A Teoria da Relatividade reformulou não apenas os paradigmas da física, mas os paradigmas da matemática. A descoberta das geometrias não-euclidianas, como a de Lobachevsky, levaram os pesquisadores do século XIX, a buscarem teorias físicas alternativas que incluíam essas geometrias e a questionar qual seria a geometria do nosso universo. O emérito matemático Henri Poincaré, deu importantes contribuições nesse campo e declarou que não existe uma geometria mais verdadeira que a outra, apenas uma geometria mais cômoda. Essas ideias, que compõe uma doutrina da física e da matemática chamada de Convencionalismo, levariam Poincaré e Einstein a formularem o Princípio da Relatividade. Embora Poincaré acreditasse que a geometria mais cômoda sempre seria a euclidiana, devido à nossa experiência diária, o próprio Poincaré e, posteriormente, Minkowski, mostraram que a geometria mais cômoda do espaço-tempo é a geometria hiperbólica.
A análise dessa variedade levou a criação do estudo dos espaços pseudo-métricos. Pseudo porque as noções usuais de norma, distância e desigualdade de Schwarz não se aplicam de forma convencional, por isso dizemos que o espaço-tempo de Poincaré- Minkowski é um espaço pseudo-euclidiano. Atualmente, a análise dessas variedades permite extrair propriedades gerais e que sobre condições particulares geram o espaço-tempo de Poincaré- Minkowski. Registre que esse é um caso em que os desenvolvimentos da física levaram aos matemáticos buscarem uma descrição abstrata da nova estrutura.
Nesse livro, buscamos caracterizar matematicamente o espaço-tempo sobre o qual se desenrola a física relativística, instrumentalizando o leitor para tratar problemas físico-matemáticos que surgem no desenvolvimento e no estudo da Relatividade.
Author(s): Ayni R. Capiberibe
Series: O Princípio da Relatividade
Edition: 1º
Publisher: Alrisha
Year: 2020
Language: Portuguese
Pages: 440
City: Campo Grande
PREÂMBULO .............................................................................. 10
INTRODUÇÃO ............................................................................ 11
1. PRINCÍPIOS BÁSICOS ......................................................... 18
A. ESPAÇO-TEMPO DE POINCARÉ-MINKOWSKY ......................... 18
B. SIMULTANEIDADE ..................................................................... 23
C. A ANÁLISE DE PAINLÉVE .......................................................... 26
D. A TRANSFORMAÇÃO DE TANGHERLINI-LATTES ..................... 35
E. AS TRANSFORMAÇÕES DE VOIGT............................................. 48
F. ENDOMORFISMOS DO ESPAÇO-TEMPO .................................... 53
G. OS POSTULADOS DE CUNNINGHAM .......................................... 56
H. O TEOREMA ADIÇÃO DAS VELOCIDADES ............................... 69
I. TRANSFORMAÇÕES GERAIS DE LORENTZ................................ 72
J. A TRANSFORMAÇÃO DE MÖBIUS ............................................. 78
K. O PRINCÍPIO DA INÉRCIA ......................................................... 86
L. OS POSTULADOS DE PAINLEVÉ ................................................ 89
M. AS ENGRENAGENS DA RELATIVIDADE .................................... 90
2. CONCEITOS DE ESPAÇO ..................................................... 92
A. GEOMETRIA: A CIÊNCIA DO ESPAÇO ...................................... 92
B. OS FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA ......................................... 95
C. A GEOMETRIA DO ESPAÇO-TEMPO ....................................... 144
D. CARACTERIZAÇÃO DO ESPAÇO .............................................. 151
3. CONCEITOS DE TEMPO ................................................... 153
A. HISTÓRIA: A CIÊNCIA DO TEMPO .......................................... 153
B. O TEMPO LOCAL DE LORENTZ E POINCARÉ ......................... 159
C. TEMPO PRÓPRIO DE EINSTEIN E MINKOWSKI ....................... 168
D. A DIFERENÇA ENTRE O TEMPO DE POINCARÉ E O TEMPO DE
EINSTEIN-MINKOWSKI ................................................................ 172
4. DIMENSIONALIDADE ....................................................... 175
5. CONCEITOS DE MASSA .................................................... 189
A. MASSA INERCIAL PRÓPRIA .................................................... 192
B. MASSA INERCIAL CINÉTICA ................................................... 193
C. MASSA INERCIAL MAUPERTUISIANA DE POINCARÉ .............. 195
D. MASSA INERCIAL ACELERATIVA ........................................... 198
E. MASSA DE REPOUSO DA LUZ .................................................. 200
F. MASSA “RELATIVÍSTICA” ...................................................... 202
6. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS ELEMENTARES DA
TEORIA RELATIVIDADE ESPECIAL ................................. 205
