関数解析

まえがき
目次
第1章　位相的基礎概念
1.0 本書で用いる基本的な記号
1.1 距離空間の位相
1.1.1 距離空間の定義と例
1.1.2 距離空間における諸概念
1.1.3 写像の連続性
1.1.4 コンパクト性，完備性
1.2 一般位相空間
1.2.1 一般的な位相の導入
1.2.2 写像の連続性
1.2.3 コンパクト性
1.2.4 連結性
1.2.5 有向族による記述
1.2.6 新しい位相空間の構成
1.2.7 フィルターと超フィルター
1.2.8 一様位相空間
1.3 選択公理とZornの補題
1.3.1 概説
1.3.2 選択公理とZornの補題の同値性
第2章　Banach空間の基礎理論
2.1 ノルム空間
2.1.1 定義と例
2.1.2 新しいノルム空間の構成
2.2 Banach空間の定義と例
2.3 Baireのカテゴリー定理
2.3.1 Baireのカテゴリーとカテゴリー定理
2.3.2 Baireのカテゴリー定理の応用
2.4 有界線型作用素
2.5 一様有界性定理
2.6 開写像定理と閉グラフ定理
2.7 共役空間とその表現
2.8 Hahn-Banachの拡張定理
2.8.1 Hahn-Banachの拡張定理
2.8.2 Hahn-Banachの拡張定理の応用
2.9 Hahn-Banachの分離定理
2.9.1 超平面，Minkowskiゲージ，分離定理
2.9.2 簡単な応用と反例
2.9.3 応用：Krein-Milmanの定理，Min-Max定理
2.10 弱位相，汎弱位相
2.10.1 弱位相，汎弱位相の定義と基本性質
2.10.2 反射性と弱コンパクト性
2.10.3 Banach空間と連続関数空間
第3章　Banach空間上の作用素論
3.1 作用素のスペクトル
3.1.1 スペクトルとリゾルベントの基本性質
3.1.2 スペクトルの分類
3.1.3 共役作用素とスペクトル
3.2 コンパクト作用素の理論
3.2.1 有限次元ノルム空間
3.2.2 コンパクト作用素
3.2.3 Fredholm-Riesz-Schauderの理論
3.2.4 コンパクト性に関わる諸結果
3.3 非有界作用素
3.3.1 閉作用素の定義と例
3.3.2 閉作用素のスペクトル
3.3.3 擬リゾルベント(pseudo-resolvent)
3.4 Banach空間値の微積分と作用素論への応用
3.4.1 1実変数連続関数の微積分
3.4.2 Banach空間値複素解析関数とDunford積分
3.4.3 Bochner積分
第4章　Hilbert空間とその上の作用素
4.1 Hilbert空間の定義と例
4.1.1 内積空間とそのノルム
4.1.2 内積空間，Hilbert空間の例
4.1.3 ノルム空間の中での，内積空間の特徴付け
4.2 直交性，射影定理
4.2.1 直交性，射影定理から直交直和分解へ
4.2.2 完全正規直交系の存在とその応用
4.3 Rieszの表現定理とその応用
4.3.1 Rieszの表現定理
4.3.2 formと作用素
4.3.3 変分問題への応用
4.4 自己共役作用素の構造
4.4.1 自己共役作用素のスペクトルとノルム
4.4.2 コンパクトな自己共役作用素のスペクトル分解
4.4.3 自己共役作用素の順序とその応用
4.4.4 有界自己共役作用素のスペクトル分解
4.4.5 スペクトル分解の第2の表現
4.5 連続対称核積分作用素のHilbert-Schmidt理論
第5章　関数解析の展開
5.1 汎弱閉集合，弱コンパクト集合に関する基本定理
5.1.1 凸集合の汎弱閉性の判定条件
5.1.2 弱コンパクト性の判定条件：Eberlein-Šmulianの定理
5.1.3 弱コンパクト集合の閉凸包：Kreinの定理
5.2 局所凸位相線型空間
5.2.1 定義と距離付け可能性
5.2.2 Fréchet空間に対する基本定理
5.2.3 ノルム空間における概念の分化と一般化
5.2.4 共役空間
5.2.5 (ℒℱ)空間
第6章　関数空間の基礎
6.1 L^p空間，Sobolev空間と連続関数空間
6.1.1 Lebesgue測度の正則性とその結果
6.1.2 合成積と軟化子(mollifier)
6.2 L^p空間の双対性(duality)
6.3 Riesz-Thorinの補間定理
6.4 L^p空間に関する補足事項
第7章　解析学の基礎事項
7.1 Lebesgue積分の概要
7.1.1 測度の定義
7.1.2 Lebesgue積分の定義
7.1.3 Lebesgue積分での諸定理
7.2 連続関数の存在定理：Uryson, Tietzeの定理など
7.2.1 正規空間上の連続関数
7.2.2 局所有限開被覆に関する1の分解
7.2.3 パラコンパクト空間
7.3 Riesz-Markov-角谷の表現定理
7.4 Stone-Weierstrassの定理
7.5 Fourier変換の基礎事項
あとがき
参考文献
[23]
[43]
[59]
索引
【記号】
ABC
DEFGHIKLM
NOPQRS
TUWあいうえお
かきくけ
こさしす
せそたち
つてとなのはひふ
へほまみめもゆよりるれ
わ