Dieses Lehrbuch verknüpft die mathematischen Grundlagen der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie mit zahlreichen Anwendungsgebieten aus Physik und Astronomie. Neben der Diskussion von klassischen Experimenten, welche die Vorhersagen der Relativitätstheorie bestätigen, wird ein Fokus auf die Kosmologie als Anwendung der Relativitätstheorie gesetzt. Die Behandlung der Physik kompakter stellarer Objekte, d. h. von weißen Zwergen, Neutronensternen und Schwarzen Löchern, mit einem kurzen Abschnitt zur Entstehung und Entwicklung von Sternen runden die Darstellung ab.
Einen besonderen Schwerpunkt legen die Autoren auf die relativistische Visualisierung. In zwei Kapiteln bekommt der Leser einen Überblick über verschiedene Techniken in der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie. Anhand von Beispielen können die der Alltagserfahrung scheinbar widersprechenden Vorhersagen der Relativitätstheorie besser fassbar gemacht werden. Die daraus gewonnenen Abbildungen und begleitenden Videos, die über die SN More Media App zugänglich sind, erweitern das Verständnis der im Text behandelten Themen.
In der vorliegenden zweiten Auflage haben die Autoren vor allem neuere Entwicklungen (z.B. zum Thema Gravitationswellen) aufgenommen und zudem viele kleinere Verbesserungen und Ergänzungen vorgenommen.
Author(s): Sebastian Boblest, Thomas Müller, Günter Wunner
Series: Springer Spektrum Lehrbuch
Edition: 2
Publisher: Springer-Verlag GmbH Deutschland
Year: 2022
Language: German
Pages: 591
City: Berlin, Germany
Tags: Relativitätstheorie, Lorentz-Transformation, Relativistische Mechanik, Elektrodynamik, Riemann'sche Geometrie, Feldgleichungen, Schwarzschild-Metrik, Kerr-Metrik, Gravitationswellen, Stern, weißer Zwerg, Neutronenstern, Kosmologie
Vorwort zur 2. Auflage
Vorwort zur 1. Auflage
Erläuterungen zum Titelbild
Anmerkungen zur Notation
Die Autoren
Abkürzungsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Tabellenverzeichnis
1: Einführung
1.1 Überblick
1.2 Licht und Lichtgeschwindigkeit
1.3 Kurzer Abriss der Elektrodynamik
1.4 Kurzer Abriss der Newton’schen Gravitationstheorie
1.4.1 Äquivalenzprinzip
1.4.2 Schwarzschild-Radius
1.4.3 Gravitative Bindungsenergie
1.4.4 Kosmische Geschwindigkeiten
Relativistische Fluchtgeschwindigkeiten
Schwarze Löcher
1.5 Astrophysikalische Grundlagen
1.5.1 Kleiner Überblick über unser Sonnensystem
Sonne
Planeten des Sonnensystems
Kepler‘sche Gesetze
1.5.2 Längeneinheiten in der Astronomie und Astrophysik
1.5.3 Helligkeit von Sternen
1.5.4 Sternenhimmel im Jahresverlauf
Entstehung der Jahreszeiten
Scheinbarer Lauf der Sonne
Sichtbarkeit von Sternen
1.5.5 Aberration von Sternlicht
1.5.6 Entfernungsbestimmung auf astronomischen Skalen
Radarmessungen innerhalb des Sonnensystems
Parallaxenmethode
Entfernungsbestimmung anhand der Helligkeit
1.5.7 Koordinatensysteme
Horizontsystem
Äquatorsystem
Ekliptikalsystem
Galaktisches System
Störungen der Koordinaten
1.6 Übungsaufgaben
1.6.1 Foucault‘scher Drehspiegel
