Il Bernoccolo Del Calcolo I - Esercizi Di Analisi Matematica I-CLUT () [Guillermo Gonzalo Quelali]

Indice
1 Prima di partire per un lungo viaggio... 1
1 Alcuni quesiti di teoria - logica e insiemistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Gli insiemi numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Intervalli in li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Alcuni quesiti di teoria - max, min, sup, inf in li . . . . . . . . . . 8
3 Polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Piano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 Alcuni quesiti di teoria - funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.1 Ancora qualche richiamo di teoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6 Strategia grafica per la risoluzione di equazioni e disequazioni . . . . . . 23
7 Retta, equazioni e disequazioni di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7 .1 Alcuni esercizi di base sulla retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8 Parabola, equazioni e disequazioni di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . 35
9 Polinomio di grado superiore al secondo, equazioni e disequazioni . . . . 43
10 L'iperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
11 Rapporto di polinomi di grado superiore al secondo, equazioni e disequazioni
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7
12 Il valore assoluto, equazioni e disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
13 Gli irrazionali, equazioni e disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
13.1 Radicali .............. : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
13.2 Funzione radice quadrata f(x) = -Jx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
13.3 La funzione radice cubica f(x) = {lx . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
13.4 Equazioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
13.5 Disequazioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
14 L'esponenziali e il logaritmo: equazioni e disequazioni . . . . . . . . . . . . 69
14.1 Equazione esponenziale ... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
14.2 Equazione logaritmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
14.3 Disequazione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
14.4 Disequazione logaritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
15 Angoli e loro misura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
16 Funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
16.1 Grafi.ci delle funzioni trigonometriche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
16.2 Relazioni goniometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
16.3 Equazioni goniometriche elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
16.4 Disequazioni goniometriche elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
17 max, min, sup, inf in lliL. il ritorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
18 Quesiti di autovalutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2 Sulle funzioni e sui grafici 105
1 Alcuni quesiti di teoria - funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2 Funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3 Immagine e controimmagine................................ 110
4 Composizione di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5 Immagine e controimmagine di funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . 115
6 Funzioni monotone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7 Monotonia di funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8 Funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9 Funzione reciproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
10 La danza delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10.1 Diseq4azioni risolte graficamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
11 Qualche esercizio di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
12 Quesiti di autovalutazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3 Sui numeri complessi 149
1 Alcuni quesiti di teoria - numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2 I radicali .................................... ·. . . . . . . . . . 152
3 Esercizi di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4 Operazioni con i numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5 Potenza e radice n-sima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6 Equazioni in C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7 Disequazioni in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8 Qualche esercizio di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9 Quesiti di autovalutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4 Sui limiti e sui confronti locali 177
1 Alcuni quesiti di teoria - limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
2 Definizione di limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3 Continuità ............................................. · 187
4 Limiti di funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5 Continuità delle funzioni definite a tratti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6 Punti di discontinuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7 Algebra dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8 Limiti di successione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9 Limiti di funzioni razionali fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
10 Non esistenza dei limiti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
10.1 Non esistenza dei limiti per il dominio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
10.2 Teorema. Limite di restrizioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
10.3 Criterio di non esistenza del limite di una funzione . . . . . . . . . 209
11 Teorema del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Infiniti, infinitesimi e simboli di Landau ...................... .
Limiti Fondamentali ..................................... .
Applicazione dei simboli di Landau ......................... .
14.1 Ordine di infinitesimo e parte principale ............... .
14.2 Ordine di infinitesimo e parte principale con parametri ..... .
14.3 Ordine di infinito e parte principale ................... .
14.4 Calcolo dei limiti con i simboli di Landau ............... .
14.5 Calcolo dei limiti con parametri ...................... .
14.6 Limiti di funzioni irrrionali ......................... .
Limiti del tipo lim [f(x)]9(x .............................. .
x-txo
f prolungabile per continuità .............................. .
Asintoti .............................................. .
Teorema di Weierstrass .................................. .
Teorema di esistenza degli zeri ............................. .
En un pis-pas .......................................... .
Quesiti di autovalutazione ................................ .
5 Sul calcolo differenziale 267
1 Alcuni quesiti di teoria - derivate di funzioni elementari . . . . . . . . . . . 268
2 Definizione di derivata nel punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
· 3 Le regofo di derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
3.1 La linearità della derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
3.2 La derivata del prodotto e del rapporto . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
3.3 La derivata della funzione composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
3.4 La derivata della funzione h(x) = f(x)g(x) . . . . . . . . . . . . . . . 275
4 E se le funzioni non fossero esplicite? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
5 Retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa xo . . . . . . . . . . . . . 278
6 Punti di non derivabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
7 Punti di derivabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
7.1 Derivabilità con parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
8 Derivata della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
9 Intervalli di monotonia, massimo e minimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
10 Teorema di Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
11 Teorema di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
12 Teorema di De l'Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
12.1 Situazioni in cui non possiamo applicare il teorema di De Hopital.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
13 Le funzioni iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
14 Quesiti di autovalutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
15 Derivate successive e Sviluppo di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
15.1 Alcuni quesiti di teoria - MacLaurin e Taylor. . . . . . . . . . . . . 312
16 Sviluppo di Taylor, il calcolo diretto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
17 Esercizi di riscaldamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
18 Algebra degli "o-piccolo" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
19 Sviluppi di Taylor e MacLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
20 Convessità, concavità e flessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
21 Ordine di infinitesimo e parte principale ........... ·. . . . . . . . . . . . 338
22 Calcolo del limite attraverso la ricerca delle parti principali . . . . . . . . 344
23 Quesiti di autovalutazione .. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
6 Sullo studio di funzioni 353
1 Studio di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
7 Sul calcolo integrale 367
1 Alcuni quesiti di teoria - integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
2 Integrali immediati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
3 Linearità dell'integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
4 Integrazioni per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
5 Integrali per sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
6 Integrazione di funzioni razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
7 Integrazione di funzioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
8 Formule parametriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
9 Primitive in senso generalizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
10 Integrale definito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
10.1 Integrali definiti con valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
10.2 Applicazione. