Dieses Buch könnte interessant für Sie sein, falls Sie über eine solide mathematische Ausbildung verfügen und nun Anwendungsprobleme mit Hilfe von Optimierungsmodellen lösen möchten, ohne sich zuvor jahrelang mit der zugehörigen Theorie zu beschäftigen.
Ein lineares gemischt-ganzzahliges Optimierungsproblem kann heute etwa 500 Milliarden Mal schneller gelöst werden als zu Beginn der 90er Jahre und lässt sich in leicht zu erlernenden Programmiersprachen wie Python formulieren. Da Sie Optimierungsalgorithmen für Real-World-Anwendungen in der Regel nicht selbst schreiben werden, lassen wir diesen Aspekt außen vor und wenden uns stattdessen der wunderschönen Welt der Modellierung zu. Sie lernen, echte Anwendungen in der Sprache der Mathematik zu beschreiben und implementieren alle vorgestellten Modelle in Python, um sie anschließend von bereits existierenden Solvern lösen lassen. Dieses anwendungsnahe Vorgehen soll Sie befähigen, selbst Optimierungsprobleme in der Praxis zu lösen.
Author(s): Nathan Sudermann-Merx
Publisher: Springer Spektrum
Year: 2023
Language: German
Pages: 216
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
1.1 Motivierendes Beispiel
1.2 Optimierungsmodelle
1.2.1 Grundbegriffe
1.2.2 Mathematische Notation
1.2.3 Indexmengen
1.2.4 Optimierungsmodelle und Optimierungsprobleme
1.3 Optimalpunkte und Optimalwerte
1.3.1 Anschauliche Erklärung
1.3.2 Mathematische Definition und Beispiele
1.3.3 Können verschiedene optimale Lösungen existieren?
1.3.4 Minimieren oder Maximieren?
1.3.5 Wann sind Optimierungsprobleme nicht lösbar?
2 Mathematische Grundlagen und Konvexität
2.1 Ein Wort vorab
2.2 Fahrplan für dieses Kapitel
2.3 Multivariate quadratische Funktionen
2.3.1 Anschauliche Erklärung
2.3.2 In Summenschreibweise
2.3.3 Als Matrix-Vektor-Produkt
2.3.4 Beispiele und erste Beobachtungen
2.4 Höherdimensionale Ableitungen
2.4.1 Der Gradient
2.4.2 Die Hesse-Matrix
2.5 Konvexität
2.5.1 Konvexe Mengen
2.5.2 Konvexe Funktionen
2.5.3 Definitheit von Matrizen
2.6 Eigenschaften konvexer Funktionen
2.6.1 Konvexe Funktionen und ihre Hesse-Matrizen
2.6.2 Summen konvexer Funktionen
2.7 Grafische Zusammenfassung
3 Unrestringierte quadratische Optimierungsmodelle
3.1 Motivation
3.2 Lesehinweis
3.3 Modellklasse
3.4 Mathematischer Hintergrund
3.4.1 Kritische Punkte
3.4.2 Kritische Punkte konvexer Funktionen
3.5 Praktische Hinweise
3.5.1 Modellierungstricks
3.5.2 Implementierung und Lösung in Python
3.6 Beispiele und Anwendungen
3.6.1 Umsatzmaximierung im Einproduktfall
3.6.2 Abstand, Punkt und Hyperebene
3.6.3 Über die Äquivalenz linearer Gleichungssysteme und UQPs
3.6.4 Mittlerer quadratischer Abstand zu Zahlen
3.6.5 Univariate lineare Regression und die Methode der kleinsten Quadrate
3.6.6 Multivariate lineare Regression und die Methode der kleinsten Quadrate
3.6.7 Ridge-Regression
4 Lineare Optimierungsmodelle
4.1 Motivation
4.2 Modellklasse
