Geometrie

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Einleitung
Tabelle, Liste
A. Rein geometrische Theorien.
B. Grundlagen der Anwendung yon Algebra und Analysis auf die Geometrie.
1. Prinzipien der Geometrie. Von F. ENRIQUES in Bologna (jetzt in Rom). (Abgeschlossen im März 1907.)
1. Einleitung. Allgemeines, betreffend die mathematischen Untersuchungen über die Prinzipien der Geometrie
I. Die elementare Richtung.
2. Vorbemerkung
3. Punkt, Gerade und Ebene
4. Strecke, Winkel (der Begriff "zwischen")
5. Kongruenz und Bewegung
6. Über die Reduktion der in den vorhergehenden Nummern betrachteten fundamentalen Begriffe
7. Stetigkeit und Archimedisches Postulat
8. Das Parallelenpostulat
9. Weitere Ausführungen zur Parallelentheorie
10. Flächeninhalt und Rauminhalt
11. Neue Entwicklungen zur Proportionentheorie im Sinne der Alten
12. Schluß der vorstehenden Untersuchung und Disposition der folgenden Kapitel
II. Prinzipien der Theorie des Kontinuums.
13. Vorbemerkung
14. Die Linie
15. Flächen und Mannigfaltigkeiten mehrerer Dimensionen
16. Linien auf den Flächen
III. Prinzipien der projektiven Geometrie.
17. Postulate in einem Raumstück
18. Postulate für den vollständigen projektiven Raum
19. Projektive Koordinaten
20. Bemerkungen über die grundlegenden Sätze der projektiven Geometrie
21. Über die Bedeutung der Begriffe der Anordnung in der Begründung der projektiven Geometrie
IV. Projektive Metrik.
22. Einordnung der gewöhnlichen Metrik in die projektive Geometrie
23. Allgemeine Maßbestimmung von Cayley und deren nicht-Euklidische Auslegung von Klein
24. Verschiedene Bemerkungen zu den projektiven Metriken. Maßbestimmungen
V. Prinzipien der allgemeinen Metrik.
25. Vorbemerkung
A. Bogenelement (nebst endlicher Entfernung).
26. Geometrie auf krummen Flächen
27. Eiemannsche Maßbestimmung in einer beliebig ausgedehnten Mannigfaltigkeit
28. Homogene Mannigfaltigkeiten
29. Projektiver Charakter der Mannigfaltigkeiten konstanter Krümmung
30. Untersuchungen von De Tilly uuml;ber den Ausdruck für die endliche Entfernung
31. Geometrische Systeme von Minkowski-Hilbert
B. Bewegungsgruppe.
32. Postulate von H. v. Helmholtz
33. Untersuchungen von S. Lie
34. Untersuchungen von H. Poincare
35. Untersuchungen von D. Hubert
VI. Zusammenhangsverhältnisse des unbegrenzten Baumes.
36. Räume, die als Ganzes bewegt werden können
37. Zweidimensionale Gebilde von Clifford-Klein
38. Dreidimensionale Gebilde von Clifford-Klein
VII. Nicht-Archimedische Geometrie.
39. Einleitung
40. Eindimensionales Kontinuum höherer Art
41. Allgemeine Ansätze Veroneses
42. Nicht-Archimedische projektive Geometrie
43. Euklidische nicht-Archimedische Geometrie
44. Nicht-Archimedische Entwicklungen über die Parallelentheorie
2. Die Begriffe "Linie" und "Fläche". Von H. v. MANGOLDT in Danzig. (Abgeschlossen im September 1906.)
1. Notwendigkeit einer genauen Erklärung
2. Geschichtliche Entwickelung
3. Die analytische Linie
4. Zweige einer analytischen Linie
5. Einsiedler
6. Darstellung durch Gleichungen
7. Erweiterung des Begriffs Linie. Linie als "Bild einer Funktion"
8. Linie als "Bahn eines Punktes". Der Jordan'sche Satz
9. Linie als "Länge ohne Breite", oder als "Grenze einer Fläche"
10. Funktionsstreifen
11. Bevorzugung der analytischen Linien
12. Der Begriff Fläche
3. Analysis situs. Von M. DEHN in Münster i. W. (jetzt in Frankfurt a. M.) und P. HEEGAARD in Kopenhagen (jetzt in Christiania). (Abgeschlossen im Januar 1907.)
Einleitung.
Grundlagen.
