Метод операторов преобразования и краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Предисловие автора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Глава 1. В ведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
1.1. Исторические сведения и краткое содержание книги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
1.2. Краткий очерк истории и современного состояния теории операторов преобразования . 223
1.3. Основные определения, обозначения и свойства: специальные функции, функциональные пространства, интегральные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
1.3.1. Специальные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
1.3.2. Функциональные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
1.3.3. Основные интегральные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Глава 2. Операторы преобразования Сонина—Пуассона—Дельсарта и их модификации . . . 257
2.1. Одномерные операторы преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
2.1.1. Основные конструкции операторов преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
2.1.2. Дробные интегралы типа Римана—Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
2.1.3. Связь с преобразованиями Фурье и Ханкеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
2.1.4. Операторы преобразования и функциональные пространства (одномерная теория) 271
2.2. Многомерные операторы преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
2.2.1. Некоторые свойства пространства С. Л. Соболева . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
2.2.2. Определение многомерных операторов преобразования . . . . . . . . . . . . . . . 281
2.2.3. L2-теория многомерных операторов преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
Глава 3. Теория операторов преобразования Бушмана—Эрдейи . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
3.1. Интегральные операторы преобразования Бушмана—Эрдейи первого рода и нулевого
порядка гладкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
3.2. Интегральные операторы преобразования Бушмана—Эрдейи второго рода и унитарные
операторы преобразования Сонина—Катрахова и Пуассона—Катрахова . . . . . . . . . . 301
3.3. Приложения операторов преобразования Бушмана—Эрдейи, Сонина—Катрахова и
Пуассона—Катрахова к дифференциальным уравнениям с особенностями в коэффициентах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
3.3.1. Приложения операторов преобразования Бушмана—Эрдейи к задачам для уравнения Эйлера—Пуассона—Дарбу и лемме Копсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
3.3.2. Приложения операторов преобразования Бушмана—Эрдейи, Сонина—Катрахова
и Пуассона—Катрахова к установлению формул связи между решениями дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
3.3.3. Приложения операторов преобразования Сонина—Катрахова и Пуассона—
Катрахова к решению некоторых интегродифференциальных уравнений . . . . . 307
3.4. Приложения операторов преобразования Бушмана—Эрдейи к установлению эквивалентности норм пространств И. А. Киприянова и весовых пространств С. Л. Соболева . . . . 308
Глава 4. Общие весовые краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений . . . . 312
4.1. Функциональные пространства Hs
ν (En+1
+ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
4.1.1. Определения и внутренние теоремы вложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
4.1.2. Некоторые результаты о мультипликаторах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
4.1.3. В есовые следы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
4.2. Функциональные пространства Hs
ν (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
4.2.1. Разбиение единицы и определения функциональных пространств . . . . . . . . . 322
4.2.2. Теоремы вложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
4.3. Эллиптическая краевая задача в полупространстве с нелокальными краевыми условиями дробного порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
4.3.1. Постановка краевой задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
4.3.2. Регуляризатор и априорные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
4.4. Общие весовые краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений . . . . . . . 329
4.4.1. Весовая краевая задача в полупространстве. Постоянные коэффициенты . . . . . 329
4.4.2. Весовая краевая задача в полупространстве. Маломеняющиеся коэффициенты . 331
4.4.3. В есовая краевая задача в ограниченной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
Глава 5. Новые краевые задачи для уравнения Пуассона с особенностями в изолированных
точках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
5.1. Функциональные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
5.1.1. Определение и теоремы вложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
5.1.2. Прямая и обратная теоремы о σ-следах (K-следах) . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
5.2. Новая краевая задача для уравнения Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
5.2.1. Постановка краевой задачи и изолированные особые точки гармонических функций 348
5.2.2. Существование и априорная оценка решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
Глава 6. Композиционный метод построения операторов преобразования . . . . . . . . . . . 356
6.1. Общая схема композиционного метода построения операторов преобразования . . . . . 356
6.1.1. B-гиперболические операторы преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
6.1.2. B-эллиптические операторы преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
6.1.3. B-параболические операторы преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
6.1.4. Операторы сдвига по спектральному параметру типа Лаундеса . . . . . . . . . . 362
Глава 7. Приложения метода операторов преобразования к оценкам решений для дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и задаче Е. М. Ландиса 364
7.1. Приложения метода операторов преобразования для возмущённого уравнения Бесселя
с переменным потенциалом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
7.1.1. Решение основного интегрального уравнения для ядра оператора преобразования 366
7.2. Приложение метода операторов преобразования к задаче Е. М. Ландиса . . . . . . . . . 368
Благодарности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
Валерий Вячеславович Катрахов: краткая биографическая справка . . . . . . . . . . . . . . . 374
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376