4.3 Mathematischer Hintergrund
4.3.1 Lineare Funktionen
4.3.2 Polyeder und Polytope
4.3.3 Dualitätstheorie für LPs
4.3.4 Lösungsalgorithmen
4.4 Praktische Hinweise
4.4.1 Modellierungstricks
4.4.2 Implementierung und Lösung in Python
4.5 Beispiele und Anwendungen
4.5.1 Mittlerer absoluter Abstand zu Zahlen
4.5.2 Lineare Regression und Least Absolute Deviations (LAD)
4.5.3 Produktionsproblem
4.5.4 Transportproblem
5 Gemischt-ganzzahlige lineare Optimierungsmodelle
5.1 Motivation
5.2 Modellklasse
5.3 Mathematischer Hintergrund
5.3.1 Kontinuierliche Relaxierungen und die Struktur der zulässigen Menge
5.3.2 Theoretische Komplexität und praktische Lösbarkeit
5.3.3 Lösungsalgorithmen
5.4 Praktische Hinweise
5.4.1 Modellierungstricks
5.4.2 Implementierung und Lösung in Python
5.5 Beispiele und Anwendungen
5.5.1 Zwölf Wächterinnen
5.5.2 Das schwerste Sudoku der Welt
5.5.3 Lineare Regression und Sparse Least Absolute Deviations
5.5.4 Unit Commitment Problem I: Pumpspeicherkraftwerk
5.5.5 Unit Commitment Problem II: Thermisches Kraftwerk
6 Gemischt-ganzzahlige quadratische Optimierungsmodelle
6.1 Motivation
6.2 Modellklasse
6.3 Mathematischer Hintergrund
6.3.1 Kontinuierliche Relaxierungen und Struktur der zulässigen Menge
6.3.2 Durch nichtkonvexe Funktionen beschriebene Mengen können trotzdem konvex sein
6.3.3 Lösungsalgorithmen
6.4 Praktische Hinweise
6.4.1 Modellierungstricks
6.4.2 Implementierung und Lösung in Python
6.5 Beispiele und Anwendungen
6.5.1 Verschnittminimierung
6.5.2 Das Lasso-Problem
6.5.3 Standortplanung I: Positionierung einer futuristischen Pizzeria
6.5.4 Standortplanung II: Bau eines Lagers für radioaktiven Abfall
7 Fortgeschrittene Modellierungstechniken
7.1 Linearisierung
7.1.1 Linearisierung konvexer Zielfunktionen und konvexer Ungleichungen
7.1.2 Linearisierung nichtkonvexer Funktionen
7.2 Dynamischer Modellaufbau am Beispiel des Traveling Salesman Problems
7.2.1 Problembeschreibung
7.2.2 Das TSP ist NP-schwer und doch für große Instanzen lösbar
7.2.3 Eine unvollständige MILP-Formulierung des TSPs
7.2.4 Subtour elimination constraints – eine naive Implementierung
7.3 Infeasibilities und Irreducible Inconsistent Subsystems
7.4 Mehrzieloptimierung
7.4.1 Ein einführendes Transportbeispiel
7.4.2 Lösungskonzepte
7.5 Sensitivitätsanalyse
7.5.1 Motivation und einführendes Beispiel aus der Netzwerkanalyse
7.5.2 Schattenpreise
7.5.3 Reduced Costs
8 Optimierungsmodelle in der Praxis
8.1 Erfolgsrezepte für den Einsatz von Optimierungsmodellen
8.1.1 Welche Probleme Sie mit Optimierung lösen sollten (und welche nicht)
8.1.2 Einbindung in die IT-Infrastruktur
8.1.3 Strategisch, taktisch oder operativ?
8.2 Vorgehen bei der Entwicklung eines Optimierungsmodells
8.3 Heuristiken
8.3.1 Was sind Heuristiken?
8.3.2 Heuristiken und Metaheuristiken
8.3.3 Wann sollten Sie Heuristiken einsetzen (und wann nicht)?
Literatur
Sachverzeichnis