1. Definition von Punkt-, Linien- und Flächenkomplexen
2. Indikatrix
3. Interne Transformation und Homöomorphismus (Elementarverwandtschaft)
4. Elementarmannigfaltigkeiten (Kreis und Kugel)
5. Ausdehnung auf n Dimensionen
6. Komplexe mit Singularitäten
7. Externe Transformation. Homotopie und Isotopie
8. Das Anschauungssubstrat
9. Einteilung der Analysis situs
10. Die Methode
A. Complexus.
1. Übersicht
2. Liniensy steine (Streckenkornpiexe)
3. Höhere Komplexe und die (komplektisehe) Eulersche Formel. (Bettische Zahlen, Torsionskoeffizienten)
4. Benutzung von nektischen Methoden für die Theorie höherer Komplexe
B. Nexus.
I. Nexus von Linien
II. Nexus von Flächen
1. Einleitung
2. Normalform
3. Lösung des Hauptproblems
4. Anwendungen der Normalform
a) Beweis des Neumannschea Axioms
b) Möbiussche Grundform für eine M2
c) Minimalzahl von bedeckenden Elementarflächenstücken
d) Normalformen für geschlossene Flächen
5. Fortsetzung. Rückkehr schnitte und Querschnitte und die eigentliche Eulersche Formel
6. Zusammensetzung von Flächen
7. Äquivalenz von Kurven und Flächen
8. Analytisch-geometrische Entwicklungen
C. Connexus.
I. Homotopie
II. Isotopie
A. Kurven
1. Eine Kurve (Verknotung)
2. Zwei und mehr Kurven (Verkettung)
B. Flächen und mehr-dimensionale Mannigfaltigkeiten
D. Mannigfaltigkeiten mit Singularitäten.
1. Allgemeine Probleme
2. Riemannsche Flächen
4 a. Gegensatz von synthetischer und analytischer Geometrie in seiner historischen Entwicklung im XIX. Jahrhundert. Von G. FANO in Turin. (Abgeschlossen im Mai 1907.)