1.6.2 Gravitationspotential in einer Hohlkugel
1.6.3 Gravitation und Coulomb-Kraft im Wasserstoffatom
1.6.4 Schwarzes Loch aus Wasser
Literatur
Teil I: Spezielle Relativitätstheorie
2: Weg zur speziellen Relativitätstheorie
2.1 Modell der Lichtausbreitung im 19. Jahrhundert
2.2 Michelson-Morley-Experiment
2.3 Fizeau-Versuch zur Äthermitbewegung
2.4 Relativitätsprinzip und Inertialsysteme
Literatur
3: Lorentz-Transformation
3.1 Transformation zwischen Bezugssystemen
3.2 Motivation der Lorentz-Transformation
3.3 Matrixdarstellung
3.3.1 Spezielle Lorentz-Transformationen
3.3.2 Vergleich mit der Galilei-Transformation
3.3.3 Rapidität
3.3.4 Hintereinanderschaltung von Lorentz-Transformationen
3.4 Additionstheorem der Geschwindigkeit
3.4.1 Geschwindigkeitsaddition und Rapidität
3.4.2 Addition nicht paralleler Geschwindigkeiten
3.5 Minkowski-Diagramm
3.6 Übungsaufgaben
3.6.1 Galilei-Invarianz der Newton’schen Bewegungsgleichungen
3.6.2 Geschwindigkeitsadditionstheorem und der Fizeau-Versuch
3.6.3 Geschwindigkeitsadditionstheorem bei Verwendung der Rapidität
Literatur
4: Physikalische Folgen der Lorentz-Invarianz
4.1 Verlust der Gleichzeitigkeit
4.2 Lorentz-Kontraktion bewegter Maßstäbe
4.3 Bewegte Uhren: Zeitdilatation
4.4 Paradoxa der SRT
4.4.1 Das Stab-Rahmen-Paradoxon
4.4.2 Das Uhrenparadoxon
4.4.3 Das Zwillingsparadoxon
4.5 Übungsaufgaben
4.5.1 Das „Myonenparadoxon“
Literatur
5: Mathematischer Formalismus der SRT
5.1 Minkowski-Raum
5.1.1 Definition des Minkowski-Raumes
5.1.2 Definition der Lorentz-Transformation
5.2 Kontra- und kovariante Vektoren
5.2.1 Transformationsverhalten der Differentiale und Koordinatenableitungen
5.2.2 Tensoralgebra
5.2.3 Tensoreigenschaft des Differentialoperators
5.2.4 Eigenzeit
6: Relativistische Mechanik
6.1 Vierergeschwindigkeit
6.2 Viererbeschleunigung
6.3 Viererimpuls
6.4 Viererkraft
6.5 Kräftefreie Bewegung
6.6 Relativistische Energie
6.6.1 Äquivalenz von Masse und Energie
6.6.2 Photonen und der Compton-Effekt
6.6.3 Weitere Beispiele
6.7 Reise mit konstanter Beschleunigung
6.7.1 Bewegungsgleichungen
Betrachtung aus Sicht des Raumfahrers
6.7.2 Anwendung auf das Zwillingsparadoxon
6.8 Relativistische Kreisbahn
6.9 Übungsaufgaben
6.9.1 Rundreise auf Kreisbahn (für motivierte Rechner)
6.9.2 Relativistische Beschleunigung
Literatur
7: Kovariante Formulierung der Elektrodynamik
7.1 Potentiale in der klassischen Elektrodynamik
7.2 Formulierung mit Viererpotential
7.2.1 Wellengleichung
7.3 Formulierung mit dem Feldstärketensor
7.3.1 Feldstärketensor
7.3.2 Dualer Feldstärketensor
7.3.3 Erste Schlussfolgerungen
7.3.4 Kovariante Form der Maxwell-Gleichungen
7.4 Wechsel des Bezugssystems
7.5 Feld einer bewegten Punktladung
7.6 Kovariante Form der Lorentz-Kraft
7.7 Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes
7.7.1 Einführung des Energie-Impuls-Tensors
7.7.2 Interpretation des Energie-Impuls-Tensors
Betrachtung im Vakuum
Ausblick auf die ART
7.8 Übungsaufgaben
7.8.1 Feldtransformation bei allgemeinem Boost
