Im Studienalltag ist oft die Mathematik von den Inhalten der Informatik durch separate Vorlesungen abgegrenzt. Dadurch wird es schwierig einzusehen, warum im Informatik-Studium so viel Mathematik unterrichtet wird. In diesem Buch werden daher Fragestellungen der Informatik in den Mittelpunkt gestellt, für die dann die benötigte Mathematik entwickelt wird.
Da das Buch als Einführung geschrieben ist, genügen elementare Schulkenntnisse in Mathematik. Bruchrechnung oder das Umstellen von Gleichungen setzen wir aber als bekannt voraus. Sie sollten auch schon ein wenig programmiert haben, um die (einfachen) Programmbeispiele unmittelbar zu verstehen. Da viele Querbezüge zur Informatik dargestellt werden, eignet sich das Buch insbesondere auch zum Auffrischen der Mathematikkenntnisse - z. B. nach einer Pause zwischen Bachelor- und Master-Studium.
Bei der Stoffauswahl haben wir uns an den Kernfächern der Informatik orientiert: Logik und Rechnen mit Bits, Relationen und endliche Automaten, Graphen und Graphenalgorithmen, Zahlen und ihre Darstellung im Computer, Primzahlen und Verschlüsselung, Differenzial- und Integralrechnung in Verbindung mit Aufwandsabschätzungen, Lineare Algebra und Codes.
Wir möchten mit dem Buch auch die Grundlage dafür legen, dass Sie sich weitere Themen der Mathematik aneignen können, wenn Sie diese bei der Anwendung der Informatik für andere Disziplinen benötigen.
Die zweite Auflage ist um Lösungen der Aufgaben ergänzt und enthält weitere Inhalte wie Nullstellenberechnung und Beschreibende Statistik mit Beispielen aus der Informatik.
Author(s): Steffen Goebbels; Jochen Rethmann
Edition: 2. Auflage
Publisher: Springer Spektrum
Year: 2023
Language: German
Pages: 432
Vorwort
Danksagung
Hier verwendete Programmiersprachen
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
1.1 Einleitung
1.2 Mengen
1.2.1 Mengen und Schreibweisen
1.2.2 Mengenoperationen
1.3 Logik
1.3.1 Rechnen mit Nullen und Einsen: Boole'sche Algebra
1.3.2 Aussagenlogik
1.3.3 Prädikatenlogik
1.3.4 Sprache der Mathematik und Beweise
1.3.5 Vollständige Induktion
1.3.6 Resolutionskalkül
1.4 Relationen und Abbildungen
1.4.1 Automaten
1.4.2 Eigenschaften von Relationen
1.4.3 Eigenschaften von Abbildungen
2 Graphen
2.1 Einleitung
2.2 Graphen und ihre Darstellung
2.3 Grundlegende Probleme in gerichteten Graphen
2.3.1 Tiefensuche und ihre Anwendungen
2.3.2 Erreichbarkeit und starker Zusammenhang
2.3.3 Kürzeste Wege
2.4 Grundlegende Probleme in ungerichteten Graphen
2.4.1 Bäume und minimale Spannbäume
2.4.2 Bipartite und planare Graphen
2.4.3 Euler-Touren und Hamilton-Kreise
2.5 Ausblick
3 Zahlen und Strukturen
3.1 Einleitung
3.2 Ganze Zahlen
3.2.1 Natürliche und ganze Zahlen, Gruppen und Ringe
3.2.2 Stellenwertsysteme und Darstellung im Computer
3.2.3 Primzahlen und Teiler
3.2.4 Abzählen: Kombinatorik
3.3 Wahrscheinlichkeiten und Primzahltests
3.3.1 Beschreibende Statistik
3.3.2 Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung
3.3.3 Primzahltests
3.4 Rationale Zahlen und Körper
3.5 RSA-Verschlüsselung
3.6 Reelle Zahlen
3.6.1 Von den Brüchen zu den reellen Zahlen
3.6.2 Einige reelle Funktionen
3.6.3 Darstellung in verschiedenen Stellenwertsystemen