I. Allgemeine Bemerkungen. Fixierung des Themas: Die Entwicklung der Geometrie im 19. Jahrhundert, von Monge beginnend.
1. Charakteristische Merkmale der beiden Geometrieen
2. Weiteres über die Grundbegriffe der analytischen Geometrie
3. Gegenseitige Beziehungen der beiden Geometrieen
4. Plan der folgenden Darstellung
5. Die Stellung von Monge
6. Die Nachfolger von Monge
II. Einsetzen der synthetischen Geometrie durch Poncelet, Möbius, Steiner, Chasles.
7. Poncelet's "Traite"
8. Möbius
9. Steiner
10. Weiterführung des Steiner'schen Programms
11. Chasles
III. Entsprechende Entwicklung der analytischen Geometrie.
12. Möbius, Plücker
IV. Von Staudt. Insbesondere Gebilde 2. Grades und Imaginärtheorie mit Erweiterungen
13. von Staudt
14. von Staudt's Imaginärtheorie
15. Weitere Ausbildung der Imaginärtheorie
16. Spätere Erweiterungen. Hyperalgebraische Gebilde und bikomplexe Elemente
17. Entsprechende analytische Entwicklungen. Bikomplexe Zahlen
18. Direkte Untersuchung der hyperalgebraischen Gebilde. Beziehung zu den Herrnite'schen Formen
V. Allgemeine Theorie der algebraischen Gebilde von zwei und drei Dimensionen.
19. Analytische Theorie der albgebraischen ebenen Kurven
20. Oberflächen im Räume
21. Raumkurven
22. Zusammenhang mit der linearen Invariantentheorie
23. Graßmann's lineale Erzeugung der Kurven und Flächen
24. Algebraisch-geometrische Theorieen. Cremona
25. Ansatz von H. Thieme
26. Aufstellung der rein synthetischen Kurventheorie durch E. Kötter
27. Untersuchungen von R. De Paolis
VI. Mehrdimensionale Algebraische Geometrie.
28. Ansätze zur analytischen Auffassung mehrdimensionaler Räume
29. Mehrdimensionale Räume veranlaßt durch Betrachtung beliebiger Raumelemente
30. Weitere Ausbildung der projektiven Auffassung
VII. Geometrie anf einem algebraischen Gebilde.
31. Heranziehen transzendenter Funktionen. Die Stellung von Clebsch
32. Geometrie auf einer algebraischen Kurve oder Fläche
VIII. Abzählende Geometrie.
33. Zweck und allgemeine Prinzipien
IX. Differentialgeometrie.
34. Exkurs über Funktionentheorie
36. Gegensatz zwischen Geometrie eines begrenzten Raumstückes und Geometrie des Gesamtraumes
36. Monge's "Application". Dupin
37. Gauß' "Disquisitiones"
38. Fortschreiten der infinitesimalen Kurven- und Flächentheorie
39. Allgemeiner Überblick über die Untersuchungen von S. Lie
X. Weitere Verallgemeinerungen des analytischen Ansatzes.
40. Der allgemeine Kurvenbegriff in analytischer Fassung
4 b. Kontinuierliche geometrische Gruppen. Die Gruppentheorie als geometrisches Einteilungsprinzip. Von G. FANO in Turin. (Abgeschlossen im Juli 1907.)
I. Transformationen. Transformationsgruppen und zugehörige Geometrien.
1. Transformationen
2. Transformationsgruppen und deren Einteilung
3. Kleins gruppentheoretische Auffassung der Geometrie. Die einer Gruppe zugehörige Invariantentheorie
4. Hauptgruppe. Elementargeometrie
5. Allgemeine projektive Gruppe. Projektive Geometrie
6. Kontinuierliche Untergruppen der allgemeinen projektiven Gruppe
7. Fortsetzung. Affine Gruppe. Affine Geometrie
8. Fortsetzung. Projektive Gruppen mit invarianten Kurven und Flächen
9. Fortsetzung. Projektive Gruppe mit invarianter M2n-1. Die Nicht-Euklidischen Geometrien
10. Beispiele projektiver Geometrien mit invarianter M2n-1. Projektive Liniengeometrie
11. Fortsetzung. Gruppe der reziproken Radien. Niedere Kugelgeometrie
12. Kontinuierliche Untergruppen der Gruppe der reziproken Eadien
13. Die Liesche Kugelgeometrie
14. Laguerres "Geometrie de direetion"
15. Berührungstransformationen. Endliche kontinuierliche Gruppen von Berührungstransformationen
16. Studys Geometrie der Elemente 2. Ordnung in der Ebene
17. Studys Gruppen der dualen und der radialen Projektivitäten
18. Die radial-projektive Geometrie
19. Fortsetzung. Projektive Abbildung der radial-projektiven Geometrie
20. Studys projektive und pseudokonforme Geometrie der Somen
21. Gruppe der Cremonaschen Transformationen
22. Endliche kontinuierliche Gruppen von Cremonaschen Transformationen und deren projektive Abbildung
23. Aufzählung einiger unendlicher Gruppen
25. Andere geometrische Gruppen. Die Analysis situs
26. Die verschiedenen Geometrien auf einer gegebenen Mannigfaltigkeit
II. (Gegenseitige Beziehung verschiedener Geometrien in gruppentheoretischer Hinsicht.
27. Geometrien mit ähnlichen Gruppen. Projektive Geometrie im binären Gebiete
28. Fortsetzung. Projektive Deutung der binären Formen auf der rationalen Normalkurve nter Ordnung
29. Ausdehnung auf beliebige lineare Systeme algebraischer Formen
30. Weitere Beispiele von Geometrien mit ähnlichen Gruppen
31. Geometrien, von deren Fundamentalgruppen die eine in der anderen als Untergruppe enthalten ist. Einordnung der Euklidischen und Nicht-Euklidischen Geometrie in die projektive
32. Fortsetzung. Einordnung der projektiven Geometrie in Geometrien mit umfassenderen Gruppen
III. Besondere Ausführungen über die Invarianten der Gruppen.
33. Allgemeines. Differentialinvarianten
34. Invariantentheorie der linearen Gruppe
36. Deutung der linearen Invariantentheorie durch die projektive Geometrie
36. Deutung der linearen Invariantentheorie durch die affine Geometrie
37. Ansatz für die analytische Behandlung einer jeden Geometrie durch ausschließliche Berücksichtigung der zugehörigen Invarianten
38. Spezielle Ausführungen für die metrische Geometrie
39. Spezielle Ausführungen betreffend projektive Geometrie
40. Spezielles über geometrische Anwendungen der Theorie der Elementarteiler
41. Ausführungen betreffend die projektive Geometrie einer quadratischen Mannigfaltigkeit von nicht verschwindender Determinante
