Das vorliegende Buch führt durch die Symmetrien in der Physik: Es werden wichtige Gruppen und Symmetrien aus der Molekülphysik, der Festkörperphysik und (Quanten-)Feldtheorie vorgestellt und behandelt. Das Buch richtet sich an Studierende der Physik, die entweder die Vorlesung zur Gruppen- und Darstellungstheorie hören oder sich im Rahmen einer Bachelor-, Master- oder Doktorarbeit in Gruppentheorie und Symmetrien in der Physik einlesen möchten. Behandelt werden u.a. endliche und kontinuierliche Gruppen sowie Lie-Algebren und deren Darstellungen, aber auch klassische und quantisierte Feldtheorien, Eichtheorien und konforme Feldtheorien. Der Autor verbindet in den Kapiteln die mathematischen Grundlagen mit der physikalischen Anwendung. Beispiele, Aufgaben und Zwischenfragen helfen Leserinnen und Lesern dabei, ihr Verständnis zu überprüfen.
Author(s): Andreas Wipf
Series: Springer Spektrum
Edition: 1
Publisher: Springer Verlag GmbH
Year: 2023
Language: German
Pages: 529
City: Berlin
Tags: Gruppentheorie, Darstellungstheorie, Lie-Gruppen, Lie-Algebren, Quantenmechanik, Feldtheorien, Eichtheorien
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
Abkürzungsverzeichnis
1 Einführung
1.1 Symmetrien und Gruppen
1.2 Gruppentheorie in Mathematik und Physik
1.3 Literatur, Software
2 Elemente der Gruppentheorie
2.1 Gruppen und Gruppentafeln
2.2 Matrixgruppen
2.3 Diedergruppen
2.4 Anhang A: Matrizen mit Elementen in einem Ring
2.5 Anhang B: Präsentation einer Gruppe
2.6 Aufgaben zu Kap.2
3 Homomorphismen, Untergruppen und Klassen
3.1 Homomorphismen und isomorphe Gruppen
3.2 Untergruppen
3.2.1 Kern und Bild eines Homomorphismus
3.2.2 Zyklische Untergruppen
3.2.3 Eigenschaften von wichtigen Untergruppen
3.3 Nebenklassen und Faktorgruppen
3.4 Konjugationsklassen
3.5 Direktes und semidirektes Produkt
3.6 Aufgaben zu Kap.3
4 Endliche Gruppen
4.1 Untergruppen der Permutationsgruppen
4.2 Symmetrische und alternierende Gruppen
4.2.1 Zyklen
4.2.2 Konjugationsklassen
4.3 Kleine Gruppen
4.4 Aufgaben zu Kap.4
5 Raumzeit-Symmetrien
5.1 Gruppenwirkungen
5.2 Drehungen im Raum
5.3 Die euklidischen Gruppen
5.4 Die Galilei-Gruppe
5.5 Lorentz- und Poincaré Transformationen
5.6 Anhang A: Normalform der Drehungen und Bewegungen
5.6.1 Normalformen für Drehungen im
5.6.2 Normalformen für Bewegungen im Rn
5.7 Aufgaben zu Kap.5
6 Punktgruppen
6.1 Eigentliche Punktgruppen
6.1.1 Platonische Gruppen
6.1.2 Klassifikation der eigentlichen Punktgruppen
6.1.3 Uneigentliche Punktgruppen
6.1.4 Trägheitstensor symmetrischer Körper
6.2 Molekülsymmetrien
6.2.1 Das Massenpunktsystem Allen CH
6.2.2 Trans-Dichlorethylen
6.3 Aufgaben zu Kap.6
7 Raumgruppen und Kristalle
7.1 Gittervektoren und primitive Elementarzelle
7.1.1 Das reziproke Gitter
7.1.2 Kristallsysteme in der Ebene
7.1.3 Kristallsysteme im Raum
7.2 Elementarzellen, Einheitszellen und Bravais-Gitter
7.3 Raum- und Flächengruppen von Kristallen
7.3.1 Normalformen von Bewegungen
7.3.2 Flächen- und Raumgruppen und zugehörige Punktgruppen
7.4 Zweidimensionale Kristalle
7.5 Dreidimensionale Kristalle
7.6 Die 7 Kristallsysteme
7.7 Aufgaben zu Kap.7
8 Lie-Gruppen
8.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
8.1.1 Lie-Gruppen