3.6.4 Darstellung reeller Zahlen im Computer
3.7 Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit
4 Ausgewählte Kapitel der Analysis
4.1 Einleitung
4.2 Folgen und Landau-Symbole
4.3 Reihen
4.4 Laufzeit rekursiver Algorithmen: Master-Theorem
4.5 Konvergenz von Folgen und Reihen
4.6 Analyse des randomisierten Quicksort
4.7 Stetigkeit und Differenzierbarkeit
4.8 Nullstellensuche
4.9 Integral
5 Ausgewählte Kapitel der Linearen Algebra
5.1 Einleitung
5.2 Blockcodes
5.3 Lineare Codes und Vektorräume
5.4 Informationsbits und Dimension
5.5 Matrizen und Gleichungssysteme
5.5.1 Matrizen und Generatormatrix eines linearen Codes
5.5.2 Lineare Gleichungssysteme
5.5.3 Inverse Matrix
5.6 Orthogonalität, Fehlererkennung und Kompression
5.7 Lineare Abbildungen und Vektorgrafik
A Lösungen der Aufgaben
A.1 Aufgaben aus Kap. 1
A.2 Aufgaben aus Kap. 2
A.3 Aufgaben aus Kap. 3
A.4 Aufgaben aus Kap. 4
A.5 Aufgaben aus Kap. 5
Stichwortverzeichnis
1 Grundlagen
1.1 Einleitung
1.2 Mengen
1.2.1 Mengen und Schreibweisen
1.2.2 Mengenoperationen
1.3 Logik
1.3.1 Rechnen mit Nullen und Einsen: Boole’sche Algebra
1.3.2 Aussagenlogik
1.3.3 Prädikatenlogik
1.3.4 Sprache der Mathematik und Beweise
1.3.5 Vollständige Induktion
1.3.6 Resolutionskalkül
1.4 Relationen und Abbildungen
1.4.1 Automaten
1.4.2 Eigenschaften von Relationen
1.4.3 Eigenschaften von Abbildungen
Literatur
2 Graphen
2.1 Einleitung
2.2 Graphen und ihre Darstellung
2.3 Grundlegende Probleme in gerichteten Graphen
2.3.1 Tiefensuche und ihre Anwendungen
2.3.2 Erreichbarkeit und starker Zusammenhang
2.3.3 Kürzeste Wege
2.4 Grundlegende Probleme in ungerichteten Graphen
2.4.1 Bäume und minimale Spannbäume
2.4.2 Bipartite und planare Graphen
2.4.3 Euler-Touren und Hamilton-Kreise
2.5 Ausblick
Literatur
3 Zahlen und Strukturen
3.1 Einleitung
3.2 Ganze Zahlen
3.2.1 Natürliche und ganze Zahlen, Gruppen und Ringe
3.2.2 Stellenwertsysteme und Darstellung im Computer
3.2.3 Primzahlen und Teiler
3.2.4 Abzählen: Kombinatorik
3.3 Wahrscheinlichkeiten und Primzahltests
3.3.1 Beschreibende Statistik
3.3.2 Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung
3.3.3 Primzahltests
3.4 Rationale Zahlen und Körper
3.5 RSA-Verschlüsselung
3.6 Reelle Zahlen
3.6.1 Von den Brüchen zu den reellen Zahlen
3.6.2 Einige reelle Funktionen
3.6.3 Darstellung in verschiedenen Stellenwertsystemen
3.6.4 Darstellung reeller Zahlen im Computer
3.7 Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit
Literatur
4 Ausgewählte Kapitel der Analysis
4.1 Einleitung
4.2 Folgen und Landau-Symbole
4.3 Reihen
4.4 Laufzeit rekursiver Algorithmen: Master-Theorem
4.5 Konvergenz von Folgen und Reihen
4.6 Analyse des randomisierten Quicksort
4.7 Stetigkeit und Differenzierbarkeit
4.8 Nullstellensuche
4.9 Integral
Literatur
5 Ausgewählte Kapitel der Linearen Algebra
5.1 Einleitung
5.2 Blockcodes
5.3 Lineare Codes und Vektorräume
5.4 Informationsbits und Dimension
5.5 Matrizen und Gleichungssysteme
5.5.1 Matrizen und Generatormatrix eines linearen Codes
5.5.2 Lineare Gleichungssysteme
5.5.3 Inverse Matrix
5.6 Orthogonalität, Fehlererkennung und Kompression
5.7 Lineare Abbildungen und Vektorgrafik
Literatur
A Lösungen der Aufgaben
Stichwortverzeichnis
