Théorie des groupes de Lie: Groupes algébriques, théorèmes généraux sur les algèbres de Lie

CHAPITRE PREMIER: Algèbre tensorielle et applications
§ i. Algèbre tensorielle 1
§ 2. Algèbres graduées 7
§ 3. Dérivations gauches i4
§ 4. Algèbres symétriques 21
§ 5. Algèbres extérieures 37
§ 6. Extension du corps de base. 48
§ 7. Spécialisations 56
§ 8. Espaces vectoriels à opérateurs 61

CHAPITRE II: Groupes algébriques.
Notations 77
§ 1. Définition de la notion de groupe algébrique 78
§ 2. Semi-invariants 83
§ 3. Groupes irréductibles ' 86
§ 4. Fonctions rationnelles 9o
§ 5. Extension du corps de base 103
§ 6. Points génériques 110
§ 7. Représentions paramétriques 119
§ 8. L'algèbre de Lie d'un groupe algébrique 125
§ 9. Différentielle d'une représentation rationnelle 136
§ 10. Exemples 142
§ 11. Exponentielles 146
§ 12. Application aux groupes algébriques 154
§ i3. Sur certains groupes algébriques abéliens 158
§ 14. Algèbres de Lie algébriques 171

CHAPITRE III: Généralités sur les représentations
N° 1. Représentations équivalentes 188
N° 2. Puissances tensorielle, symétrique, extérieure 190
N° 3. Produits cartésiens 193
N° 4. Produits tensoriels 194
N° 5. Tenseurs symétriques et antisymétriques 196
N° 6. Représentations contragrédientes 1 98
N° 7. Représentations duales de produits cartésiens et tensoriels 201
N° 8. Formes polaires 206
N° 9. Invariants 207
N° 10. Covariants 212
N° 11. Sur les formes bilinéaires symétriques 218
N° 12. Suites de Jordan-Holder 220
N° 13. Extension du corps de base 221
N° 14. Représentations rationnelles d'algèbres de Lie 227
N° 15. Représentations de groupes de Lie 228

CHAPITRE IV: Algèbres de Lie semi-simples
§ 1. Le théorème d'Engel 236
N° 1. La représentation adjointe 236
N° 2. Le théorème d'Engel 237
§ 2. Algèbres semi-simples 240
N° 1. La forme bilinéaire associée à une représentation 240
N° 2. Algèbres semi-simples 244
§ 3. Représentations des algèbres semi-simples 24B
N° 1. L'opérateur de Casimir 248
N° 2. Le théorème de Weyl 250
§ 4. Algèbres réductives
N° 1. Représentations d'algèbres réductives 253
N° 2. Critères d'algèbres réductives 255
§ 5. Groupes algébriques semi-simples 261
§ 6. Exemples 269
N° 1. Les algèbres et 269
N° 2. L'algèbre o(B) 270
§ 7. Les algèbres simples de dimension 3 et leurs représentations 275

CHAPITRE V: Théorèmes généraux sur les algèbres de Lie
§ 1. Algèbres résolubles 282
§ 2. Le7 radical. Le plus grand idéal nilpotent 286
N° 1. Le radical
N° 2. Le plus grand idéal nilpotent 287
§ 3. Groupes résolubles 294
N° 1. Groupes résolubles 294
N° 2. Groupes nilpotents 295
N° 3. Groupes algébriques résolubles et nilpotents 297
N° 4. Algèbres de Lie d'endomorphismes nilpotents 303
N° 5. Algèbres de Lie résolubles algébriques 309
§ 4. Le théorème de Levi-Malcev 315
N° 1. Le théorème de Levi-Malcev 315
N° 2. Application à la structure des algèbres algébriques 324
§ 5. Le théorème d'Ado 325
N° 1. L'algèbre universelle d'une algèbre de Lie 325
N° 2. Lemmes 328
N° 3. Le lemme de Harish-Chandra 330
N° 4. Le théorème d'Ado 333
N° 5. Le théorème d'existence 337
§ 6. Algèbre universelle et opérateurs différentiels 338
N° 1. Lemmes sur les algèbres associatives 338
N° 2. Opérateurs différentiels 340

CHAPITRE VI: Algèbres et groupes de Cartan
§ 1. La topologie de Zariski 348
N° 1. Ensembles fermés 348
N° 2. Applications polynômes 351
N° 3. Ensembles irréductibles 354
N° 4. L'espace directeur 357
N° 5. Ensembles épais 365
§ 2. Orbites 370
§ 3. La nullité d'un endomorphisme 376
§ 4. Groupes de Cartan. Algèbres de Cartan 379
N° 1. Définition 379
N° 2. Existence de groupes et d'algèbres de Cartan 382
N° 3. L'égalité des rangs 388
N° 4. Irréductibilité des groupes de Cartan 39r
N° 5. Propriétés des algèbres de Cartan 395
§ 5. Groupes de Cartan des groupes de Lie 405
N° 1. Existence 405
N° 2. Groupes de Cartan des groupes compacts 410

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