page 356
9. Получебышевская сеть......Page 359
10. Выражение компонент чебышевского вектора черев компоненты направляющих векторов сети......Page 361
12. Вычисление компонент чебышевского вектора для специальных сегей......Page 362
2. Инвариантные признаки поверхности вращения и цилиндра......Page 365
3. Геодезические кривизны линий сети......Page 366
5. Преобразование уравнений, характеризующих геодезическую сеть......Page 367
6. Вектор кривиэны сети......Page 368
8. Инвариантный признак поверхностей второго порядка......Page 370
11. Изменение чебышевского вектора при преобразовании поверхности......Page 372
12. Изменение чебышевского вектора при конформном преобразовании поверхности......Page 374
13. Третий чебышевский вектор......Page 375
14. Ромбическая сеть......Page 376
15. Изотермическая сеть......Page 377
16. Изотермические поверхности......Page 378
17. Инвариантные признаки торсов различных типов......Page 379
1. Определение изгибания на главном основании......Page 381
2. Основное свойство сети изгибания......Page 383
4. Виртуально сопряжённая сеть......Page 384
5. Решение одной задачи тензорной алгебры......Page 385
6. Выражение чебышевского вектора сети, определяемой тензором (19)......Page 387
7. Условия, определяющие простое или главное основание......Page 390
8. Определение всех поверхностей, которые получаются при иэгибании одной из них на главном основании......Page 392
Литература......Page 395
Именной указатель......Page 403
Предметный указатель......Page 404
Опечатки (исправлены)......Page 408
Обложка......Page 409