42. Geometrie der reziproken Radien. Apollonisches Problem
5. Projektive Geometrie. Von A. SCHOENFLIES in Königsberg (jetzt in Frankfurt a. M.). (Abgeschlossen im Januar 1909.)
A. Historische Einleitung.
1. Die Zentralprojektion
2. Carnots Theorie der Transversalen
3. Das Prinzip der Kontinuität
B. Allgemeine Begriffe und Methoden.
4. Die Begründung der projektiven Denkweise durch Poncelet
5. Polarität, Reziprozität und Dualität
6. Der allgemeine Verwandtschaftsbegriff
7. Das Doppelverhältnis
8. Die Grundgebilde und ihre projektive Beziehung
9. Metrische Eigenschaften der projektiven Beziehung
10. Die Erzeugungsmethoden
11. Vereinigte Lagen projektiver Systeme
C. Besondere Probleme
12. Besondere Lagen
13. Involutorische Lagen
14. Zyklische Projektivitäten
15. Ausgeartete Projektivitäten und Korrelationen
16. Das Problem der Projektivität
D. Grundlegende Fragen.
17. Die Abtrennung der Metrik durch K. G. G. v. Staudt und der Fundamentalsatz
18. Die grundlegende Bedeutung der Schnittpunktssätze
19. Imaginäre Elemente
20. Die Antiprojektivität oder Symmetralität
21. Das Rechnen mit Würfen
22. Methodische Gesichtspunkte
E. Die Projektiyitäten als Operationseffekte.
23. Das Rechnen mit Verwandtschaften
24. Büschel, Netze usw. von Verwandtschaften
F. Anhang.
26. Die trilineare einstufige Beziehung
26. Die einfachsten quadratischen Verwandtschaften
5 a. Konfigurationen der projektiven Geometrie. Von ERNST STEINITZ in Berlin (jetzt in Kiel). (Abgeschlossen im April 1910.)
