Высшая математика. Этюды по теории и её приложениям

Оглавление......Page 5
Предисловие......Page 11
1. Устойчивость разностных схем решения задач математической физики......Page 14
2. Эллиптические координаты......Page 19
3. Оптические свойства кривых второго порядка и устойчивость лазерного луча......Page 24
4. Основы проективной геометрии......Page 29
5. Дважды линейчатые поверхности......Page 34
6. Рациональные параметризации и арифметика алгебраических кривых......Page 36
7. Группа единиц кольца остатков по целому модулю и асимметричная компьютерная криптография (схемы с открытым ключом)......Page 53
8. Явление радуги......Page 67
9. Реальные газы и уравнение Ван-дер-Ваальса......Page 69
10. Кривая намагничивания ферромагнетиков и явление гистерезиса......Page 74
11. Метод наименьших квадратов......Page 78
12. Принцип минимума свободной энергии и каноническое распределение Гиббса......Page 82
13. Простейшие особенности плоских кривых (крест, изолированная точка, клюв) и их распускания......Page 84
14. Огибающие семейств кривых и их особенности......Page 93
15. Кривизна и кручение пространственной кривой. Базис Френе и формулы Френе......Page 98
16. Кривизна поверхности. Гауссова кривизна и средняя кривизна......Page 103
17. Внутренняя геометрия поверхности. Параллельный перенос и геодезические. Локальная теорема Гаусса-Бонне. Плоскость Пуанкаре и геометрия Лобачевского......Page 109
18. Эйлерова характеристика поверхности и глобальная теорема Гаусса-Бонне. Классификация компактных двумерных поверхностей. Хроматические числа и проблема четырёх красок......Page 116
19. Непрерывные касательные векторные поля к двумерным поверхностям и теорема Пуанкаре. Теория Морса. Многообразия высших размерностей. Теорема о кобордизме и гипотеза Пуанкаре......Page 126
20. Комплексное дифференцирование, конформные отображения и гармонические функции......Page 134
21. Дробно-линейные отображения и задача о тепловых потерях трубопровода......Page 137
22. Степенные отображения и задача о громоотводе......Page 142
23. Отображение Жуковского и обтекание цилиндра......Page 144
24. Особые точки гармонических функций (источник, вихрь, диполь). Вихревые обтекания тел и подъёмная сила крыла......Page 150
25. Комплексная диэлектрическая проницаемость и СВЧ-нагрев пищевых продуктов......Page 153
26. Многочлены: результант, дискриминант, теорема Безу......Page 155
27. Арифметика мнимых квадратичных колец......Page 161
28. Кватернионы и вращения трёхмерного пространства. Процедура Кэли-Диксона и октавы. Теоремы Гурвица и Фробениуса. История становления векторного исчисления......Page 171
29. Конечные некоммутативные группы. Группы перестановок и симметрии многоугольников и многогранников. Порождающие элементы, определяющие соотношения и графы групп. Разрешимые и простые группы......Page 180
30. Римановы поверхности аналитических функций. Формула Римана-Гурвица. Группы Галуа и теорема Абеля......Page 196
31. Алгебраические расширения полей и построения с помощью циркуля и линейки......Page 202
32. Кинетика простейших химических реакций......Page 209
33. Движение в центральном поле. Резерфордовское рассеяние......Page 212
34. Математический маятник и эллиптические интегралы......Page 218
35. Энергия гравитационной дифференциации Земли, мантийная конвекция и дрейф континентов......Page 227
36. Гамма- и бета-функции Эйлера, метод Лапласа и формула Стирлинга......Page 238
37. Сферические координаты в n-мерном пространстве. Объём и площадь поверхности n-мерного шара......Page 244
38. Магнитное поле контура с током, интеграл Гаусса и коэффициент зацепления......Page 248
39. Барометрическая формула в поле центробежной силы и определение молекулярной массы высокомолекулярных соединений......Page 252
40. Последовательные химические реакции и максимальный выход промежуточного продукта......Page 253
41. Функция распределения продукта по времени пребывания в аппаратах непрерывного действия......Page 254
42. Отвод тепла при хранении плодоовощной продукции......Page 256
43. Затухающие колебания. Линейный и нелинейный резонанс. Уравнение Дуффинга......Page 262
44. Теория флаттера......Page 266
45. Задача Штурма-Лиувилля для радиальной части оператора Лапласа. Функции Бесселя. Приближённое решение прямым вариационным методом......Page 270
46. Нелинейные задачи на собственные значения. Задача Эйлера о потере устойчивости колонны......Page 280
47. Угловая часть оператора Лапласа в полярных и сферических координатах. Многочлены и функции Лежандра......Page 284
48. Уравнения с периодическими коэффициентами. Матрица монодромии и решения Флоке. Параметрический резонанс......Page 291
49. Квазиклассическое приближение, туннельный эффект и альфа-распад атомных ядер......Page 299
50. Модели конкуренции и модель хищник-жертва......Page 304
51. Модель роста и таяния ледника и глобальный климат......Page 309
52. Ламповый генератор и уравнения Ван-дер-Поля......Page 313
53. Анализ устойчивости предельного цикла. Задача Жуковского о виброразделении смесей......Page 318
54. Вырождение собственных частот и вековые слагаемые. Задача о рациональной компоновке автомобиля......Page 320
