Author(s): Mohamed Barakat
Series: Lecture notes
Edition: version 2021-02-16
Year: 2021
Language: German
Commentary: Downloaded from https://algebra.mathematik.uni-siegen.de/barakat/Lehre/WS20/LAI/Skript/LA_I.pdf
Mathematische Grundlagen
Aussagen
Definition und Beispiele
Zusammensetzung und Verneinung
Aussageformen und Prädikatenlogik
Logische Äquivalenzen und Tautologien
Sprachliche Konventionen
Mengen
Definition und Beispiele
Quantifizierte Aussagen
Konstruktion von Mengen
Indexmengen
Mengenpartitionen
Beweisprinzipien
Direkter Beweis
Indirekter Beweis durch Kontraposition
Indirekter Beweis durch Widerspruch
Vollständige Induktion
Abbildungen
Definition und Beispiele
Bild, Urbild und Faser
Injektive, surjektive und bijektive Abbildungen
Einschränkungen
Komposition von Abbildungen
Umkehrabbildung
Mächtigkeit von Mengen
Selbstabbildung = Abbildung einer Menge in sich
Relationen
Definition und Beispiele
Partielle Ordnungen
Äquivalenzrelationen
Die Kategorie der Mengen
Monoide, Gruppen, Ringe und Kategorien
Kategorie der Monoide
Verknüpfungen
Monoide
Untermonoide
Morphismen von Monoiden
Erzeugung von Untermonoiden und von Monoiden
Freie Monoide
Freiabelsche Monoide
Abbildungsmonoide
Kategorie der Gruppen
Gruppen
Untergruppen
Morphismen von Gruppen
Erzeugung von Untergruppen und von Gruppen
Freiabelsche Gruppen
Gruppenmorphismen Abelscher Gruppen
Kategorie der Ringe
Ringe
Endomorphismenring
Körper
Teilringe
Ringmorphismen
Potenzreihenring
Polynomring
Multivariate Polynomringe
Erzeugung von Teilringen und Ringen
Monoidringe
Freie kommutative Ringe
Reguläre Elemente, Nullteiler und Bereiche
Euklidische Bereiche
Teilbarkeit in kommutativen Ringen
Euklidische Bereiche sind Bézout-Bereiche
Kategorie der Kategorien
Köcher
Teilköcher
Funktoren von Köchern
Kategorien
Teilkategorien
Eigenschaften von Morphismen
Funktoren (von Kategorien)
Erzeugnung von Teilkategorien und von Kategorien
Gruppoide
Skeletale Kategorien
Gleichungen in Kategorien
Präadditive Kategorien
Präadditive Kategorie der Matrizen über einem Ring
Präadditive Teilkategorien präadditiver Kategorien
Additive Funktoren präadditiver Kategorien
Natürliche Transformationen
Darstellbare Funktoren
Adjungierte Funktoren
Subobjekte
Gleichungen in Matrixkategorien
Lift- und Colift-Probleme in Matrixkategorien
Motivierendes Beispiel
Lineare Gleichungssysteme
Matrixkategorien über Euklidischen Bereichen
Erweiterter Euklidischer Algorithmus
Gauss-Algorithmus für 2 1-Matrizen
Matrixkategorien über Bézout-Bereichen
Matrix-Charakterisierung von Bézout-Bereichen
Der Bézout-Euklid-Gauss-Hermite-Algorithmus für Spalten
Der Bézout-Euklid-Gauss-Hermite-Algorithmus (REF)
Die Zeilenstufenindizes sind `39`42`"613A``45`47`"603AGLm(R)-invariant
Rang von Matrizen über Bézout-Bereichen
Kern-Matrix
Lösung von linearen Gleichungssystemen
Notwendiges Lösbarkeitskriterium
Der Euklid-Gauss-Hermite-Algorithmus (RREF)
Rang von Matrizen über Integritätsbereichen
Lösen über Ringen
Lösen über Körpern
Lösen über Euklidischen Bereichen
Die Kategorie der R-Moduln und der K-Verktorräume
R-Moduln und K-Vektorräume
R-Moduln und K-Vektorräume
R-Teilmoduln und K-Teilräume
Erzeugung von Teilmoduln und von Moduln
Freie R-Moduln
Endlich erzeugte R-Moduln
Endlich erzeugte K-Vektorräume sind frei
Austauschlemma von Grassmann-Steinitz
