Статья. — Приборы и системы. Управление, Контроль, Диагностика. — 2013. — № 7. — С. 13-20.Во многих математических моделях встречается квадратичное разностное уравнение (известное в литературе также как квадратичное отображение, логистическое отображение, отображение Фейгенбаума, отображение Ферхюльста или отображение Ферхюльста-Пирла), что объясняется следующими основными причинами:
- Квадратичное отображение при выполнении определенных предпосылок является моделью динамики численности популяции и находит применение в демографии, популяционной биологии, экологии и ряде других областей.
- Квадратичное отображение является одним из фундаментальных уравнений теории детерминированного хауса, иллюстрирующее, как в относительно простой системе возникает хаотическое поведение.
- Квадратичное разностное уравнение описывает динамику некоторых технических объектов и систем, например, схем на переключаемых конденсаторах, преобразователей напряжения с реактивным регулирующим элементом, замкнутых систем управления с местной билинейной обратной связью и др.
- Динамика автономных стационарных нелинейных дискретных систем первого порядка при выполнении определенных условий приближенно описывается квадратичным разностным уравнением.
В статье впервые определены точные границы области начальных условий асимптотической устойчивости тривиального решения квадратичного разностного уравнения.
В работе рассмотрен подход к определению области устойчивости в пространстве начальных условий динамической системы, суть которого состоит в определении первоначальной, пусть и достаточно небольшой, области устойчивости, после чего находятся области из которых переменные состояния системы отображаются в уже ранее определенную область устойчивости. Данный подход назвам «метод связанных областей» и может быть использован для исследования самых различных динамических систем.Ключевые слова: асимптотическая устойчивость, квадратичное разностное уравнение, устойчивость в малом, область устойчивости.
