Dieses Buch beinhaltet eine Einführung in die faszinierende Welt der mathematischen Modellierung für alle, die auf diesem Gebiet noch keine großen Erfahrungen sammeln konnten. Die Darstellungstiefe orientiert sich dabei an Studierenden im Bachelorstudium. Während der erste Teil des Buchs sich der Methodik des Modellierens und den Aktivitäten im Modellierungszyklus widmet, hält der zweite Teil einen Werkzeugkasten für die einzelnen Modellierungsschritte parat. Die dritte Säule des Buches bilden einige Fallstudien, die nach unserer Methodik und mit den Techniken aus dem Werkzeugkasten bearbeitet werden. Das Modellieren beschränkt sich dabei nicht – und das ist das Besondere an dem Buch – auf die Modellentwürfe, sondern beinhaltet auch ihre Analyse, numerische Behandlung, Implementierung von Algorithmen, Rechnungen, Visualisierung und Analyse der Ergebnisse. Für die Implementierung der Berechnungen und die Visualisierung der Ergebnisse wird dabei konsequent das Softwarepaket MATLAB eingesetzt. Das Buch stattet Sie mit dem nötigen Rüstzeug aus, sich selbstständig an die mathematische Modellierung von realen Anwendungsproblemen zu wagen und die in der Spezialliteratur beschriebenen Modelle kreativ anzupassen und einzusetzen.
Author(s): Frank Haußer, Yury Luchko
Edition: 1st Edition.
Publisher: Spektrum Akademischer Verlag
Year: 2010
Language: German
Pages: 344
Cover......Page 1
Mathematische
Modellierung
mit MATLAB......Page 3
ISBN 9783827423986......Page 4
Vorwort......Page 6
Inhaltsverzeichnis......Page 10
Teil I Grundlagen......Page 15
1.1 Modelle sind überall......Page 17
1.2 Modelle in der Wissenschaft......Page 19
1.3 Mathematische Modelle – ein Ausflug......Page 24
1.3.1 Wohin wollen wir fahren?......Page 25
1.3.2 Wann ist das Wetter günstig?......Page 27
1.3.3 Wo kommt unser Auto her?......Page 29
1.3.4 Wie finden wir den Weg?......Page 30
1.3.5 Wie wird der Verkehr geregelt?......Page 31
2 Modellierung des Freiwurfs beim Basketball......Page 35
2.1.1 Analyse des Anwendungsproblems......Page 36
2.1.2 Herleitung eines mathematischen Modells......Page 38
2.1.3 Lösen des mathematischen Problems: Implementierung und Simulation......Page 44
2.1.4 Interpretation der Ergebnisse und Verfeinerung des Modells......Page 50
2.2 Zweites Modell: Die beste Wurfbahn......Page 51
2.2.1 Analyse des Problems: Bestimmung des zulässigen Gebietes......Page 52
2.2.2 Mathematisches Modell: Mehrzieloptimierung......Page 57
2.2.3 Lösung, Auswertung und Interpretation......Page 59
2.2.4 Analyse der Ergebnisse......Page 61
2.3 Aufgaben......Page 62
3 Methodik der mathematischen Modellierung......Page 65
3.1 Modellierungszyklus......Page 66
3.2 Analyse des Anwendungsproblems......Page 67
3.2.1 Präzisierung der Fragestellung......Page 68
3.2.2 Annahmen......Page 69
3.3 Modellbildung......Page 70
3.3.1 Systemund Modellparameter......Page 71
3.3.2 Zustandsgrößen und gesuchte Größen......Page 72
3.3.3 Nebenbedingungen und bekannte Gesetzmäßigkeiten......Page 73
3.4 Mathematische Analyse des Modells......Page 74
3.5 Computergestützte Berechnungen und Simulationen......Page 78
3.6.1 Validierung der Berechnung der Lösung......Page 79
3.6.2 Interpretation der Ergebnisse und Validierung des Modells......Page 80
3.7 Modelltypen – Modellklassifikation......Page 82
3.7.1 Mathematische Strukturen und Methoden......Page 84
3.7.2 Gruppierung nach Phänomenen......Page 87
3.7.3 Modellierungsziele......Page 89
3.7.4 Beschreibungsebene......Page 90
3.8 Aufgaben......Page 91
Teil II Werkzeuge......Page 94
4 Prinzipien zur Formulierung eines Modells......Page 95
