Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2005. — 132 с. — ISBN 5-7782-0490-6.Пособие содержит ряд разделов высшей математики, таких как линейные операторы, векторные пространства и основы теории тензорного исчисления. Лекционный материал иллюстрируется рядом примеров из области газовой динамики. Предложенный материал необходим для понимания последующих курсов лекций студентами факультета летательных аппаратов Новосибирского государственного технического университета, для которых настоящее пособие и предназначено.Введение.
Линейные операторы в векторном пространстве.
Сведения из теории матриц.
Векторное пространство.
Отображение n-мерного пространства в m-мерное.
Сложение и умножение операторов. Преобразование координат.
Эквивалентные матрицы.
Линейные операторы в пространстве Rn.
Характеристические числа и собственные векторы линейного оператора в пространстве Rn.
Квадратичные формы.
Метрические пространства.
Векторный анализ.
Дифференцирование вектора, зависящего от параметра. Кривая в пространстве. .
Скалярные и векторные поля.
Градиент и его свойства.
Производная вектора по направлению. Полная производная.
Дивергенция вектора. Теорема Гаусса-Остроградского.
Ротор вектора. Теорема Стокса.
Оператор Гамильтона.
Криволинейные координаты.
Основы тензорного исчисления.
Аффинный ортогональный тензор второго ранга.
Разложение тензоров.
Умножение тензора на вектор.
Произведение тензоров.
Главные значения тензора. Инварианты тензора.
Дифференцирование тензора по скалярному аргументу. Дивергенция тензора.
Элементы общей теории тензоров.
Литература.
Введение.
Настоящее пособие написано на основе курса лекций, прочитанных на протяжении ряда лет для студентов факультета летательных аппаратов. Этот курс дополняет их знания по математике, что позволяет использовать новый математический аппарат для понимания последующих курсов, таких как «Теоретическая аэрогидромеханика», «Вычислительная математика», «Численные методы» и других.
Первая глава знакомит читателей с теорией векторных пространств и линейных операторов. Устанавливает связь последних с линейными преобразованиями и способ нахождения матрицы, соответствующей заданному линейному оператору. Вводятся понятия характеристических чисел и собственных векторов операторов и устанавливаются их свойства. В нормированных пространствах вводятся определения нормы вектора и нормы оператора. Весь этот раздел тесно связан с изучением свойств различных конечно-разностных методов решения дифференциальных уравнений. В конце главы излагается теория квадратичных форм, с помощью которых исследуются свойства уравнений в частных производных второго порядка и которые тесно связаны с линейными операторами и линейными преобразованиями.
Вторая и третья главы посвящены векторному исчислению и основам тензорного исчисления. Рассматривается кривая в пространстве, и вводится для нее локальная ортогональная система координат. Для скалярного и векторного полей вводятся дифференциальные операции градиента, дивергенции и ротора, формулируются связанные с ними теоремы. В движущейся среде определяются частная и полная производные. Большое внимание уделяется оператору Гамильтона, обладающему как векторными, так и дифференциальными свойствами. Демонстрируются преимущества его использования для получения некоторых дифференциальных соотношений.
Если вектор в трехмерном пространстве интерпретируется как направленный отрезок, то для тензора второго ранга не удается дать наглядное представление. Он является новым математическим обобщением в ряду скаляр, вектор, тензор. Как вектор определяется тремя скалярами, так и тензор задается тремя векторными компонентами. В качестве примера приводится тензор упругих напряжений, и далее многие свойства тензоров демонстрируются на его примере. Определяются скалярные и векторные умножения тензора на вектор, а также скалярное и бискалярное умножения двух тензоров. Определяется дивергенция тензора и приводится для него формула Гаусса-Остроградского. С помощью тензоров выводится уравнение движения вязкой жидкости и приводится уравнение энергии. В заключение даются основы общей теории тензоров.