1. Definitionen
2. Historisches. Reyes Problem der Konfigurationen. Untersuchungsmethoden
3. Schematische Bildungsweise der ebenen Konfigurationen nS
4. Geometrische Eigenschaften der Konfigurationen nS
5. Ebene Konfigurationen auf Kurven dritter Ordnung
6. Konfigurationen von Punkten und Ebenen
7. Kombinatorische Konfigurationen
8. Die Reyesche Konfiguration und einige verwandte Konfigurationen
9. Die Gruppe der Reyeschen Konfiguration. Beziehungen zur elliptischen Geometrie und zum 24-Zell des R4
10. Die Konfiguration von Hess
11. Die Kummersche Konfiguration
12. Die Kleinsche Konfiguration und Gruppe
13. Konfigurationen aus endlichen Kollineationsgruppen: binäres Gebiet
14. Konfigurationen aus endlichen Kollineationsgruppen: ternäres Gebiet
15. Konfigurationen aus endlichen Kollineationsgruppen: quaternäres Gebiet
6. Darstellende Geometrie. Von E. PAPPERITZ in Freiberg (Sa.). (Abgeschlossen im Juli 1909.)
I. Ziele, Grundlagen und Methoden.
1. Geometrische Zeichen- und Bildersprache. Bestimmung der Lage, Gestalt und Größe der Gebilde
2. Korrespondenz zwischen Begriff und Zeichen. Original und Bild
3. Die darstellende Geometrie als angewandte und als deduktive mathematische Wissenschaft
4. Die graphischen Charaktere
5. Die Entstehung und die Darstellung geometrischer Gebilde
6. Das Konstruieren
7. Postulate der Konstruktion
8. Die Werkzeuge des Geometers
9. Die Einfachheit graphischer Konstruktionen. Operationssysteme. Geoetrographie
10. Die Genauigkeit graphischer Konstruktionen Fehlertheorie
11. Projizieren und Durchdringen. Sehprozeß und Schattenbildung.
12. Einteilung der Darstellungsmethoden
13. Hilfsverfahren und Transformationen
14. Nomenklatur. Bezeichnungsweise. Zeichnerische Regeln
II. Geometrisches Darstellungsrerfahren vor Monge.
15. Darstellungsverfahren im Altertum. Die Rißkunst des Mittelalters
16. Die malerische Perspektive von der Renaissance bis zum Ende des 16. Jahrhunderts
17. Dürers "Unterweisung"
18. Die axonometrische Perspektive bei Desargues und seinen Zeitgenossen
19. Die freie Perspektive bei Stevin, Gravesande, Taylor und Lambert
20. Die Weiterentwicklung der Rißkunst an den Aufgaben des Steinschnittes durch Frezier
III. Begründung eines wissenschaftlichen Systems.
21. Monges "Géometrié descriptive"
22. Die Prinzipien der darstellenden Geometrie
23. Die Erzeugung krummer Flächen. Theorie der Raumkurven
24. Der Aufgabenbereich
25. Lacroix, Monges Rivale
26. Monges Schule
27. Die Nachwirkung der Ideen Monges
IV. Neuere Entwicklung der Darstellungsmethoden.
28. Die Geometrie der Lage
29. Die Kollinearverwandtschaften
30. Die organische Verbindung der darstellenden Geometrie mit der Geometrie der Lage
31. Die orthogonale axonometrische Projektion
32. Die freie und axonometrisohe schiefe Projektion
33. Die freie und angewandte Perspektive
34. Die plastische Perspektive
36. Die Schatten- und Beleuchtungstheorie
V. Besondere deskriptive Aufgaben und Methoden.
36. Polyeder
37. Kurven und Flächen 2. Ordnung. Durchdringungen
38. Geometrie der Bewegung. Rollkurven. Verzahnungstheorie
39. Rotationsflächen
40. Schraubengebilde
41. Abwickelbare und windschiefe Regelflächen, Bahn- und Hüllflächen
42. Krümmung der Kurven und Flächen
43. Kotierte Projektion und Topographie. Stereographische und Kartenprojektion
44. Photogrammetrie
46. Abbildungen im weiteren Sinne
7. Die verschiedenen Koordinatensysteme. Von E. MÜLLER in Wien. (Abgeschlossen im Juli 1910)
Einleitung.
1. Allgemeiner Begriff und Zweck der Koordinaten. Einteilungsprinzipe
I. Punktkoordinaten.
2. Parallelkoordinaten (Cartesische Koordinaten) in der Ebene
3. Parallelkoordinaten im Baum. Begriff des w-dimensionalen Raumes
4. Allgemeine Punktkoordinaten (krummlinige Koordinaten)
5. Lineare Punktkoordinaten im allgemeinen
6. Besondere Arten linearer Punktkoordinaten
7. Minimalkoordinaten
8. Nichtlineare projektive Punktkoordinaten
9. Polarkoordinaten
a) In der Ebene
b) Im Raum
10. Polysphärische Koordinaten und ihre Analoga in der Ebene, in der Geraden und im Rnn
11. Koordinaten in bezug auf eine Normkurve
12. Allgemeine elliptische Koordinaten
13. Spezielle elliptische Koordinaten
14. Parabolische Koordinaten
15. Projektive Verallgemeinerung der elliptischen Koordinaten. Anwendungen
16. Zyklidische Koordinaten
17. Sonstige Punktkoordinaten
II. Koordinaten von algebraischen Flächen, Linien in der Ebene und Punktgruppen in der Geraden (allgemein: Mmn-1 im Rn).
18. Allgemeines
19. Plückersche Ebenenkoordinaten und Linienkoordinaten in der Ebene
20. Allgemeine Ebenenkoordinaten
21. Lineare Ebenenkoordinaten im allgemeinen
22. Besondere Arten linearer Ebenenkoordinaten und Linienkoordinaten in der Ebene
23. Sonstige Ebenenkoordinaten und Linienkoordinaten in der Ebene
24. Pentasphärische Kugelkoordinaten und ihre Analoga
25. Hexaspharische Kugelkoordinaten und ihre Analoga; Komplexkoordinaten
26. Koordinaten von algebraischen Flächen, Kurven in der Ebene und Punktgruppen in der Geraden
III. Koordinaten yon Linien im Baum (allgemein: von Mmr im Rn, r < n Â? 1).
27. Plückersche Linienkoordinaten
28. Gewindekoordinaten, Kleinsche Linienkoordinaten
29. Sonstige Linienkoordinaten
30. RS- Koordinaten im Rn. Koordinaten von Kreisen und Punktepaaren im R3
IV. Koordinaten von Gebilden auf einer Kurve oder Fläche (in einer nichtlinearen Mannigfaltigkeit).
31. Allgemeines
32. Koordinaten auf der Kugelfläche (Sphärische Koordinaten)
33. Koordinaten auf einer Fläche zweiter Ordnung
34. Natürliche Koordinaten
35. Koordinaten sonstiger Elemente
V. Koordinatentransformation.
36. Allgemeines
37. Lineare, insbesondere orthogonale Transformationen