Métodos Matemáticos de la Física

Métodos matemáticos de la Física: texto para el plan de maestría y doctorado en Física
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Índice
Introducción General
1 Funciones Especiales de la Física Matemática. (...)
1.1 Ecuación Generatriz de las Funciones Especiales
1.2 Comportamiento de las soluciones en el entorno de los puntos (...)
1.3 Problemas de frontera para la ecuación generatriz de las funciones especiales
1.3.1 Planteamiento del problema
1.3.2 Propiedades de los autovalores y de las autofunciones
1.4 Solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias
1.4.1 Caso de coeficientes analíticos
1.4.2 Caso de coeficientes con puntos singulares aislados
1.4.3 Caso de puntos singulares regulares
2 Funciones Cilíndricas
2.1 Ecuación de Bessel. Funciones de Bessel
2.2 Otros tipos de funciones cilíndricas. Fórmulas de recurrencia
2.2.1 Funciones de Neumann y de Hankel
2.2.2 Fórmulas de recurrencia
2.3 Norma de las funciones cilíndricas
2.4 Ejemplos de aplicación de las funciones cilíndricas
2.4.1 Problema de Bernoulli sobre las oscilaciones de una cadena colgada
2.4.2 Oscilaciones de la cadena
2.4.3 Oscilaciones de una membrana circular con borde fijo
2.5 Función generatriz de la función de Bessel
2.6 Representación de las funciones cilíndricas a través de integrales (...)
2.6.1 Representación de las funciones de Hankel
2.6.2 Representación de la función de Bessel
2.7 Fórmulas asintóticas de las funciones cilíndricas
2.8 Funciones cilíndricas de orden semientero
2.9 Funciones cilíndricas de argumento imaginario
2.9.1 Ecuación de Bessel de argumento imaginario
2.9.2 Función cilíndrica de argumento imaginario de primer tipo
2.9.3 Función cilíndrica de argumento imaginario de segundo tipo
2.9.4 Ejemplo de aplicación
3 Polinomios de Legendre
3.1 Polinomios de Legendre
3.1.1 Función generatriz
3.1.2 Fórmula de Rodrigues
3.1.3 Propiedades de los polinomios de Legendre
3.2 Ecuación de Legendre
3.3 Norma de los polinomios de Legendre
3.4 Polinomios asociados de Legendre
3.4.1 Definición y propiedades
3.4.2 Ecuación de los polinomios asociados de Legendre
3.4.3 Norma de los polinomios asociados de Legendre
3.5 Ejemplos de aplicación de los polinomios de Legendre
3.5.1 Problema del enfriamiento de una esfera
3.5.2 Problema de una partícula cuántica en un campo de simetría central
4 Polinomios de Hermite y Laguerre
4.1 Polinomios de Hermite
4.1.1 Definición, función generatriz, propiedades
4.1.2 Problema de frontera de los polinomios de Hermite
4.1.3 Norma de los polinomios de Hermite
4.2 Polinomios de Laguerre
4.2.1 Definición, función generatriz
4.2.2 Problema de frontera de los polinomios de Laguerre
4.2.3 Norma de los polinomios de Laguerre
4.2.4 Polinomios generalizados de Laguerre
4.2.5 Problema del átomo de hidrógeno en la Mecánica Cuántica
5 Funciones Hipergeométricas
5.1 Ecuación hipergeométrica. Solución
5.1.1 Solución en el entorno de x = 0. Función hipergeométrica
5.1.2 Solución en el entorno de x = 1
5.2 Propiedades de las funciones hipergeométricas
5.3 Ecuación hipergeométrica confluente
5.4 Propiedades de la función hipergeométrica confluente
6 Algunas otras funciones especiales de la Física Matemática
6.1 Función Zeta de Riemann
6.2 Función de Mathieu
6.2.1 Ecuación de Mathieu
6.2.2 Forma de la solución de la ecuación de Mathieu
6.2.3 Ecuación de Hill
6.2.4 Soluciones periódicas de la ecuación de Mathieu
6.2.5 Construcción de las funciones de Mathieu
6.2.6 Teoría de Floquet
6.2.7 Método de Hill
6.3 Funciones de Airy
6.4 Funciones Integrales
6.5 Integrales de Fresnel
6.6 Función de Error y Función de Error Complementaria
Introducción a las ecuaciones de la Física Matemática
7 Clasificación de las ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden
7.1 Clasificación de las ecuaciones con dos variables independientes
7.2 Formas canónicas de las ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden
7.2.1 Ecuación hiperbólica
7.2.2 Ecuación elíptica
7.2.3 Ecuación parabólica
7.3 Concepto de planteamiento de los problemas matemáticos. (...)