4.1.1 Systembilanzgleichungen......Page 96
4.1.2 Erhaltungsgrößen und Erhaltungssätze......Page 99
4.1.3 Lokale Bilanzgleichungen......Page 115
4.2 Zustände und Übergänge......Page 123
4.2.1 Diskrete deterministische Übergänge......Page 124
4.2.2 Stochastische Übergänge – Stochastische Prozesse......Page 133
4.2.3 Zelluläre Automaten......Page 138
4.2.4 Kontinuierliche Übergänge......Page 142
4.3 Einmal vom Mikroskopischen zum Makroskopischen und zurück......Page 145
4.3.1 Modell des idealen Gases......Page 146
4.3.2 Fouriersches Gesetz der Wärmeleitung......Page 149
4.3.3 Random-Walk-Modell der Diffusion......Page 151
4.4 Aufgaben......Page 155
5.1.1 Lineare und nichtlineare Gleichungen......Page 161
5.1.2 Differentialgleichungen......Page 165
5.1.3 Inverse und schlecht gestellte Probleme......Page 167
5.2 Dimensionsanalyse......Page 174
5.2.1 Einheiten und Dimensionen......Page 175
5.2.2 Entdimensionalisierung und Skalierung......Page 176
5.2.3 Modellreduktion durch Dimensionsanalyse......Page 182
5.3 Linearisierung......Page 183
5.4 Störungstheorie und asymptotische Entwicklung......Page 189
5.5 Stationäre Zustände, Stabilität und asymptotisches Verhalten......Page 191
5.5.1 Diskrete lineare dynamische Systeme......Page 193
5.5.2 Diskrete nichtlineare dynamische Systeme......Page 198
5.5.3 Markov-Ketten......Page 200
5.5.4 Kontinuierliche lineare dynamische Systeme......Page 202
5.5.5 Kontinuierliche nichtlineare dynamische Systeme......Page 204
5.6 Aufgaben......Page 208
6 Berechnung, Simulation und Visualisierung......Page 211
6.1 Diskrete dynamische Systeme......Page 213
6.2 Kontinuierliche dynamische Systeme......Page 216
6.3 Partielle Differentialgleichungen......Page 228
6.3.1 Eindimensionale Konvektions-Reaktions-Gleichung......Page 229
6.3.2 Dreidimensionale Transportgleichung......Page 235
6.4 Aufgaben......Page 240
Teil III Fallstudien......Page 243
7 Informationssuche im Web: Google’s PageRank......Page 245
7.1 Von der Link-Struktur zum PageRank......Page 248
7.2 Zufalls-Surfer und Markov-Ketten......Page 251
7.3 Lösungsstrategie und Sensitivitätsanalyse......Page 258
7.3.1 Berechnung des PageRanks mit der Vektoriteration......Page 259
7.3.2 Konvergenzgeschwindigkeit und Wahl des Parameters......Page 260
7.3.3 Sensitivitätsanalyse......Page 263
7.4 Berechnung des PageRank-Vektors......Page 265
7.5 Diskussion und Ausblick......Page 268
7.6 Aufgaben......Page 270
8 Fischbestände und optimale Fangquoten......Page 271
8.1 Einfache Modelle der Entwicklung von Fischbeständen......Page 273
8.2 Optimale Fischfangquoten......Page 277
8.3 Räuber-Beute-Modelle......Page 280
8.4 Ausblick auf weitere Modelle......Page 286
8.5 Aufgaben......Page 290
9 Schadstoffausbreitung in einem Gewässer......Page 293
9.1 Konvektion und Abbau in einem Fluss......Page 295
9.2 Konvektion, Diffusion und Abbau in einem flachen See......Page 301
9.3 Drei Dimensionen und andere Verallgemeinerungen......Page 308
9.4 Aufgaben......Page 311
A.1 Grundlagen......Page 313
A.1.2 Matrizen als grundlegende Datenstruktur......Page 314
A.1.3 Rechnen mit Matrizen......Page 317
A.1.4 Aufruf von eingebauten MATLAB-Funktionen......Page 319
A.2.1 Skripte und Funktionen......Page 321
A.2.2 Kontrollstrukturen......Page 324
A.2.3 Function Handle......Page 326
A.2.4 Programmierstil......Page 327
A.2.5 Effiziente Berechnungen......Page 330
A.3.1 Linien und Punkte......Page 332
A.3.2 Animierte Darstellung......Page 333
A.3.3 Grafische Darstellung von Flächen......Page 335
A.3.4 Vektorfelder......Page 336
Literaturverzeichnis......Page 338
Index......Page 342
