Mathematical techniques of theoretical physics

1 Infinite... 9
1.1 Infi nite sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 In finite series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 In finite Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Transformation of series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Divergent series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Calculus 23
2.1 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Differen tiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Calculus-based inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Multivariate calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.1 Partial derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.2 Vector analysis: grad, div and curl . . . . . . . . . . 33
2.5.3 Useful identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.4 Multivariate integration . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 Curvilinear coordinates in 3 dimensions . . . . . . . . . . . . . 43
2.6.1 Cylindrical co ordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6.2 Spherical p olar co ordinates . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Complex v ariables, I 51
3.1 Complex n um b ers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Complex functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 Con tin uit y and analyticit y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 P o w er series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5 Elemen tary transcenden tal functions . . . . . . . . . . . . . . 61
3.6 Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.7 In tegration along con tours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.8 Cauc h y's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.8.1 Pro of of Cauc h y's Theorem (short) . . . . . . . . . . . 66
3.8.2 Pro of of Cauc h y's Theorem (length y) . . . . . . . . . 67
3.9 Cauc h y's in tegral form ula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.10 In tegral represen tation for deriv ativ es . . . . . . . . . . . . . 77
3.11 Miscellaneous facts ab out analytic functions . . . . . . . . . . 78
3.11.1 Cauc h y's inequalit y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.11.2 En tire functions; Liouville's Theorem . . . . . . . . . . 79
3.11.3 Morera's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4 Complex v ariables, I I 81
4.1 T a ylor's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Lauren t's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3 The calculus of residues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4 Singularities of analytic functions . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5 More facts ab out analytic functions . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.6 The n um b er of zeros of an analytic function . . . . . . . . . . 107
4.7 Rouc he's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.8 In v erse functions and rev ersion of series . . . . . . . . . . . . 111
4.9 Disp ersion relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5 Dieren tial equations 127
5.1 In tro duction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.2 First order equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.2.1 Separable equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2.2 In tegrating factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.2.3 Bernouilli equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.2.4 Homogeneous equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.3 Linear dieren tial equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.4 V ariation of parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.5 P o w er-series solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.6 T reatmen t of irregular singularities . . . . . . . . . . . . . . . 140
6 Sp ecial functions 145
6.1 Gamma and b eta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.2 P oisson's equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.2.1 Cartesian co ordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.2.2 Cylindrical co ordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.2.3 Spherical p olar co ordinates . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.3 Legendre functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.4 Asso ciated Legendre functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.4.1 Analytic prop erties of Legendre series . . . . . . . . . 160
6.5 Bessel F unctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.6 Hyp ergeometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.7 Con
uen t h yp ergeometric function . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.8 Sp ecial cases of h yp ergeometric functions . . . . . . . . . . . 176
6.9 Mathieu functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7 Asymptotic appro ximations 183
7.1 Asymptotic series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.2 In tegrals of F ermi distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.3 Metho d of steep est descen ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.4 The stationary phase appro ximation . . . . . . . . . . . . . . 194
7.5 WKBJ metho d for second order equations . . . . . . . . . . . 195
8 Linear algebra 205
8.1 Determinan ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.2 Prop erties of matrices and determinan ts . . . . . . . . . . . . 209
8.3 Linear transformations of v ector spaces . . . . . . . . . . . . 216
8.4 Eigen v ectors and eigen v alues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.5 Orthonormal bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
9 Linear v ector spaces 227
9.1 What is a linear v ector space? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.2 Linear indep endence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.3 Cardinalit y of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.4 T op ology of p oin t sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.5 Inner pro ducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
9.6 Hilb ert space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9.7 The distance from a p oin t to a subspace . . . . . . . . . . . . 241
9.8 Pro jections of a v ector on a subspace . . . . . . . . . . . . . . 244
9.9 In nite orthonormal sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
10 Hilb ert spaces 255
10.1 The space L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
10.2 Complete orthonormal systems in L2 . . . . . . . . . . . . . . 261
10.3 The space L2  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
11 Linear op erators on Hilb ert space 271
11.1 Linear functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
11.2 Linear op erators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
11.3 A secret theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
11.4 Compact linear op erators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
11.5 In tegral equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
11.5.1 F unctions of op erators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
11.5.2 Neuman series expansion . . . . . . . . . . . . . . . . 289
11.5.3 T ransform metho ds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
11.5.4 F redholm in tegral equations . . . . . . . . . . . . . . . 292
11.6 Homogeneous linear in tegral equations . . . . . . . . . . . . . 299
12 Eigen v alue problems 303
12.1 Self-adjoin t and normal op erators . . . . . . . . . . . . . . . . 306
12.2 Eigen v alues of compact op erators . . . . . . . . . . . . . . . . 309
12.3 Compact self-adjoin t op erators . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
12.4 Eigen v alue Problems and Calculus of V ariations . . . . . . . . 322
12.5 Sturm-Liouville Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
12.6 V ariational metho ds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
13 P artial dieren tial equations 331
13.1 Quasilinear equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
13.2 Curvilinear orthogonal co ordinates . . . . . . . . . . . . . . . 335
13.3 Separabilit y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
13.4 Green's function metho d for the Helmholtz equation . . . . . 340
13.5 Relaxation metho d for Laplace's equation . . . . . . . . . . . 343
13.6 Ph ysical origin of t ypical equations . . . . . . . . . . . . . . . 346
13.7 Separation of v ariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
13.8 Generalized curvilinear co ordinates . . . . . . . . . . . . . . . 364
13.9 Boundary conditions: c haracteristic curv es . . . . . . . . . . . 368
14 In tegral transforms 375
14.1 The F ourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
14.1.1 Motiv ation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
14.1.2 Dirac Æ -function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
14.1.3 P arsev al's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
14.1.4 F ourier con v olution theorem . . . . . . . . . . . . . . . 378
14.1.5 Domain of analyticit y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
14.2 The Laplace transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
14.2.1 In v erse Laplace transform . . . . . . . . . . . . . . . . 381
14.2.2 Laplace con v olution theorem . . . . . . . . . . . . . . 382
14.3 P artial dieren tial equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
14.3.1 Heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
14.3.2 Helmholtz equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
14.3.3 Wiener-Hopf metho ds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
15 P erturbation theory 395
15.1 Ra yleigh-Sc h odinger metho d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
15.2 Brillouin-Wigner metho d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
15.3 Singular p erturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
15.4 Degenerate p erturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403