Literatur
8: Visuelle Effekte bei hohen Geschwindigkeiten
8.1 Relativistischer Dopplereffekt
8.1.1 Elektromagnetische Wellen im Vakuum
8.1.2 Transformation des Viererwellenvektors
8.1.3 Dopplereffekt und Aberration
Longitudinaler und transversaler Dopplereffekt
Aberration
8.2 Ewig konstant beschleunigte Rakete
8.2.1 Nachrichten von der Erde an den Raumfahrer
8.2.2 Nachrichten vom Raumfahrer an die Erde
8.2.3 Aussehen des Sternenhimmels
8.3 Aussehen schnell bewegter Objekte
8.4 Übungsaufgaben
8.4.1 Dopplerverschiebung von Spektrallinien
Literatur
9: Visualisierung in der SRT
9.1 Visualisierungstechniken
9.1.1 Bildbasierte Methode
9.1.2 Polygon Rendering
9.1.3 Ray Tracing
9.1.4 Weitere Verfahren
9.2 Anwendungen der Visualisierungstechniken
9.2.1 Bildbasierte Methode
9.2.2 Polygon Rendering
9.2.3 Scheinbare Rotation eines Würfels
9.2.4 Kugelsilhouette bleibt kreisförmig
Literatur
Teil II: Allgemeine Relativitätstheorie
10: Äquivalenzprinzip als Basis der ART
10.1 Träge Masse
10.2 Schwere Masse
10.3 Fallexperimente
10.3.1 Beschleunigtes Labor
10.3.2 Ruhendes Labor
10.4 Lichtablenkung im Schwerefeld
10.5 Mathematische Bedeutung des Äquivalenzprinzips
10.6 Übungsaufgaben
10.6.1 Inhomogene Gravitationsfelder
10.6.2 Lichtablenkung im konstant fallenden Labor
Literatur
11: Riemann'sche Geometrie
11.1 Riemann'sche Räume
11.1.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
11.1.2 Definition des Riemann'schen Raumes
11.1.3 Tangentialraum und Kotangentialraum
11.2 Tensorrechnung in der ART
11.2.1 Kontra- und Kovariante Tensoren
11.2.2 Tensoren höherer Stufe
11.2.3 Linearformen
11.2.4 Metrischer Tensor
Zwei- und dreidimensionaler euklidischer Raum
Oberfläche der Einheitskugel
11.2.5 Lokale Tetrade
11.2.6 Volumenelement
11.2.7 Parallelverschiebung und affine Zusammenhänge
Parallelverschiebung im zweidimensionalen euklidischen Raum
Verallgemeinerung auf beliebige Koordinaten
Transformationsverhalten der Christoffel-Symbole
11.2.8 Kovariante Ableitung
Mehrfache kovariante Ableitung
Divergenz und Rotation
11.3 Raumkrümmung
11.3.1 Krümmung bekannter Flächen
Flache Räume
Kugeloberfläche
11.3.2 Krümmungstensor
Herleitung über Parallelverschiebung
Formale Definition des Krümmungstensors
Symmetrien des Krümmungstensors
Ricci-Tensor und Krümmungsskalar
Bianchi-Identität
Weyl-Tensor
11.3.3 Isometrien und Killing-Vektoren
11.3.4 Trägheitssatz von Sylvester
11.4 Bewegung in gekrümmten Räumen
11.4.1 Geodätengleichung
11.4.2 Euler-Lagrange-Formalismus
11.4.3 Parallel- und Fermi-Walker-Transport
11.5 Übungsaufgaben
11.5.1 Bestimmung der Übergangskoeffizienten
11.5.2 Kreisbahn in der SRT
11.5.3 Beschleunigung in der Schwarzschild-Raumzeit
Literatur
12: Einstein'sche Feldgleichungen
12.1 Nichtrelativistischer Grenzfall
12.2 Formulierung der Feldgleichungen
12.2.1 Energie-Impuls-Tensor
12.2.2 Ricci-Tensor in Schwachfeldnäherung
12.2.3 Bestimmung der Feldgleichungen
12.2.4 Formulierungen der Feldgleichungen
Literatur
13: Schwarzschild-Metrik
13.1 Herleitung der Schwarzschild-Metrik
