Книга охоплює основні питання теорії ймовірностей і математичної статистики, з якими часто зустрічаються на практиці наукові працівники та інженери різних спеціальностей.
У книзі викладені основи теорії випадкових величин і випадкових функцій, кореляційної теорії, марковських випадкових процесів, випадкових течій, вибіркової теорії, оцінки параметрів і законів розподілу випадкових величин, регресійного аналізу, теорії перевірки статистичних гіпотез, оцінки характеристик випадкових функцій, а також питання дисперсійного аналізу, кластерного аналізу і робастних статистичних методів. Матеріал представлено у конспективному стилі: на базі упорядкованих визначень, теорем, положень, наслідків, зауважень, попереджень, приміток та прикладів.
Для читача достатньо знань вищої математики в об’ємі типових курсів вищих технічних навчальних закладів.
Author(s): Горбань І.І.
Year: 2003
Language: Ukrainian
Pages: 244
City: Київ
Tags: теорія імовірності, статистика, математика, інженерія
Вступ
1. Основні положення теорії ймовірностей
1.1. Математичне поняття ймовірності
1.1.1. Класична та статистична ймовірності
1.1.2. Основні положення теорії множин
1.1.3. Основи теорії міри
1.1.4. Аксіоматичне визначення ймовірності
1.1.5. Основні теореми і формули теорії ймовірностей
1.2. Скалярні випадкові величини
1.2.1. Основні визначення
1.2.2. Ймовірнісні характеристики випадкової величини
1.2.3. Неймовірнісні (числові) характеристики випадкової величини
1.3. Векторні випадкові величини
1.3.1. Ймовірнісні характеристики векторної випадкової величини
1.3.2. Умовні мовірнісні характеристики векторної випадкової величини
1.3.3. Неймовірні сні (числові) характеристики векторної випадкової величини
1.4. Перетворення випадкових величин
1.4.1. Поняття про математичні перетворення
1.4.2. Перетворення скалярної випадкової величини
1.4.3. Перетворення векторної випадкової величини
1.5. Приклади випадкових величин
1.5.1. Гауссівська випадкова величина
1.5.2. Розподіли, пов'язані з гауссівськими
2. Основні положення теорії випадкових функцій
2.1. Уявлення про випадкові функції
2.1.1. Визначення і класифікація
2.1.2. Ймовірнісні характеристики випадкових функцій
2.1.3. Умовні ймовірнісні характеристики випадкових функцій
2.2. Неймовірнісні характеристики випадкових функцій
2.2.1. Моментні і кумулянтні функції випадкових функцій
2.2.2. Одновимірні і двовимірні моментні функції випадкових функцій
2.2.3. Умовні моментні і кумулянтні функції випадкових функцій
2.3. Векторні випадкові функції
2.4. Перетворення випадкових функцій
2.4.1. Класифікація операторів
2.4.2. Перетворення випадкових функцій безінерційними операторами
2.4.3. Перетворення випадкових функцій лінійними інерційними операторами
3. Кореляційна теорія випадкових функцій
3.1. Гауссівські випадкові функції
3.2. Стаціонарні та нестаціонарні випадкові функції
3.2.1. Стаціонарні випадкові функції та їх опис
3.2.2. Опис нестаціонарних випадкових функцій
3.2.3. Інтервали кореляції
3.2.4. Стаціонарні векторні випадкові функції
3.3. Ергодичні випадкові функції
3.4. Кореляційні та коваріаційні функції комплексних випадкових функцій
3.5. Спектральний аналіз стаціонарних випадкових функцій
3.5.1. Основи спектрального аналізу
3.5.2. Спектральне представлення випадкових функцій
3.5.3. Вузькосмугові і широкосмугові випадкові функції. Білий шум
3.5.4. Взаємна спекральна щільність потужності
3.6. Перетворення стаціонарних випадкових функцій лінійними операторами
3.6.1. Математичний опис лінійних інерційних операторів
3.6.2. Перетворення випадкових функцій лінійними інерційними операторами
3.6.3. Перетворення білого шуму лінійними операторами
4. Марковські випадкові процеси
4.1. Початкові уявлення про марковські процеси та їх класифікація
4.2. Ланцюг Маркова
4.3. Неперервний марковський процес
4.4. Приклади дифузійних марковський процесів
4.4.1. Чисто дифузійний (вінерівський) процес
4.4.2. Гауссівський марковський процес
4.5. Методи розв'язання рівнянь Колмогорова
4.5.1. Аналітичні методи розв'язання рівнянь Колмогорова
4.5.2. Чисельні методи розв'язання рівнянь Колмогорова
4.6. Дискретний марковський процес
4.7. Застосування теорії марковський процесів
4.8. Напівмарковський випадковий процес
5. Випадкові течії
5.1. Класифікація і основні характеристики випадкових течій
5.2. Найпростіша течія
5.3. Узагальнення найпростішої течії
5.4. Течії з обмеженою післядією
5.4.1. Течії Пальма
5.4.2. Течії Ерланга
5.4.3. У загал ьнена течія Ерланга
5.4.4. Транспортна течія