7.4 Ejercicios del capítulo
8 Problemas físicos que conducen a ecuaciones de la Física Matemática
8.1 Problemas físicos que conducen a ecuaciones hiperbólicas
8.1.1 Oscilaciones longitudinales de una barra
8.1.2 Oscilaciones transversales de una cuerda
8.1.3 Oscilaciones transversales de una membrana
8.1.4 Oscilaciones de volúmenes
8.1.5 Ecuaciones básicas de la Electrodinámica
8.1.6 Ecuaciones de la acústica
8.2 Problemas físicos que conducen a ecuaciones parabólicas
8.2.1 Propagación de calor en el espacio
8.2.2 Ecuación de difusión
8.2.3 Difusión en presencia de desintegración
8.2.4 Proceso de reacción en cadena
8.3 Problemas físicos que conducen a ecuaciones elípticas
8.3.1 Problemas que conducen a la ecuación de Poisson
8.3.2 Problemas que conducen a la ecuación de Helmholtz
9 Planteamiento de los problemas matemáticos
9.1 Ecuaciones hiperbólicas
9.1.1 Condiciones iniciales y condiciones de frontera
9.1.2 Planteamiento de los problemas matemáticos. Unicidad
9.1.3 Problemas en varias dimensiones espaciales
9.1.4 Problema en la recta infinita
9.1.5 Reducción del problema general
9.2 Ecuaciones parabólicas
9.2.1 Condición inicial
9.2.2 Condiciones de frontera
9.2.3 Planteamiento de los problemas matemáticos
9.2.4 Problemas en la recta infinita y semiinfinita
9.2.5 Principio del valor máximo y mínimo
9.3 Ecuaciones elípticas
9.3.1 Ecuación elíptica de Poisson
9.3.2 Ecuación elíptica de Helmholtz
9.4 Problemas correctos e incorrectos de la Física Matemática
10 Método de Ondas Viajeras
10.1 Solución general de la ecuación hiperbólica
10.2 Solución del problema de Cauchy. Fórmula de D’Alembert
10.3 Interpretación física de la fórmula de D’Alembert
10.4 Función delta de Dirac
10.5 Función de Green. Ecuación no homogénea
10.6 Recta semiinfinita. Método de prolongación
10.7 Ejercicios del capítulo
11 Método de Separación de Variables
11.1 Ecuaciones hiperbólicas y parabólicas unidimensionales
11.1.1 Problema auxiliar
11.1.2 Solución de los problemas iniciales
11.1.3 Ejemplo
11.1.4 Condiciones matemáticas de validez del método
11.1.5 Interpretación física de la solución
11.1.6 Función de Green
11.1.7 Solución de la ecuación no homogénea
11.1.8 Ejemplos ilustrativos
11.1.9 Solución del problema general
11.1.10 Oscilaciones bajo la acción de una fuerza periódica armónica. (...)
11.2 Ecuaciones hiperbólicas y parabólicas en varias dimensiones espaciales
11.2.1 Planteamiento de los problemas y reducción del problema general
11.2.2 Problema auxiliar. Autovalores y autofunciones
11.2.3 Solución de la ecuación homogénea con condición de frontera homogénea
11.2.4 Solución de las ecuaciones no homogéneas con condiciones homogéneas
11.3 Ejemplos de solución de problemas hiperbólicos y parabólicos (...)
11.3.1 Problemas que no requieren el uso de funciones especiales
11.3.2 Problemas que requieren el uso de funciones cilíndricas
11.3.3 Problemas que requieren el uso de funciones esféricas. (...)
11.4 Ecuaciones elípticas
11.4.1 Ecuación de Poisson
11.4.2 Ecuación de Helmholtz
11.5 Ejercicios del capítulo
12 Método de Transformadas Integrales
12.1 Ecuaciones hiperbólicas
12.1.1 Problema de Cauchy
12.1.2 Problemas en la recta semiinfinita
12.2 Ecuaciones parabólicas
12.2.1 Recta infinita. Función de Green
12.2.2 Recta semiinfinita
12.2.3 Ejemplo
12.3 Ejercicios del capítulo
13 Método de la Función de Green
13.1 Resumen del concepto de Función de Green estudiado anteriormente
13.1.1 Ecuación hiperbólica
13.1.2 Ecuación parabólica
13.2 Soluciones fundamentales de los operadores diferenciales lineales
13.2.1 Soluciones generalizadas de las ecuaciones diferenciales lineales
13.2.2 Soluciones fundamentales
13.2.3 Ecuación con parte derecha
13.2.4 Solución fundamental del operador diferencial lineal ordinario
13.2.5 Operador de conducción del calor (de difusión)
13.2.6 Operador de onda (de D’Alembert)
13.3 Función de Green de la ecuación de Poisson
13.3.1 Definición
13.3.2 Problema de Dirichlet
13.3.3 Problema de Neumann
13.3.4 Tercer Problema de Frontera
13.3.5 Caso bidimensional