13.2 Eigenschaften der Schwarzschild-Metrik
13.2.1 Singularitäten
13.2.2 Messung der Radialkoordinate
13.2.3 Radialabstand von Punkten
13.2.4 Bedeutung der Koordinatenzeit
13.2.5 Radiale lichtartige Geodäten
13.2.6 Photonenorbit in der Schwarzschild-Metrik
13.2.7 Qualitatives Verhalten von Geodäten
Lichtartige Geodäten
Zeitartige Geodäten
13.2.8 Einstein-Ring
13.3 Schwarze Löcher
13.3.1 Freier Fall auf ein Schwarzes Loch
Mitfallender Beobachter
Weit entfernter Beobachter
13.3.2 Erweiterung der Schwarzschild-Metrik
Eddington-Finkelstein-Koordinaten
Kruskal-Szekeres-Koordinaten
13.4 Tests der ART in der Schwarzschild-Metrik
13.4.1 Gravitative Frequenzverschiebung
13.4.2 Periheldrehung
Aufstellen der Bewegungsgleichungen
Behandlung mit klassischer Störungstheorie
13.4.3 Lichtablenkung im Gravitationsfeld
Untersuchung analog zur Periheldrehung
Resultat in Newton'scher Theorie
Isotrope Schwarzschild-Metrik
Lichtablenkung außerhalb des Sonnensystems
13.4.4 Laufzeitverzögerung
Neuere Messung mit Hilfe der Cassini-Raumsonde
13.4.5 Geodätische Präzession
13.4.6 Global Positioning System
13.5 Das massereiche Schwarze Loch im Zentrum der Milchstraße
13.6 Übungsaufgaben
13.6.1 Dopplereffekt beim Pound-Rebka-Experiment
13.6.2 Zeitdifferenzen bei GPS
13.6.3 Geschwindigkeit des frei fallenden Beobachters
13.6.4 Geodätische Präzession
Literatur
14: Kerr-Metrik und Nachweis eines Kerr-Schwarzen-Lochs
14.1 Horizont und Ergosphäre
14.2 Lokale Tetraden
14.3 Qualitatives Verhalten von Geodäten
14.3.1 Lichtartige Geodäten
14.3.2 Zeitartige Kreisbahnen
14.4 Nachweis eines supermassereichen Kerr-Schwarzen-Lochs
14.4.1 Das Event-Horizon-Teleskop: Aufbau und Anordnung der Instrumente
14.4.2 Das Bild des Schwarzen Lochs im Zentrum der Galaxie M87
14.5 Übungsaufgaben
14.5.1 Werte des Drehimpulsparameters
Literatur
15: Gravitationswellen
15.1 Linearisierung der Feldgleichungen
15.1.1 Transformation auf harmonische Koordinaten
15.1.2 Lösung der linearisierten Feldgleichungen
15.2 Teilchen im Feld einer Gravitationswelle
15.3 Quadrupolnäherung
15.4 Energieabstrahlung durch Gravitationswellen
15.4.1 Abgestrahlte Leistung
15.4.2 Annäherung der Systempartner, Chirp-Masse
15.4.3 Abschätzung der Amplitude der Gravitationswelle
15.5 Das Laser-Interferometer-Gravitationswellen-Observatorium (LIGO)
15.5.1 Die LIGO-Detektoren
15.5.2 Erster direkter Nachweis eines Gravitationswellen-Ereignisses
15.5.3 Weitere Gravitationswellen-Beobachtungen
15.5.4 Verschmelzen von zwei Neutronensternen
15.6 Nachweis von Gravitationswellen mit Pulsaren
15.7 Ausblick
Literatur
16: Visualisierung in der ART
16.1 Abstrakte Visualisierung in der ART
16.1.1 Licht- und zeitartige Geodäten
16.1.2 Einbettungsdiagramm
16.1.3 Penrose-Carter-Diagramm
Minkowski-Raumzeit
Schwarzschild-Raumzeit
16.2 Allgemein-relativistisches Ray Tracing
16.2.1 Schatten eines Schwarzen Lochs
16.2.2 Fall auf ein Schwarzes Loch
16.2.3 Stern auf Kreisorbit um Schwarzes Loch
Fixierter Stern
Kreisender Stern