5.5. Використання теорії випадкових течій
6. Основні положення вибіркової теорії
6.1. Способи представлення статистичної інформації про випадкову величину і властивості цієї інформації
6.1.1. Генеральна і вибіркова сукупності
6.1.2. Варіаційний ряд. Статистичний розподіл вибірки. Статистична функція розподілу
6.1.3. Моменти вибіркового розподілу
6.2. Закон великих чисел
6.2.1. Нерівність Чебишева
6.2.2. Теорема Чебишева
6.2.3. Теорема Бернуллі
7. Оцінка параметрів і законів розподілу випадкової величини
7.1. Поняття про точкову оцінку параметрів розподілу
7.2. Властивості оцінок параметрів розподілу
7.2.1. Зміщені і незміщені оцінки
7.2.2. Спроможні оцінки
7.2.3. Ефективні оцінки
7.2.4. Достатні оцінки
7.3. Методи отримання оцінок параметрів розподілу випадкових величин
7.3.1. Метод моментів
7.3.2. Метод максимуму вірогідності
7.3.3. Метод максимуму апостеріорної щільності ймовірності
7.4. Закони розподілу оцінок параметрів гауссівського розподілу
7.5. Інтервальне оцінювання
7.5.1. Загальні поняття про інтервальне оцінювання
7.5.2. Наближений метод розрахунку меж довірчого інтервалу за заданою довірчою ймовірністю
7.5.3. Точні методи побудови довірчих інтервалів для параметрів випадкової величини
7.6. Оцінка ймовірності події по частоті її появи
8. Основи регресійного аналізу
8.1. Регресійні залежності
8.2. Лінійна середньоквадратична регресія
8.3. Оцінка параметрів лінійної середньоквадратичної регресії
8.4. Множинна регресія
8.5. Нелінійна середньоквадратична регресія
8.6. Коефіцієнт рангової кореляції
8.7. Регресійний аналіз випадкових функцій
8.8. Оцінка коефіцієнтів лінійної регресійної моделі випадкової функції
8.8.1. Метод найменших квадратів
8.8.2. Планування експериментів
9. Основи теорії перевірки статистичних гіпотез
9.1. Основні поняття теорії перевірки статистичних гіпотез
9.2. Критерій якості прийняття рішення
9.3. Перевірка гіпотез про значення математичного сподівання гауссівської випадкової величини
9.4. Послідовний аналіз
9.5. Перевірка непараметричних статистичних гіпотез
9.5.1. Поняття про критерії згоди
9.5.2. Критерій згоди Колмогорова
9.5.3. Критерій згоди омега-квадрат
9.5.4. Критерій згоди хі-квадрат
9.6. Перевірка гіпотези про незалежність випадкових величин
9.7. Перевірка гіпотези про приналежність вибірок одному розподілу
10. Оцінка характеристик випадкових функцій
10.1. Особливості застосування вибіркового методу при визначенні характеристик випадкових функцій
10.2. Оцінка математичного сподівання випадкової функції
10.2.1. Оцінка математичного сподівання випадкової функції по ансамблю реалізацій
10.2.2. Оцінка математичного сподівання випадкової функції по одній реалізації
10.2.3. Похибка дискретизації при отриманні оцінки математичного сподівання стаціонарної випадкової функції
10.2.4. Оцінка математичного сподівання стаціонарної випадкової функції по аргументу й множині реалізацій
10.2.5. Оцінка математичного сподівання нестаціонарної випадкової функції по одній реалізації
10.3. Оцінка дисперсії випадкової функції
10.3.1. Оцінка дисперсії випадкової функції по ансамблю реалізацій
10.3.2. Оцінка дисперсії випадкової функції по одній реалізації
10.3.3. Похибки дискретизації при оцінці дисперсії
10.4. Оцінка кореляційної функції
10.4.1. Оцінка кореляційної функції по ансамблю реалізацій
10.4.2. Оцінка кореляційної функції стаціонарної випадкової функції
10.4.3. Оцінка кореляційної функції стаціонарної випадкової функції по дискретних відліках
10.5. Оцінка спектральної щільності стаціонарної випадкової функції
11. Додаткові питання
11.1. Дисперсійний аналіз
11.1.1. Основи дисперсійного аналізу
11.1.2. Багатофакторний дисперсійний аналіз
11.2. Основи кластерного аналізу
11.3. Робастні статистичні методи
11.3.1. Робастні оцінки
11.3.2. Перевірка гіпотез з елементами робастної обробки даних
11.3.3. Регуляризація оцінок
Додатки
Додаток 1. Дельта-функція
Додаток 2. Гама-функція
Додаток 3. Неперервність, диференційованість та інтегровність випадкових функцій
Додаток 4. Перетворення Гільберта й аналітичний сигнал
Додаток 5. Хі-квадрат розподіл
Додаток 6. Розподіл Стьюдента (t-розподіл)
Додаток 7. Таблиці гауссівської функції розподілу
Додаток 8. Таблиця χ2-розподілу
Додаток 9. Таблиця розподілу Стьюдента (t-розподілу)
Додаток 10. Таблиця розподілу Колмогорова
Додаток 11. Таблиця розподілу омега-квадрат
Додаток 12. Таблиця зваженого розподілу омега-квадрат
Додаток 13. Таблиця В-розподілу
Додаток 14. v2-розподіл і розподіл Фішера
Предметний показчик
Список літератури
