数学分析之课程讲义(丘成桐数学英才班试⽤)

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前言之二
前言之一
声明
目录
简介
实数的公理化描述
区间套公理与确界原理，距离空间
实数的构造：Dedekind分割
作业：可数与不可数，Schroeder-Bernstein定理
极限，级数，Cauchy列，距离空间中的收敛
Cauchy判别准则，向量序列的收敛，Bolzano-Weierstrass的列紧性定理，数列和级数收敛的Cauchy判断，e的定义，绝对收敛，收敛的控制判别法
指数函数与三角函数的构造，指数函数与三角函数的代数性质，双指标级数的求和
作业：Riemann重排，Cesàro求和，Banach-Mazur游戏
乘积级数与Riemann -函数，振荡级数的收敛判断（Dirichlet与Abel判别法），完备距离空间，完备赋范线性空间，Picard不动点定理／压缩映像定理，等价距离／范数，矩阵的指数映射
作业：素数的倒数和，Basel问题的Euler“证明”
函数的连续性
距离空间之间的连续映射，介值定理，初等函数的构造
开集，闭集，紧集，闭包，聚点，连续函数的拓扑刻画
作业
紧性与开覆盖，Heine-Borel定理，Lebesgue数，一致连续，函数列的逐点收敛与一致收敛，闭区间上连续函数空间(C(to.[a,b])to.,"026B30D "026B30D )。
利用级数收敛来构造连续函数，距离空间的完备化
作业：有无穷多素数的拓扑证明
期中考试：连续函数环的极大理想
导数的定义，初等函数导数的计算
Leibniz公式，Faà di Bruno公式，导数的基本性质，在赋范线性空间中取值的函数的导数，求极值，Rolle与Lagrange中值定理，处处连续处处不可微函数的构造
xexp(xA)的导数，中值定理的应用：线性常微分方程，Darboux介值定理，Cauchy中值定理，三角函数与微分方程，的定义
作业：高木贞治函数
空间填充曲线，L'Hôpital法则，Taylor展开
凸函数，利用Jensen不等式证明常见的不等式
作业：Émile Borel引理，Peano的证明
Riemann积分的定义：区间的分划，简单函数，Riemann可积函数
Riemann和，Darboux上下和，上下积分
作业：Sturm-Louville理论的一个例子
紧区间上Riemann可积函数的刻画，Newton-Leibniz公式，分部积分公式，变量替换公式，原函数的计算，圆面积的计算：证明的几何意义
作业：Dini定理，多项式逼近与Weierstrass-Stone定理
振幅，零测集，Lebesgue定理
积分的基本性质，积分余项的Taylor公式，反常积分，反常积分的收敛性：控制收敛，面积法，Euler常数，Wallis积分与Stirling公式
历史注记：Newton和Leibniz时代的微积分，Leibniz对4的级数表示，微分与积分的交换定理，利用含参积分的计算积分
作业：(2)的无理性
常微分方程解的存在唯一性，Kepler三大定律的证明，变分法：两点之间线段最短
变分法：最速降线问题，Huygens等时定理，积分第一中值定理
作业：可写成两个完全平方数的和的整数的密度
第二积分中值定理，Stieltjes积分
Stieltjes积分的中值定理，利用Stieltjes积分的中值定理证明第二积分中值定理
作业：振荡积分
一元微积分拾遗：Baire纲定理及其应用，原函数的初等函数表示定理：Liouville定理
一元微积分拾遗：振荡与衰减，Riemann-Lebesgue引理，van der Corput型估计
建议阅读：第一学期课程没有覆盖的内容
第一学期期末考试：Gauss的一个椭圆积分的计算，011+xdx的计算，整系数多项式的Chudnovsky逼近
寒假作业
数学分析二： 方向导数，偏导数和微分，利用偏导数连续判断微分存在，导数与极值
映射的微分，利用偏导数表示微分，Jacobi矩阵，微分的链式法则，逆映射微分的计算，矩阵代数中指数映射的微分
作业：齐次函数与Euler公式
微分同胚，坐标变换，Clairaut-Schwarz定理（偏导数可交换），多元函数的 Taylor 展开，Rn中光滑子流形的定义
子流形用坐标表示，子流形作为零点集来实现，反函数定理及证明，反函数定理与坐标变换之间的关系