16.2.4 Akkretionsscheibe
16.3 Interaktive Visualisierung in der ART
16.3.1 Massive Parallelisierung via CPU- oder GPU-Cluster
16.3.2 Tabellierung von Geodäten
16.3.3 Verwendung analytischer Geodäten
Literatur
Teil III: Sternentwicklung
17: Sternentstehung
17.1 Virialsatz
17.2 Jeans-Kriterium für die Kontraktion
17.3 Übungsaufgaben
17.3.1 Virialsatz im harmonischen Potential
Literatur
18: Innere Struktur von Sternen
18.1 Hydrostatisches Gleichgewicht
18.2 Physikalische Bedingungen in Sternen
18.3 Zustandsgleichung für Sternmaterie
18.4 Entartetes Elektronengas
18.4.1 Anschauliche Interpretation des Entartungsdrucks
18.4.2 Voll entartetes ideales Fermigas
18.5 Zusammenfassung
Literatur
19: Energieproduktion in Sternen
19.1 Kernfusion als Energiequelle
19.2 Voraussetzungen für Fusionsprozesse
19.2.1 Geschwindigkeitsverteilung der Nukleonen
19.2.2 Tunneleffekt
19.3 Bestimmung von Reaktionsraten
19.4 Fusion von Wasserstoff
19.4.1 Proton-Proton-Kette
19.4.2 Bethe-Weizsäcker-Zyklus
19.4.3 Dauer der Wasserstoffbrennphase
19.5 Kernfusion nach dem Wasserstoffbrennen
19.5.1 Heliumbrennphase
19.5.2 Spätere Fusionsphasen
19.6 Entstehung schwerer Elemente
19.6.1 s-Prozess
19.6.2 r-Prozess
19.7 Neutrinooszillationen
Literatur
20: Weiße Zwerge
20.1 Qualitative Betrachtung
20.2 Numerisches Lösen der Zustandsgleichung
20.3 Korrekturen der Zustandsgleichung
20.4 Typ Ia Supernovae
20.5 Erhaltungsgrößen beim Kollaps
20.5.1 Drehimpulserhaltung
20.5.2 Erhaltung des magnetischen Flusses
20.6 Übungsaufgaben
20.6.1 Masse-Radius-Beziehung für weiße Zwerge
Literatur
21: Neutronensterne
21.1 Entstehung von Neutronensternen
21.2 Radien von Neutronensternen
21.3 Rotationsperioden und Magnetfelder
21.4 Masse-Radius-Beziehung für Neutronensterne
21.4.1 Hydrostatisches Gleichgewicht in relativistischer Form
21.4.2 Relativistische Einflüsse auf die Beobachtung von Neutronensternen
21.4.3 Neutronensternmodelle für Zustandsgleichungen
21.4.4 Zwischen weißen Zwergen und Neutronensternen
21.4.5 Dichten jenseits der Neutronensterne
21.5 Pulsare
21.5.1 Röntgenpulsar Hercules X-1
21.5.2 Präzisionstests der ART an Pulsarbinärsystemen
21.6 Ergänzung: Die Masse-Radius-Beziehung von Monden und Planeten
21.7 Übungsaufgaben
21.7.1 TOV-Gleichung für konstante Dichte
21.7.2 Millisekundenpulsar
Literatur
22: Klassifizierung von Sternen
22.1 Hertzsprung-Russell-Diagramm
22.2 Evolution von Sternen
Literatur
Teil IV: Kosmologie
23: Hinführung zur Kosmologie
23.1 Überblick
23.2 Olbers’ Paradoxon
23.3 Edwin Hubbles Entdeckungen
23.3.1 Entdeckung anderer Galaxien
23.3.2 Entfernungsabhängige Rotverschiebung
Literatur
24: Modellannahmen zur Struktur des Universums
24.1 Homogenität und Isotropie des Universums
24.2 Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik
24.2.1 Existenz einer universellen Zeit
24.2.2 Homogene und isotrope Räume
Euklidische Ebene
Metrik der Kugeloberfläche
Metrik der Pseudosphäre
24.2.3 FLRW-Raumzeit
24.3 Übungsaufgaben
24.3.1 FLRW-Metrik in konform-euklidischen Koordinaten
