Este volumen cubre esencialmente el programa del curso "Variable Compleja Y Funciones Especiales" que se imparte a los alumnos de la Licenciatura en Matemáticas desde 1987. Fue ensayado también, como parte de un curso de "Análisis Matemático III" para alumnos de Ingeniería Electricista, en 1970 y 1971.
Se denomina "Guía" y no "Notas de curso" pues se espera que sus lectores recurran a algunos de los textos citados en la Bibliografía luego de la lectura de cada capítulo. Su nivel de exposición es el que corresponde al ayudante de cátedra o al de un alumno avanzado.
Los diferentes temas se presentan en la forma acostumbrada quizá con excepción del teorema y la fórmula de Cauchy (Cap. 2, §4 - 6).
R.P.
AGRADECIMIENTOS: a Susana Cuenca por el dactilografiado, a Horacio Cuenca por los dibujos y a Aurora Germani por el apoyo brindado para la publicación de este volumen.
Author(s): Rafael Panzone
Series: Notas de álgebra y análisis Nº17
Publisher: INMABB - CONICET - Universidad Nacional del Sur
Year: 1991
Language: Spanish
Pages: 125
City: Bahía Blanca
CAPITULO 1.
El número complejo. Propiedades topológicas del plano complejo. Continuidad y diferenciablidad de funciones a valores complejos. Función holomorfa. Condiciones de Cauchy-Riemann. Series: criterios de convergencia. Series de potencias. El teorema de Cauchy-Hadamard. La distancia cordal....................1
CAPITULO 2.
Integral curvilínea. Teoremas de Cauchy y Morera. Fórmula de Cauchy. Las funciones elementales. La función zª. Convergencia uniforme de funciones holomorfas en una regi6n. Desarrollo en serie de potencias: el teorema de Taylor. Los ceros de una funci6n holomorfa. Determinación de una función holomorfa por uno de sus elementos analíticos. Principio del módulo máximo. Funciones armónicas. El núcleo de Poisson y su conjugado. La transformación conforme. Lema de Schwarz................................................................ 17
CAPITULO 3.
Propiedades de la representación conforme. La transformación lineal. La transformación bilineal. El teorema de Riemann. La fórmula de Poisson. Campos armónicos planos............................48
CAPITULO 4.
La continuación analítica. Singularidades aisladas. Ceros y polos. El punto en el infinito. Teorema de los residuos. Principio del argumento. Teorema de Rouché. Teorema fundamental del álgebra. El comportamiento de una función holomorfa alrededor de un cero. El teorema de monodromía. La función analítica completa. El teorema de Abel............................................................. 58
CAPITULO 5.
La función Gamma. La fórmula de recurrencia. La función Beta. La fórmula de duplicación de Legendre. La fórmula de Stirling. Productos infinitos. El teorema de Mitagg-Leffler y las funciones racionales .............................................................. 73
CAPITULO 6.
Ecuacicnes diferenciales lineales homogéneas. Singularidades. Teorema de Fuchs. Wronskiano. Naturaleza de la solución en un entorno de una singularidad regular. La ecuación de Bessel, Funciones de Bessel, fórmulas de recurrencia, ceros. Fórmula de Lümmel. Desarrollos asintóticos. Las funciones de Weber y Hankel.............................. 81
CAPITULO 7.
La ecuación diferencial de Legendre. Polinomios de Legendre, ceros. La fórmula de Rodrigues. Ortogonalidad de los polinomios de Legendre .... 101
CAPITULO 8.
Funciones holomorfas en varias variables complejas. Lema de Hartogs. Teorema de preparación de Weierstrass. Teorema de las funciones implícitas ..................................................... 105
CAPITULO 9.
La transformada de Laplace. El teorema de Lerch. Algunas transformadas útiles. Aplicación a las, ecuaciones diferenciales ordinarias. La convolución. El teorema del valor incial .................. 111
BIBLIOGRAFIA ..................................................... 117