习题课：拓扑空间
作业：反函数和隐函数定理
隐函数定理，隐函数定理的子流形叙述，子流形的判定：光滑曲线，光滑曲面超曲面的例子，子流形的参数化表示，Möbius带的研究
子流形的原像定理，切空间的定义，超曲面的切空间与法向量，
作业：隐函数与反函数定理，隐函数定理在多项式和矩阵上的一个重要应用，经典群的子流形结构
子流形之间的光滑映射，子流形之间光滑映射的微分，切向量场的定义（=向量值函数），切丛，切丛是光滑子流形，子流形上的微分学与极值问题：Lagrange乘子法，子流形上的反函数定理和隐函数定理
多元函数Hesse矩阵，极值点的二阶导数判定，凸函数
习题课：球极投影
作业：Lagrange乘子法，Morse引理，横截相交性
-代数，由某些子集生成的-代数，Borel-代数，-代数的张量积，R2上的Borel代数与R1上的Borel代数之间的关系，单调类，单调类+代数-代数，可测空间，可测映射，-代数的拉回，可测性的生成元判据，到乘积空间可测性的判据，距离空间的乘积空间上的-代数，可测函数的性质
测度，测度空间，-有限性，测度的基本性质，Carathéodory扩张定理：如何利用代数定义外测度导出-代数上的测度
测度的像（推出），Lebesgue测度的构造，平移不变性刻画Lebesgue测度，Lebesgue测度在尺度变换下的变换，测度空间的完备化，简单／阶梯函数的定义
简单函数的积分，测度空间上积分的定义，零测集，几乎处处，Beppo Levi定理
作业：子流形与零测集，Stieltjies 测度的构造，Borel-Cantelli 定理和无理数的逼近
Lebesgue积分与Riemann积分之间的关联，可积函数空间，积分的线性，L1-空间，Fatou引理，Lebesgue控制收敛定理，积分对参数的连续依赖性，
积分与求导数的可交换性，乘积测度的构造
作业：Lebesgue 控制收敛，十进制小数的研究
习题课：硬币空间的测度理论
乘积测度的构造，Fubini公式的证明和应用，Rn上积分的降维计算：Arichimedes 的墓碑
作业：Archimedes对抛物线面积的计算，Gauss积分
抽象换元积分公式，Borel测度的正则性引理，微分同胚下换元积分公式的证明
常用的换元积分，行列式的几何含义，子流形上的测度与积分：第一型曲线／曲面积分，函数图像上的积分公式
期中考试：非Borel集的构造
子流形上积分的计算：n-维球的体积，Archimedes公式. 截断函数的构造，周期的单位分解，有界带边光滑区域，单位外法向量，在函数图像上的计算，Stokes公式的第一个证明
Sard型引理，Stokes公式的微分拓扑证明
作业：曲面曲线积分的计算
习题课：Riemann积分的定义1
子流形上的积分的计算，第一／二型子流形／曲线／曲面积分，向量场的运算，散度定理，Green 公式，Gauss-Ostrogradsky公式，散度的几何/物理解释
二维的 Brouwer 不动点定理的证明，Hilbert 空间，赋范线性空间完备性的级数判定，Fischer-Riesz定理
偶数维球面上的切向量场，L2与L的完备性，连续线性算子，线性映射的延拓，卷积与函数逼近
作业：Stokes公式的应用
习题课：Riemann积分的定义2
用光滑函数的逼近L1函数，可分的Hilbert空间，Hilbert基，Fourier级数的定义，Fourier级数的L2理论
Fourier级数的L2-理论，高维Fourier级数的L2-理论，绝对收敛的Fourier级数
作业：波动方程的局部能量估计
习题课：Riemann积分的定义3
物理空间的光滑性与频率空间的衰减，Riemann-Lebesgue引理，Dirichlet核，Féjer核，Féjer核的收敛理论，局部化引理
du Bois-Reymond反例，Fourier级数收敛的Dirichlet定理，Fourier级数收敛的Dini定理，Hölder连续函数Fourier级数收敛理论，有界变差函数的Jordan定理 Fourier级数收敛理论
作业：Fourier级数的计算，三角函数与球谐函数
Bernstein定理，Fourier级数在等分布问题上的应用
Roth三项等差数列定理
作业：Fourier级数几乎处处发散的L1-函数
期末考试：Maass波函数的展开
分布的定义与例子：Radon测度，局部可积函数到分布的嵌入，主值部分
