Operazioni tra matrici
1 Le operazioni fondamentali, I
2 Riduzione per righe, l O
3 Determinanti, 21
4 Matrici di permutazione, 29
5 La regola di Cramer, 33
Esercizi, 36
2 Gruppi
1 Definizione di gruppo, 45
2 Sottogruppi, 52
3 Isomorfismi, 57
4 Omomorfismi, 60
5 Relazioni di equivalenza e partizioni, 62
6 Classi laterali, 67
7 Restrizione di un omomorfismo a un sottogruppo, 70
8 Prodotti di gruppi, 72
9 Aritmetica modulare, 75
10 Gruppi quoziente, 78
Esercizi, 82
3 Spazi vettoriali
1 Spazi vettoriali reali, 94
2 Campi astratti, 98
3 Basi e dimensione, 104
4 Calcoli con le basi, 113
5 Spazi di dimenzione infinita, 119
6 Somme dirette, 122
Esercizi, 124
IX
XI
xv
1
45
94
VI
4 Applicazioni lineari
l La formula della dimensione, 131
2 La matrice di un'applicazione lineare, 134
3 Operazioni lineari e autovettori, 138
4 Il polinomio caratteristico, 143
5 Matrici ortogonali e rotazioni, 148
6 Diagonalizzazione, 155
7 Sistemi di equazioni differenziali, 159
8 L'esponenziale di una matrice, 165
Esercizi, 172
5 Simmetria
1 Simmetria delle figure piane, 185
2 Il gruppo dei movimenti del piano, 187
3 Gruppi finiti di movimenti, 193
4 Gruppi discreti di movimenti, 198
5 Simmetria astratta: azioni di un gruppo, 208
6 L'azione sulle classi laterali, 212
7 La formula delle classi, 214
8 Rappresentazioni mediante permutazioni, 216
9 Sottogruppi finiti del gruppo delle rotazioni, 218
Esercizi, 223
6 Ulteriori proprietà dei gruppi
l Le azioni di un gruppo su se stesso, 234
2 L'equazione delle classi del gruppo icosaedrale, 238
3 Azioni sui sottoinsiemi, 241
4 I teoremi di Sylow, 243
5 I gruppi di ordine 12, 248
6 Calcoli nel gruppo simmetrico, 250
7 Il gruppo libero, 258
8 Generatori e relazioni, 261
9 L'algoritmo di Todd-Coxeter, 265
Esercizi, 272
7 Forme bilineari
1 Definizione di forma bilineare, 282
2 Forme simmetriche: ortogonalità, 288
3 La geometria associata a una forma positiva, 294
4 Forme hermitiane, 296
5 Il teorema spettrale, 300
6 Coniche e quadriche, 303
7 Il teorema spettrale per operatori normali, 307
8 Forme antisimmetriche, 309
9 Sommario dei rìsultati, in notazione matriciale, 310
Esercizi, 312
Indice
131
185
234
282
Indice
8 Gruppi lineari
l I gruppi lineari classici, 321
2 Il gruppo unitario speciale SU,, 323
3 La rappresentazione ortogonale di SU2, 328
4 Il gruppo lineare speciale SL2(R), 334
5 Sottogruppi a un parametro, 336
6 L'algebra di Lie, 340
7 Traslazione in un gruppo, 347
8 Gruppi semplici, 351
Esercizi, 356
VII
321
9 Rappresentazioni di gruppi 365
l Definizione di rappresentazione di un gruppo, 365
2 Forme G-invarianti e rappresentazioni unitarie, 368
3 Gruppi compatti, 371
4 Sottospazi G-invarianti e rappresentazioni irriducibili, 373
5 Caratteri, 376
6 Le rappresentazioni mediante permutazioni e la rappresentazione regolare, 382
7 Le rappresentazioni del gruppo icosaedrale, 384
8 Rappresentazioni di dimensione uno, 386
9 Lemma di Schur, e dimostrazione delle relazioni di ortogonalità, 387
10 Rappresentazioni del gruppo SU2, 392
Esercizi, 398
10 Anelli
1 Definizione di anello, 410
2 Costruzione formale degli interi e dei polinomi, 413
3 Omomorfismi e ideali, 419
4 Anelli quoziente e relazioni in un anello, 426
5 Aggiunzione di elementi, 431
6 Domini di integrità e campi di frazioni, 437
7 Ideali massimali, 439
8 Geometria algebrica, 442
Esercizi, 449
11 Fattorizzazione
1 Fattorizzazione di interi e polinomi, 461
410
461
2 Domini a fattorizzazione unica, domini a ideali principali, domini euclidei, 464
3 Il lemma di Gauss, 472
4 Fattorizzazione esplicita dei polinomi, 476
5 Primi nell'anello degli interi di Gauss, 480
6 Interi algebrici, 484
7 Fattorizzazione nei campi quadratici immaginari, 490
8 Fattorizzazione degli ideali, 495
9 La relazione tra gli ideali primi di R e i numeri primi, 502
IO Classi di ideali nei campi quadratici immaginari, 503
11 Classi quadratici reali, 512
12 Alcune equazioni diofantee, 516
Esercizi, 520
VIII
12 Moduli
I Definizione di modulo, 532
2 Matrici, moduli liberi, basi, 534
3 Il principio di permanenza delle identità, 538
4 Diagonalizzazione delle matrici intere, 540
5 Generatori e relazioni per i moduli, 547
6 Il teorema di struttura per i gruppi cebeliani, 556
7 Applicazione agli operatori lineari, 561
8 Moduli liberi su anelli di polinomi, 568
Esercizi, 569
13 Campi
1 Esempi di campi, 580
2 Elementi algebrici e trascendenti, 581
3 Grado di un'estensione di campi, 585
4 Costruzioni con riga e compasso, 589
5 Aggiunzione simbolica di radici, 596
6 Campi finiti, 599
7 Campi di funzioni, 606
8 Estensioni trascendenti, 617
9 Campi algebricamente chiusi, 619
Esercizi, 623
14 Teoria di Galois
I Il teorema fondamentale della teoria di Galois, 630
2 Equazioni di terzo grado, 636
3 Funzioni simmetriche, 641
4 Elementi primitivi, 647
5 Dimostrazione del teorema fondamentale, 651
6 Equazioni di quarto grado, 655
7 Estensioni di Kummer, 662
8 Estensioni ciclotomiche, 664
9 Equazioni di quinto grado, 668
Esercizi, 673
Appendice Nozioni di base
1 Teoria degli insiemi, 686
2 Tecniche di dimostrazione, 691
3 Topologia, 696
4 Il teorema delle funzioni implicite, 700
Esercizi, 702
