Коммутативный гармонический анализ

Титульный лист......Page 1
Редколлегия......Page 2
Выходные данные......Page 3
СОДЕРЖАНИЕ......Page 4
Предисловие......Page 8
§ 1. Введение......Page 11
2.1. Простейшие свойства преобразования Фурье......Page 17
2.2. Сверка......Page 20
2.3. Примеры ядер......Page 22
2.4. Формула обращения для $L^1(\mathbb{R}^n) \cap \mathcal{F}^1(\mathbb{R}^n)$ и $\mathcal{I}(\mathbb{R}^n)$. Формула обращения для умеренных распределений......Page 24
2.5. Формула обращения для $L^1(\mathbb{R}^n)$......Page 26
2.6. Абсолютно сходящиеся интегралы Фурье и ряды Фурье......Page 29
3.1. Преобразование Фурье в $L^1 \cap L^2 = L^1(\mathbb{R}^n) \cap L^2(\mathbb{R}^n)$......Page 32
3.2. Теорема Планшереля......Page 33
3.3. Преобразование Фурье в $L^p(\mathbb{R}^n)$, $1 \leq р \leq\infty$......Page 34
§ 4. Собственные функции преобразования Фурье......Page 39
4.1. Функции Эрмита......Page 40
4.2. Преобразования и двойственности Меллина и Ханкеля......Page 44
4.3. Самодвойственные функции......Page 46
§ 5. Интегральные преобразования в гармоническом анализе......Page 48
5.1. Преобразование Лапласа на локально компактной абелевой группе......Page 49
5.2. Преобразование Лапласа на $\mathbb{R}$......Page 51
5.3. Теорема Винера—Пэли в $L^2$-теории......Page 53
5.4. Преобразование Бореля и теорема Пойа......Page 56
5.5. Факторизация функций из $H_+^2$......Page 57
5.6. Преобразование Гильберта......Page 60
5.7. Пространство Харди в полосе......Page 62
5.8. Преобразование Карлемана......Page 63
5.9. Метод Винера—Хопфа......Page 65
6.1. Группы сдвигов и инвариантные подпространства......Page 67
6.2. Теоремы Винера и Диткина......Page 69
6.3. Подпространства в $L^2(\mathbb{R})$, инвариантные относительно полугруппы сдвигов. Теорема Лакса......Page 70
6.4. Односторонне инвариантные подпространства и теорема единственности Стоуна—Макки......Page 71
6.5. Инвариантные подпространства на окружности......Page 75
6.6. Подпространства, инвариантные относительно сдвигов в $L^2(\mathbb{R}^+)$......Page 77
6.7. Спектральная теория функций пространства $L^2(\mathbb{R}^+)$......Page 79
6.8. Инвариантные подпространства в $L^2(\mathbb{R}^+)$, обладающие свойством компактности......Page 81
7.1. Преобразование Фурье в пространстве $L^2(\mathbb{R}, d\Omega)$......Page 82
7.2. Обобщенное преобразование Фурье и гильбертовы пространства целых функций конечной степени......Page 83
7.3. Обобщенное преобразование Фурье и спектральные функции струны......Page 86
§ 8. Положительно определенные функции......Page 88
8.1. Положительно определенные функции на группе и унитарные представления групп......Page 89
8.2. Свойства положительно определенных функций на группе......Page 91
8.3. Класс Каратеодори. Теоремы Каратеодори, Теплица, Ф. Рисса и Герглотца......Page 93
8.4. Теорема Бохнера......Page 94
8.5. Классы С. Н. Бернштейна экспоненциально выпуклых и абсолютно монотонных функций......Page 95
8.6. Теорема Бохнера на ЛКА группе и теорема Хаусдорфа — Бернштейна на полугруппе как специальные случаи теоремы Крейна—Мильмана......Page 97
8.7. Положительно определенные функции в $\mathbb{R}^n$. Радиальные положительно определенные функции и теоремы Шенберга......Page 99
9.1. Задача продолжения положительно определенных функций. Операторный подход М. Г. Крейна......Page 101
9.3. Четно-положительные функции......Page 103
9.5. Теоретико-функциональный подход к задаче продолжения......Page 104
9.6. Круг Вейля, точка Вейля и четверка целых функций Неванлинны—Крейна......Page 106
9.7. Простые примеры единственности и неединственности продолжения функций из $P_a$. Примеры функций класса $P(\mathbb{R})$......Page 107
9.8. Продолжение положительно определенных функций в $\mathbb{R}^n$......Page 108
9.9. Продолжение положительно определенных функций, заданных в полосе. Каналовые функции......Page 109
10.1. Отрицательно определенные функции......Page 112
10.2. Теорема Леви—Хинчина......Page 114
10.3. Арифметика характеристических функций вероятностных распределений в $\mathbb{R}^n$......Page 115
§ 11. Тауберова теорема Винера......Page 116
11.1. Общая и специальные тауберовы теоремы......Page 117
11.2. Тауберовы теоремы в спектральной теории дифференциальных операторов......Page 122
11.3. $\zeta$-функция и спектр эллиптического оператора......Page 123
11.4. Закон распределения простых чисел......Page 124
11.5. Гипотеза Римана о нулях $\zeta$-функции как теорема полноты сдвигов......Page 128
12.1. Спектр Карлемана......Page 131
12.2. Спектр Бёрлинга......Page 133
12.3. Лемма Карлемана об аналитическом продолжении......Page 134
12.4 Аппроксимационная теорема винеровского типа для пространства функций, интегрируемых с экспоненциально растущим весом......Page 136
12.5. Аппроксимационная теорема винеровского типа и спектр ограниченной функции на $\mathbb{R}^+$......Page 138
12.6. Алгебры Бёрлинга......Page 140
§ 1. Введение......Page 141
1.1. Локально компактные абелевы группы, кольца и поля......Page 144
2.1. Группы и абелевы группы......Page 146