Literatur
25: Feldgleichungen für die FLRW-Metrik
25.1 Ricci-Tensor der FLRW-Metrik
25.2 Energie-Impuls-Tensor der Materie
25.3 Friedmann-Gleichung für das Materieuniversum
25.4 Qualitative Betrachtung der Friedmann-Gleichung
25.4.1 ,,Energiebilanz“ in der Friedmann-Gleichung
25.4.2 Newton'sche Analogie zur Friedmann-Gleichung
25.5 Skalenfaktoren für Materieuniversen
25.5.1 Verschwindende Krümmung
25.5.2 Positive Krümmung
25.5.3 Negative Krümmung
Literatur
26: Allgemeine Energieformen
26.1 Umformulierung der Friedmann-Gleichung
26.2 Verallgemeinerter Energie-Impuls-Tensor
26.3 Zustandsgleichungen für den Druck
26.4 Dunkle Materie
26.5 Strahlungsenergiedichte
26.6 Einsteins kosmologisches Glied
26.7 Friedmann-Lemaître-Gleichung
26.7.1 Skalenfaktorabhängigkeit der Energiedichten
26.7.2 Aufstellung der Gleichungen
26.7.3 Qualitative Betrachtung im Potentialbild
26.7.4 Formulierung mit Energiedichteanteilen
26.7.5 Flaches Strahlungsuniversum
26.7.6 Flaches Λ-Universum
26.7.7 Flaches (Ωr0-Ωm0)-Modell
26.7.8 Flaches (Ωm0-ΩΛ0)-Modell
26.7.9 Flaches (Ωr0-ΩΛ0)-Modell
26.7.10 Modelle mit Krümmung
Strahlung und Krümmung
Materie und Krümmung
Kosmologische Konstante und Krümmung
Strahlung, kosmologische Konstante und Krümmung
26.7.11 Andere Modelle
26.8 Übungsaufgaben
26.8.1 Big-Rip-Modelle
26.8.2 Ereignishorizont der De-Sitter-Metrik
26.8.3 Details zum Modell mit Strahlung, kosmologischer Konstante und Krümmung
Literatur
27: Überlegungen zur kosmologischen Beobachtung
27.1 Linearisierung des Skalenfaktors
27.2 Entfernungen auf kosmologischen Skalen
27.3 Eigendistanz zwischen Objekten
27.4 Kosmologische Rotverschiebung
27.4.1 Interpretation als Dopplereffekt
27.4.2 Interpretation als Effekt der Raumdehnung
27.4.3 Rotverschiebung im flachen (Ωm0-ΩΛ0)-Modell
27.5 Entfernungsbestimmung in der Kosmologie
27.6 Helligkeits-Rotverschiebungs-Beziehung
27.7 Korrekturen der Helligkeits- Rotverschiebungs-Beziehung
Literatur
28: SN Ia als Standardkerzen für das junge Universum
28.1 Aufklärung der Dynamik des Universums
28.2 Ergebnisse der Messungen an SN Ia
Literatur
29: Kosmische Mikrowellenhintergrundstrahlung
29.1 Spektrum des CMB
29.2 Anisotropien im CMB
29.2.1 Nachweis der Anisotropie des CMB
29.2.2 Statistische Analyse der Anisotropien
29.2.3 Das Winkelleistungsspektrum
29.2.4 Sachs-Wolfe-Effekt
29.2.5 Akustische Oszillationen
Wellenphänomene in Fluiden
,,Jeans-Swindle“
29.2.6 Akustische Oszillationen des PBF
29.2.7 Silk-Dämpfung
29.2.8 Kosmologische Parameter
29.3 Die Hubble-Kontroverse
29.4 Polarisation des Mikrowellenhintergrunds und Inflation
29.5 Übungsaufgaben
29.5.1 Dipol-Anisotropie der Hintergrundstrahlung
Literatur
30: Die ersten Momente
30.1 Auswirkung von Quanteneffekten
30.2 Inflation
30.2.1 Flachheitsproblem
30.2.2 Horizontproblem
30.2.3 Monopolproblem
30.2.4 Inflationäres Universum
30.3 Schlussbemerkungen
30.4 Übungsaufgaben
30.4.1 Bedeutung der Planck-Ladung
30.4.2 Homogenität des CMB
Literatur
A Zahlenwerte und Konstanten
Stichwortverzeichnis