13.3.6 Ejemplos
13.3.7 Método de las imágenes electrostáticas
13.4 Función de Green de la ecuación de Helmholtz
13.4.1 Soluciones fundamentales de la ecuación de Helmholtz
13.4.2 Función de Green de la ecuación de Helmholtz
13.5 Ejercicios del capítulo
14 Método de la Teoría de Potenciales
14.1 Potenciales para la ecuación de Poisson
14.1.1 Conceptos iniciales
14.1.2 Integrales impropias
14.1.3 Potencial de volumen
14.1.4 Potencial de doble capa
14.1.5 Potencial de capa simple
14.2 Potenciales para la ecuación de Helmholtz
14.2.1 Potencial de Volumen
14.2.2 Potencial de doble capa
14.2.3 Potencial de capa simple
14.3 Ejercicios del capítulo
15 Problemas en el Espacio Abierto
15.1 Propagación del calor y difusión en el espacio abierto
15.2 Oscilaciones en el espacio abierto
15.2.1 Fórmula de Kirchhoff
15.2.2 Solución del problema de Cauchy para la ecuación homogénea (...)
15.2.3 Dependencia de la solución de las condiciones iniciales
15.2.4 Solución de la ecuación no homogénea de oscilaciones en el espacio abierto
15.3 Solución de la ecuación de oscilaciones bajo la acción de una fuerza (...)
15.4 Planteamiento de los problemas de frontera para la ecuación de Helmholtz (...)
15.4.1 Planteamiento de los problemas. Análisis de la unicidad de la solución
15.4.2 Condición de Radiaci´on de Sommerfeld
15.4.3 Principio de absorción límite
15.4.4 Principio de amplitud límite
15.5 Ejercicios del capítulo
16 Método de Diferencias Finitas
16.1 Problemas en diferencias finitas para la ecuación de Laplace
16.1.1 Planteamiento del problema
16.1.2 Propiedades de la soluci´on del problema en diferencias finitas
16.1.3 Solución del problema en diferencias finitas
16.2 Ideas Generales de los Métodos de Diferencias Finitas
16.2.1 Redes y funciones de redes
16.2.2 Orden de aproximación de los operadores
16.2.3 Problema en diferencias finitas para la ecuación de conducción de calor
16.2.4 Estabilidad de los esquemas en diferencias finitas
16.2.5 Convergencia de los esquemas en diferencias finitas
16.2.6 Métodos de solución de los esquemas en diferencias finitas. (...)
17 Ideas sobre los métodos de solución de ecuaciones no lineales
17.1 Ecuación de Korteweg-de Vries y el método del problema inverso
17.1.1 Forma canónica de la ecuación de Korteweg-de Vries (KdV)
17.1.2 Leyes de conservación
17.1.3 Método del problema inverso
17.1.4 Solitones
17.1.5 Otras ecuaciones
18 Elementos de Espacios Funcionales y Operadores
18.1 Espacios lineales normados
18.1.1 Conceptos iniciales
18.1.2 Otros conceptos importantes
18.2 Espacios de Banach
18.3 Espacios de Hilbert
18.3.1 Conceptos generales
18.3.2 Convergencia débil
18.3.3 Sistemas ortogonales. Series de Fourier
18.3.4 Sistemas ortonormales cerrados y completos
18.3.5 Espacios de Lebesgue y de Sóboliev
18.3.6 Un ejemplo importante de espacio euclídeo no completo
18.4 Espacios l2 y L2
18.4.1 El espacio l2
18.4.2 El espacio L2
18.5 Operadores totalmente continuos y autoconjugados en un espacio de Hilbert
18.5.1 Conceptos generales sobre operadores
18.5.2 Operadores conjugados en espacios de Hilbert
18.5.3 Operadores autoconjugados
18.5.4 Operadores totalmente continuos
18.5.5 Autovalores de un operador autoconjugado totalmente continuo
18.5.6 Propiedades fundamentales de los autovalores y las autofunciones (...)
18.6 Complementos de la teoría espectral de operadores
18.6.1 Ecuaciones operacionales
18.6.2 Operador resolvente
18.6.3 Solución de las ecuaciones operacionales por el método (...)
18.6.4 Propiedades analíticas de la resolvente
18.7 Operadores no acotados en un espacio de Hilbert
19 Principales Sistemas de Coordenadas
19.1 Coordenadas rectangulares cartesianas
19.2 Coordenadas Cilíndricas
19.3 Coordenadas Esféricas
19.4 Coordenadas Elípticas
19.5 Coordenadas Parabólicas
19.6 Coordenadas elipsoidales
19.7 Coordenadas elipsoidales degeneradas
19.8 Coordenadas Toroidales
19.9 Coordenadas Bipolares
19.10Coordenadas Esferoidales
19.11Coordenadas Paraboloidales
Bibliografía
9789591622778-preliminares.pdf
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