55. Устойчивость лагранжевых движений в ограниченной задаче трёх тел......Page 324
56. Движение в центральном поле: замкнутость траекторий, скрытая симметрия кулоновского потенциала, потенциалы Ленца и задача Максвелла о "рыбьем глазе"......Page 335
57. Асимптотическое разложение Эйлера-Маклорена. Числа Бернулли......Page 342
58. Распределение простых чисел. Функции Мангольда и Римана и гипотеза Римана......Page 348
59. Явление Гиббса и проблема окантовки при компьютерном сжатии изображений. Вейвлеты......Page 356
60. Кинематика движения сплошной среды. Уравнение неразрывности и метод характеристик. "Блины Зельдовича" и крупномасштабное распределение вещества во Вселенной......Page 360
61. Задача остывания (нагревания) тела. Метод разделения переменных. Самосопряжённая эллиптическая краевая задача......Page 366
62. Квазиодномерная нестационарная теплопроводность, регулярный тепловой режим и вариационный метод......Page 369
63. Квазиодномерная стационарная теплопроводность, тепловое сопротивление квазиодномерной стенки......Page 373
64. Процессы кристаллизации и задача Стефана. Автомодельное решение. Квазистационарное приближение и формула Планка......Page 375
65. Теплопроводность неоднородных тел. Методы неравновесной термодинамики и принцип Пригожина. Формула Эйкена......Page 378
66. Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (уравнения Навье-Стокса). Задача Стокса о медленном движении шара. Парадоксы Стокса и Уайтхеда и решение Озеена......Page 387
67. Уравнения Прандтля пограничного слоя. Решение Блаузиуса. Метод сшивания асимптотических разложений. Теплоотдача при ламинарном обтекании пластины......Page 396
68. Волны на поверхности воды. Уравнение Кортевега-де-Фриза, солитоны и уединённые волны......Page 403
69. Дислокации в кристаллах, модель Френкеля-Конторовой и уравнение синус-Гордон......Page 411
70. Теплоотдача при стекании плёнки жидкости......Page 415
71. Функция распределения продукта по времени пребывания — модель "дрейф+диффузия". Условия Данкверста......Page 419
72. Уравнение Шрёдингера в центрально-симметричном поле. Кулоновский потенциал и вырождение уровней в атоме водорода. Потенциал гармонического осциллятора......Page 423
73. Потенциалы Ленца, модель Томаса-Ферми и строение периодической системы элементов (правило Маделунга)......Page 431
74. Вариационный метод приближённого решения задач квантовой механики. Потенциал ионизации атома гелия и двухэлектронных ионов......Page 437
75. Прохождение частицы через потенциальный барьер. Коэффициенты прохождения и отражения, туннельный эффект. Безотражательные потенциалы......Page 441
76. Тепловая конвекция, задача Релея и система Лоренца......Page 445
77. Некоторые парадоксы элементарной теории вероятностей......Page 452
78. Ветвящиеся процессы и проблема вымирания в теории эволюции......Page 462
79. Процессы случайного блуждания: вероятность возврата, связь с диффузией......Page 467
80. Коэффициент корреляции и анализ зависимости источников в историографии......Page 470
81. Пространства с мерой. Парадоксы неизмеримости......Page 474
82. Динамические системы с инвариантной мерой. Эргодическая теорема Биркгофа и обоснование статистической механики. Теорема Пуанкаре о возвращении. Перемешивание и термодинамическая необратимость......Page 478
83. Энтропия Колмогорова-Синая и проблема изоморфизма сдвигов Бернулли......Page 491
84. Цепные дроби и приближения иррациональных чисел рациональными. Проблема построения календарей. Алгебраические и трансцендентные числа. Уравнение Пелля и единицы действительных квадратических колец......Page 495
85. Динамические системы, связанные с цепными дробями. Теорема Хинчина-Леви......Page 510
86. Отображение отрезка в себя: каскад удвоений, универсальность Фейгенбаума и ренорм-группа......Page 513
87. Странные аттракторы, фракталы и хаусдорфова размерность......Page 518
88. Сосуществование циклов, теорема Шарковского, топологическая и ляпуновская энтропии......Page 534
89. Интегрируемые и неинтегрируемые гамильтоновы системы. Малые знаменатели и КАМ-теория. Расщепление сепаратрис и отображение Чирикова......Page 550
90. Понятие количества информации - вероятностный подход. Формулы Хартли и Шеннона. Условная информация......Page 563
91. Количество информации - алгоритмический подход. Частично и общерекурсивные функции, тезис Чёрча. Перечислимые и разрешимые множества. Теорема Колмогорова......Page 567
92. Теория Рамсея, функция Аккермана, теорема Париса-Харрингтона и неполнота арифметики......Page 572
93. Кодирование информации. Проблема однозначности декодирования. Неравенство Крафта. Полные коды......Page 578
94. Префиксные коды. Код Хаффмана. Арифметическое кодирование......Page 580
95. Словарные алгоритмы сжатия информации. Коды Зива-Лемпела......Page 585
96. Блочные методы сжатия информации. Преобразование Барроуза-Уилера......Page 589
97. Фрактальное сжатие изображений......Page 592
98. Помехоустойчивое кодирование. Линейные коды, генерирующая и проверочная матрицы. Код Хэмминга. Плотно упакованные коды......Page 595
99. Проблема максимума определителя, матрицы Адамара и эквидистантные коды......Page 600
100. Ассоциативная память. Спиновые стёкла и модель Хопфилда......Page 604