Ditopos ou Une approche axiomatique de Cat. Deuxième partie

Ce texte, comme son titre l'indique, fait suite à une première partie [2], où l'on montrait que dans la 2-catégorie Cat, associée à un univers U, l'ordre P_c(ℂ) sur les sous-catégories d'une catégorie ℂ classifie les liaisons cartésiennes de but ℂ, id est les couples de foncteurs de Cat, de même source, de but respectivement une catégorie quelconque ? et ℂ, tels que F soit une cofibration et le crochet [F,G] un monomorphisme cartésien de la cofibration F vers la projection de ? × ℂ vers ?. Ces liaisons cartésiennes semblaient devoir jouer le même rôle que les relations dans Ens et permettre d'adopter vis à vis de certaines 2-catégories un point de vue analogue à celui des topos. Le résultat essentiel de cette première partie était qu'une telle propriété (classification des liaisons cartésiennes) pour une 2-catégorie (qui est appelée alors proditopos) entraînait l'existence d'un co-adjoint à l'inclusion de la sous-catégorie des objets discret qui devient ainsi un topos. Il semble cependant qu'on ne puisse aller très loin dans cette analogie, à partir de cette seule propriété. On développe donc ici, à partir du chapitre III et de façon à pouvoir être lu indépendamment de la première partie, deux remarques qui nous permettent de faire aboutir raisonnablement le point de vue initial.