Algèbre Linéaire et Applications

Préface
Notation
Partie I
Éléments de base
Ensembles
Uplets et matrices
Corps
Corps fini dont l'ordre est la puissance d'un nombre premier
Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
Nombres complexes
Partie réelle et partie imaginaire
Arithmétique
Module et conjugué d'un nombre complexe
Forme polaire
Racine n-ième
Formule d'Euler
Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
Résolution de systèmes d'équations linéaires
Définition
Méthode de la substitution
Opérations élémentaires
Représentation matricielle
Combinaison linéaire de colonnes
Matrice augmentée associée à un système
Forme échelonnée réduite
Élimination de Gauss-Jordan
Décrire les ensembles solutions
Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
Matrices
Multiplication de matrices
Associativité de la multiplication de matrices
Matrice identité
Matrices élémentaires
Exemples de matrices élémentaires
Résolution d'équations matricielles
Matrices inverses
Calcul de l'inverse d'une matrice carrée
L'inverse d'un produit de matrices
Matrices singulières
Propriétés des matrices
Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
Déterminant
Permutations
Définition
Matrices spéciales
Propriétés fondamentales
Méthodes efficaces
Règle de Cramer
Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
Espaces vectoriels
Motivation
Définition d'un espace vectoriel
Espaces vectoriels communément rencontrés
Sous-espaces
Combinaison linéaire et espace engendré
Espaces vectoriels de dimension infinie
Indépendance linéaire
Base et dimension
Dimensions de sous-espaces
Retour sur le noyau d'une matrice
Espace des colonnes et espace des lignes
Rang d'une matrice
Représentation par les uplets
Changement de base
Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
Valeurs propres et vecteurs propres
La magie des puissances de matrices
Définitions
Multiplicités algébriques et géométriques
Diagonalisation
Matrices symétriques et hermitiennes
Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
Partie II
Transformations linéaires
Définition
Noyau d'une application linéaire
Surjectivité et injectivité
Bijections et isomorphismes
Matrice d'une application linéaire
Retour sur les changements de bases.
Espace dual
Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
Produits scalaires
Produit scalaire usuel
Forme bilinéaire symétrique
Produit scalaire
Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
Orthogonalité
Bases orthonormées
Procédé de Gram-Schmidt
Sous-espaces orthogonaux
Somme directe
Projection orthogonale
Décomposition QR
Diagonalisation en base orthonormée
Fonctions quadratiques
Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
Projection
Cas d'une matrice de plein rang
Pseudo-inverse
Cas général
Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
Méthode des moindres carrés
Résolution de système inconsistant
Cas à une seule variable
Cas général
Équation normale
Ajustement de courbe par la méthode des moindres carrés
Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
Décomposition en valeurs singulières
Motivation
Valeurs singulières
Démonstration et exemples
Retour sur la méthode des moindres carrés
Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre
Applications
Graphisme dans le plan
Différentiation de polynômes
Approximation pour une matrice de rang inférieur
« Lights Out »
Codes de correction d'erreurs
Systèmes d'inéquations linéaires
Bibliographie