分布的操作：限制，求导数，与微分同胚复合，链式法则。Stokes公式的分布形式。
1维的跳跃公式，Cauchy积分公式，Cauchy-Riemann算子的基本解，单位分解
分布的局部刻画，分布的支集，支集在一点处的分布的结构定理
作业：齐次分布，Hadamard有限部分，分布除以多项式
分布的卷积：分布与微分和积分的交换，分布与紧支集分布的卷积，Dirac分布与平移，卷积与求导数的交换
卷积的连续性，基本解，Cauchy-Riemann方程的椭圆正则性，热方程的基本解
作业：分布的例子，Laplace算子、位势方程与分布
可卷集，R3上的波动算子的基本解，R3上的波动方程
选读部分：复分析相关知识简介，极大值原理，Laurent展开，留数定理（在Fourier变换的计算中要用）
Fourier分析：L1(Rn)上的Fourier变换，Riemann-Lebesgue引理，频率空间与物理空间的基本观点， Gauss函数的Fourier变换，Fourier变换的逆变换
L2上的Fourier变换，Planchrel公式，Schwartz空间，Schwartz函数的例子，试验函数在Schwartz空间中的稠密性，Schwartz空间上的Fourier变换，缓增分布的定义
作业：Fourier逆变换的另一个计算，一个分布扩张的问题，分布的张量积
缓增分布的Fourier变换：定义与基本例子的计算
缓增分布的Fourier变换与卷积
分布理论与Fourier变换在数学物理方程上的应用：求波动方程与热方程的基本解。Sobolev空间的定义，Sobolev空间的映射性质。
Sobolev空间的基本性质，Fourier乘子，Sobolev空间的稠密子空间，有紧支集分布的结构定理，Sobolev嵌入定理，高指数的Sobolev空间是一个代数，
作业：Fourier变换的计算，Heisenberg测不准原理，分数次Sobolev空间的物理空间刻画，1维的Poisson求和公式
Riesz表示定理，Hilbert空间中的正交投影，Sobolev空间的对偶性，Sobolev空间的限制定理（迹定理）
有界区域上的Sobolev空间，1维区间上的Sobolev空间的经典表述，椭圆边值问题，Poincaré不等式
期中测验
Dirichlet问题的初步研究：存在性与解算子，用全空间上的连续函数逼近上半空间上的H1函数，H1函数从半空间到全空间的扩张
限制（迹）定理的连续性，半空间上Sobolev空间的限制（迹）定理，限制的正合列
高指数Sobolev空间从半空间到全空间的扩张，Sobolev函数的局部刻画，从H1()到H1(Rn)扩张，用全空间上的光滑函数逼近的H1()，曲面上的Sobolev空间的定义
作业：二维波动方程的基本解，Airy函数与线性KdV方程
子流形上的Sobolev空间的定义与等价定义，有界区域上Sobolev空间的限制（迹）定理以及限制正合列，Dirichlet问题的边值的确切含义以及Dirichlet问题的解决，位势方程的边值问题的高阶椭圆正则性定理
习题（利用变分与Riesz表示定理解微分方程）：一个弹性力学的模型
完备内积空间上的紧算子，自伴算子与弱收敛理论
紧算子的谱理论：Hilbert-Schmidt定理，Laplace算子的谱分解定理，正方形区域上Laplace算子的特征函数与特征值的计算，正方形区域上上Laplace算子特征值的增长率
Laplace算子的特征函数的应用：利用特征函数刻画函数空间，各阶特征值的变分表述，相互包含区域的特征值比较，弱化版本的Weyl渐近公式：一般区域上的Laplace算子的特征值的增长率
H10()H2()的刻画，保证分布落在H10()Hm()中的必要条件，特征函数到边界的连续性（光滑边界），利用特征函数构造热核（频率空间的观点）
利用热方程刻画热核（物理空间的观点），热方程的极大值原理，热核的正性与对称性，区域上热核与全空间热核的比较定理
热核的渐近展开，热核在对角线上的积分，Karamata的Tauber型渐近公式，Weyl渐近公式的证明，波前集的定义
波前集以及其等价定义，微局部光滑性意味着局部光滑性，一个非驻相法的引理（理论的技术核心），波前集在微分同胚下的变换
微局部的椭圆正则性定理，拟解（paramatrix）的构造，双特征曲线（bicharacteristics），奇性传播定理的叙述
奇性传播定理的证明
分布理论期末复习题
第一套
第二套
第三套