A. O ESPAÇO HIPERBÓLICO DE LOBACHESVKY-POINCARÉ ...... 205
B. CONSTRUINDO 4-VETORES ..................................................... 211
C. O CÁLCULO-K ........................................................................ 214
D. O TEOREMA DA FUNÇÃO TANGENTE ..................................... 233
E. O GRUPO DE LORENTZ ........................................................... 236
F. O GRUPO DE POINCARÉ .......................................................... 239
G. MATRIZES DO GRUPO DE POINCARÉ...................................... 243
H. REPRESENTAÇÃO DO GRUPO DE POINCARÉ .......................... 248
I. SPINORES E REPRESENTAÇÃO SPINORAL ................................ 250
J. GERADORES DE UM GRUPO INFINITESIMAL .......................... 251
K. INTERMEZZO PARA UM COMENTÁRIO HISTÓRICO................ 254
L. GERADORES INFINITESIMAIS DO ESPAÇO-TEMPO ................ 255
M. ÁLGEBRA DE LIE NÃO ABELIANA DO ESPAÇO-TEMPO ........ 259
7. TOPOLOGIA DO ESPAÇO-TEMPO................................. 262
A. PRINCÍPIOS BÁSICOS ............................................................... 262
B. ESPAÇO-TEMPO 4-DIMENSIONAL .......................................... 268
C. CONSTRUINDO O ESPAÇO-TEMPO .......................................... 277
D. VARIEDADES ESPAÇO-TEMPORAIS ........................................ 286
E. TOPOLOGIA DE BAIXA DIMENSÃO DO ESPAÇO-TEMPO ........ 294
F. TOPOLOGIA DO ESPAÇO-TEMPO EUCLIDIANO E3+1 .............. 305
G. TOPOLOGIA DO ESPAÇO-TEMPO LORENTZIANO M3+1 .......... 308
8. ELEMENTOS DE GEOMETRIA DIFERENCIAL .......... 313
A. COVARIÂNCIA GERAL ............................................................ 313
B. SISTEMAS DE COORDENADAS CURVILÍNEOS ......................... 315
C. VETORES UNITÁRIOS EM SISTEMAS CURVILÍNEOS ............... 316
D. DUALIDADE ............................................................................. 318
E. COMPONENTES CONTRAVARIANTES DE UM VETOR .............. 321
F. COMPONENTES COVARIANTES DE UM VETOR ....................... 324
G. ESPAÇO TANGENTE ................................................................ 326
H. ESPAÇO COTANGENTE ............................................................ 327
I. CAMPOS VETORIAIS................................................................ 328
9. TENSORES ............................................................................ 329
A. CATEGORIZAÇÃO DOS TENSORES .......................................... 329
B. OPERAÇÕES INTERNAS COM TENSORES ................................ 332
C. OPERAÇÕES EXTERNAS COM TENSORES ............................... 333
D. ANÁLISE TENSORIAL .............................................................. 336
E. COVARIÂNCIA DE LORENTZ ................................................... 339
F. DECOMPONDO TENSORES SIMÉTRICOS ................................. 349
G. ÁLGEBRAS DE LIE ABELIANAS E NÃO ABELIANAS ................ 351
H. ÁLGEBRA DE LIE ABELIANA DO ESPAÇO-TEMPO ................. 352
10. ESPAÇOS CURVOS ............................................................ 356
A. VARIEDADE DIFERENCIÁVEL M ............................................. 356
B. CONGRUÊNCIA DE CURVAS .................................................... 357
C. TRANSPORTE DE LIE ............................................................... 357
D. DERIVADA DE LIE ................................................................... 359
E. VETORES DE KILLING DO GRUPO DE POINCARÉ ................... 361
F. BOOSTS DE LORENTZ .............................................................. 365
11. CAMPOS TENSORIAIS ..................................................... 368
A. CONEXÃO AFIM ...................................................................... 369
B. DERIVADA COVARIANTE ........................................................ 370
C. CURVATURA E TORSÃO .......................................................... 373
12. TÉTRADAS E EQUAÇÕES DE CARTAN .................................... 378
A. BASES HOLONÔMICAS ............................................................ 378
B. BASES NÃO-HOLONÔMICAS ................................................... 381
C. CONSTANTES DA ESTRUTURA E GERADORES ........................ 383
D. CONSTANTES DA ESTRUTURA DO ESPAÇO-TEMPO ............... 387
E. TÉTRADAS NULAS ................................................................... 391
F. MUDANÇA DE BASE DA TÉTRADA .......................................... 395
G. SISTEMA DE REFERÊNCIA LOCAL .......................................... 399
H. CLASSIFICAÇÃO DE PETROV .................................................. 401
CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................. 405
REFERÊNCIAS E BIBLIOGRAFIA .................................................. 411
FICHA AUTORAL .......................................................................... 435
