Author(s): В. В. Лосяков, А. К. Погребков, С. М. Хорошкин
Publisher: Высшaя школа экономики
Year: 2015
Language: Russian
Pages: 48
1. Лекция 1. Преобразование Лапласа 3
1.1. Введение 3
1.2. Основные понятия и методы 4
1.3. Обращение преобразования Лапласа 5
2. Лекция 2 7
2.1. Еще одна формулировка теоремы обращения 7
2.2. Предельные соотношения 8
2.3. Свойства преобразования Лапласа 8
3. Лекция 3. 10
3.1. Свертка функций 10
3.2. Свертка, теорема Бореля и интеграл Дюамеля 10
3.3. Начальные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем. 13
3.4. Граничные задачи и их функции Грина 13
4. Лекция 4 16
4.1. Обобщенные функции: основные определения 16
4.2. Локальные свойства обобщенных функций 17
5. Лекция 5 19
5.1. Мультипликаторы и свертка обобщенных функций с основными. 19
5.2. Дифференцирование обобщенных функций 19
5.3. Сходимость обобщенных функций и δ-образные последовательности 19
5.4. Первообразные обобщенных функций 20
6. Лекция 6 22
6.1. Формулы Сохоцкого–Племеля и предельные значения голоморфных функций 22
6.2. Аналитическое представление обобщенных функций 23
6.3. Прямое произведение обобщенных функций и свертка 24
7. Лекция 7 27
7.1. Регуляризация функций со степенными особенностями посредством аналитическго
продолжения 27
7.2. Преобразование Фурье обобщенных функций из S ′ 28
8. Лекция 8 30
8.1. Обобщенные функции комплексного переменного 30
9. Лекция 9 32
9.1. Периодические обобщенные функции. Основные определения и свойства 32
9.2. Ряд Фурье 33
10. Лекция 10 35
10.1. Обобщенные функции на единичном контуре 35
10.2. Преобразование Фурье обобщенных функций из D ′ 35
11. Лекция 11 38
11.1. Связь преобразований Фурье и Лапласа 38
11.2. Фундаментальное решение оператора Лапласа в размерности 2 38
11.3. Фундаментальные решения и функции Грина, сведение начальной задачи к задаче
с нулевыми начальными данными. 39
11.4. Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. 40
12. Лекция 12 41
12.1. Фундаментальные решения уравнения Штурма–Лиувилля с нулевым потенциалом
и волнового уравнения 41
12.2. Сведение начальной задачи к интегральному уравнению. 43
13. Лекция 13. Преобразование Радона 44
13.1. Определение и основные свойства 44
13.2. Обращение преобразования Радона