8.1.2 (Weg-)Zusammenhängende Lie-Gruppen
8.1.3 Lie-Untergruppen
8.2 Die Lie-Gruppen U(2) und SU(2)
8.3 Matrixgruppen GL(n,K) und Untergruppen
8.4 Globale Eigenschaften von Lie-Gruppen
8.4.1 Homotopiegruppen
8.4.2 Universelle Überlagerungsgruppen
8.5 Aufgaben zu Kap.8
9 Invariante Integration
9.1 Haar-Maße auf U(1) und SU(2)
9.2 Haar-Maße für beliebige Lie-Gruppen
9.3 Haar-Maße für kompakte Matrixgruppen
9.4 Haar-Maße für unitäre Gruppen
9.5 Invariante Integration auf SU(1,1) und SL(2, R)
9.6 Modulare Funktion
9.7 Aufgaben zu Kap.9
10 Darstellungen von Gruppen
10.1 Darstellungen
10.2 Reguläre Darstellung
10.3 Reduzible und irreduzible Darstellungen
10.4 Darstellungen von Gruppen mit Mittelwertbildung
10.5 Tensorprodukt von Darstellungen
10.6 Symmetrische Gruppen
10.7 Anwendung: Benzolring in der Hückel-Näherung
10.8 Darstellungen und spezielle Funktionen
10.8.1 Kugelflächenfunktionen und SO(3)-Darstellungen
10.8.2 Darstellungen von SU(2) auf L2( C2,ρ)
10.9 Aufgaben zu Kap.10
11 Charaktere und Lemma von Schur
11.1 Charakter einer Darstellung
11.2 Das Lemma von Schur
11.2.1 Systeme mit invariantem Hamilton-Operator
11.2.2 Orthogonalitätsrelationen
11.2.3 Ausreduktion einer beliebigen Darstellung
11.2.4 Methode der Projektionsoperatoren
11.3 Alle Darstellungen einer endlichen Gruppe
11.4 Darstellungen der symmetrischen Gruppen
11.4.1 Young-Diagramme und Young-Tableaus
11.4.2 Young-Symmetrisierer
11.5 Anhang A: Charaktertafeln der Punktgruppen
11.6 Aufgaben zu Kap.11
12 Irreduzible Darstellungen von Lie-Gruppen
12.1 Charaktere von U(1) und Satz von Peter und Weyl
12.2 Irreduzible Darstellungen von SU(2)
12.2.1 Die dreidimensionale Darstellung SO(3)
12.2.2 Höherdimensionale Darstellungen
12.3 Darstellungen von SU(3)
12.4 Aufgaben zu Kap.12
13 Theorie der Lie-Algebren
13.1 Einführung in Lie-Algebren
13.2 Lie-Unteralgebren
13.3 Lie-Algebra-Homomorphismen und Darstellungen
13.3.1 Darstellungen einer Lie-Algebra
13.3.2 Irreduzible Darstellungen
13.3.3 Adjungierte Darstellung
13.4 Invariante Killing-Form
13.4.1 Cartan-Killing-Metrik und Strukturkonstanten
13.4.2 Killing-Formen für Matrix-Lie-Algebren
13.5 Universelle Einhüllende einer Lie-Algebra
13.5.1 Quadratische Casimir-Invarianten
13.5.2 Höhere Casimir-Invarianten
13.6 Anhang A: Nilpotente und auflösbare Lie-Algebren
13.7 Aufgaben zu Kap.13
14 Lie-Algebren von Lie-Gruppen
14.1 Lie-Algebra der infinitesimalen Erzeugenden
14.1.1 Adjungierte Darstellung der Gruppe und Zentrum
14.1.2 Darstellungen von G induzieren Darstellungen von mathfrakg
14.1.3 Tensorprodukt von Darstellungen
14.2 Lie-Algebren der klassischen Matrixgruppen
14.3 Die Exponentialabbildung
14.4 Weyl-Gruppe und maximale Tori
14.5 Lorentz-Gruppe und Lorentz-Algebra
14.6 Die Poincaré-Algebra
14.7 Allgemeine Lie-Gruppen
14.8 Anhang A: Linksinvariante Vektorfelder
14.8.1 Vektoren und Tangentialraum
14.8.2 Die Abbildungen Pullback und Pushforward
14.9 Aufgaben zu Kap.14
15 Wurzelsysteme und Cartan-Klassifikation
15.1 Auf- und Absteigeoperatoren in mathfraksu(2)
15.2 Wurzeln einer einfachen Lie-Algebra
15.3 Quantisierung der Wurzeln
15.3.1 Weyl-Spiegelungen
15.3.2 Weyl-Gruppe
15.4 Wurzeln von Lie-Algebren mit Rang leq2
15.5 Eigenschaften von Wurzelsystemen