2.2. Топология (Задание топологии. Аксиомы отделимости. Компактные и локально компактные пространства. Топологическое произведение)......Page 149
2.3. Топологические группы......Page 153
2.4. Подгруппы топологических групп......Page 154
2.6. Факторгруппы и канонический гомоморфизм......Page 155
2.7. Изоморфизм и гомоморфизм топологических групп......Page 156
2.8. Произведение топологических групп......Page 157
2.9. Проективный предел......Page 159
2.10. Индуктивный предел......Page 161
2.11. Топологические группы и связность......Page 162
2.13. Равномерные структуры на топологических группах......Page 163
3.1. Поле $\mathbb{Q}$ рациональных чисел......Page 164
3.2. Кольцо $t$-адических чисел......Page 165
3.3. Группа $p$-адических единиц......Page 167
3.4. Норма в $\mathbb{Q}_p$......Page 168
3.5. Группы $\mathbb{Z}_a$ и $\mathbb{Q}_a$......Page 169
3.6. Группа $\mathbb{\Omega}_a$......Page 170
3.8. Идели и адели......Page 171
3.9. Конечные поля......Page 173
3.10. Поле $\mathbb{K}_p(t)$ формальных степенных рядов над полем вычетов по модулю $p$, $p$ — простое число......Page 174
§ 4. Интегрирование на локально компактных хаусдорфовых пространствах......Page 175
4.1. Мера и внешняя мера......Page 176
4.2. Измеримые функции и интеграл Лебега......Page 177
4.3. Борелевские и бэровские меры......Page 179
4.5. Пространства $L_p(X)$, $1\leq p \leq\infty$......Page 181
4.6. Пространство комплексных мер. Теорема Радона—Никодима......Page 183
4.7. Мера на произведении пространств. Теорема Фубини......Page 184
5.1. Основные определения......Page 185
5.2. Примеры......Page 187
5.3. Теорема Хаара......Page 188
5.4. Модулярная функция......Page 190
5.5. Случаи дискретной или компактной групп......Page 191
5.7. Модуль на локально компактном поле и строение ЛК полей......Page 192
5.8. Мера Хаара произведения......Page 194
5.9. Мера Хаара проективного предела и мера Хаара на вполне несвязных группах......Page 195
5.10. Квазиинвариантные меры. Относительно инвариантные меры......Page 198
5.11. Мера Хаара на подгруппах и факторгруппах. Формула Вейля и ее непосредственные следствия......Page 199
5.12. Расширение инвариантных мер......Page 201
5.13. Свертка на локально компактных группах......Page 202
6.1. Инвариантные средние на дискретных группах......Page 206
6.2. Инвариантные средние на локально компактных группах......Page 209
6.3. Инвариантные средние на почти периодических функциях......Page 211
6.4. Средние на слабо почти периодических функциях......Page 214
6.5. Слабая и сильная инвариантность, условие Рейтера и аменабельность......Page 216
7.1. Определение банаховой алгебры. Примеры......Page 218
7.2. Группа обратимых элементов......Page 222
7.3. Спектр элемента банаховой алгебры......Page 223
7.4. Идеалы и максимальные идеалы коммутативной банаховой алгебры......Page 224
7.6. Пространство максимальных идеалов банаховой алгебры и преобразование Гельфанда......Page 226
7.7. Аналитические функции от элементов банаховой алгебры и теорема Винера — Леви......Page 230
7.8. Симметричные банаховые алгебры......Page 231
7.9. Алгебры регулярных борелевских мер и эффект Винера—Питта......Page 233
7.10. Оболочки идеалов и ядра. Регулярные банаховы алгебры......Page 235
7.11. Спектральный синтез идеалов......Page 238
7.12. Инволютивные банаховы алгебры......Page 241
7.13. $C^\ast$-алгебры......Page 242
7.14. Положительные функционалы на инволютивной банаховой алгебре. Представление Райкова — Бохнера......Page 244
§ 8. Элементы гармонического анализа на локально компактных абелевых группах......Page 246
8.2. Эквивалентные топологии на $\hat{G}$......Page 247
8.3. Примеры двойственности......Page 250
8.4. Преобразование Фурье на ЛКА группе......Page 252
8.5. Положительно определенные функции на ЛКА группе и представление Бохнера......Page 254
8.6. Формула обращения......Page 255
8.8. Теорема Планшереля......Page 257
8.9. Теорема двойственности Понтрягина......Page 259
8.10. Замечания к теории двойственности......Page 260
8.11. Компактные и дискретные группы......Page 261
§ 9. Свойства двойственности и формула Пуассона......Page 262
9.1. Аннулятор. Ортогональные подгруппы......Page 263
9.3. Компактификация Бора и теорема Кронекера......Page 264
9.4. Множества Кронекера и гармонические множества......Page 267
9.5. Точный гомоморфизм и его двойственный......Page 268
9.7. Преобразование Фурье на подгруппах и факторгруппах......Page 269
9.8. Меры и фактормеры на двойственных группах......Page 270
9.9. Формула Пуассона......Page 271
9.10. Примеры к формуле Пуассона......Page 272
§ 10. Общие и специальные структурные теоремы......Page 289
10.2. Компактно порожденные группы......Page 290
10.3. Главные структурные теоремы......Page 291
10.4. Специальные структурные теоремы и построение группы аделей алгебраического числового поля на основе теории двойственности......Page 293
Литература......Page 294
Именной указатель......Page 303
Предметный указатель......Page 306
Оглавление и выходные данные......Page 312
Опечатки......Page 313