15.6 Cartan-Matrix und Dynkin-Diagramme
15.7 Cartan-Klassifikation
15.8 Anhang: Explizite irreduzible Wurzelsysteme
15.9 Aufgaben zu Kap.15
16 Darstellungen von Lie-Algebren
16.1 Gewichte einer Darstellung
16.1.1 Stufenoperatoren
16.1.2 Weyl-Gruppe, Gewichtsgitter und fundamentale Gewichte
16.1.3 Höchstes Gewicht
16.1.4 Tensorprodukt von Darstellungen
16.2 Charaktere und Dimensionen von Darstellungen
16.2.1 Weylsche Integralformel
16.2.2 Charaktere
16.2.3 Weylsche Dimensionsformel
16.2.4 Multiplizität der Gewichte
16.3 Young-Diagramme
16.3.1 Dimensionen der Darstellungen von GL(n)
16.3.2 Irreduzible Darstellungen von U(n) und SU(n)
16.3.3 Tensorprodukte mit Young-Diagrammen
16.4 Aufgaben zu Kap.16
17 Symmetrien in der Quantenmechanik
17.1 Mehrteilchensysteme
17.2 Translationen
17.3 Periodische Potenziale und Bloch-Wellen
17.4 Drehimpuls in der Quantenmechanik
17.5 Addition von Drehimpulsen
17.5.1 Ausreduktion von Tensorprodukten
17.5.2 Clebsch-Gordan(CG)-Koeffizienten
17.5.3 Wigner-Eckart-Theorem
17.6 Algebraische Lösung des Wasserstoffatoms
17.7 Aufgaben zu Kap.17
18 Symmetrien in der relativistischen Quantenmechanik
18.1 Darstellungen der Lorentz-Gruppe
18.2 Darstellungen der Poincaré-Algebra
18.2.1 Massive Darstellungen
18.2.2 Masselose Darstellungen
18.3 Clifford-Algebren in d Dimensionen
18.3.1 Irreduzible Darstellungen der Clifford-Algebra
18.3.2 Spingruppe als Überlagerung der Lorentz-Gruppe
18.3.3 Transformationen der Spinorfelder
18.4 Kovarianz der Dirac-Gleichung
18.4.1 Dirac-Gleichung für freie Teilchen
18.4.2 Raumspiegelungen
18.4.3 Zeitumkehr
18.4.4 Kopplung ans elektromagnetische Feld und Ladungskonjugation
18.5 Aufgaben zu Kap.18
19 Relativistische Feldtheorien
19.1 Langrangescher Formalismus
19.2 Hamiltonscher Formalismus
19.3 Noether-Theorem für innere Symmetrien
19.4 Noether-Theorem für Translationen
19.4.1 Energie-Impuls des elektromagnetischen Feldes
19.4.2 Verbesserung von Noether-Strömen
19.5 Lorentz-Transformationen und Drehimpuls
19.6 Symmetrien in Quantenfeldtheorien
19.7 Aufgaben zu Kap.19
20 Eichtheorien
20.1 Eichtransformationen und minimale Kopplung
20.2 Eichkovariante Ableitung
20.3 Nichtabelsche Eichtheorien
20.3.1 Lokale Eichinvarianz
20.3.2 Infinitesimale Eichtransformationen
20.3.3 Feldgleichungen
20.4 Quantenchromodynamik (QCD)
20.4.1 Die QCD ist eine SU(3)-Eichtheorie
20.4.2 Infinitesimale Flavor-Symmetrien und spontane Symmetriebrechung
20.5 Weinberg-Salam-Modell
20.6 Aufgaben zu Kap.20
21 Konform-invariante Feldtheorien
21.1 Konforme Abbildungen
21.1.1 Konforme Abbildungen in d3 Dimensionen
21.1.2 Konforme Abbildungen in d=2 Dimensionen
21.2 Konform invariante Feldtheorien (CFT)
21.2.1 Weyl-invariante Feldtheorien
21.2.2 Konsequenzen der konformen Invarianz
21.2.3 Konforme Algebra in d Dimensionen
21.2.4 Energie-Impuls-Tensor und Bessel-Hagen Ströme
21.3 Konforme Feldtheorien in 1+1 Dimensionen
21.3.1 Witt-Algebra
21.3.2 Virasoro-Algebra
21.3.3 Zur Bedeutung der zentralen Ladung
21.3.4 Virasoro-Algebra für Entwicklungskoeffizienten
21.3.5 Darstellungen der Virasoro-Algebra
21.4 Anhang A: Zentrale Erweiterung der Virasoro-Algebra
21.5 Aufgaben zu Kap.21
Literatur
Stichwortverzeichnis
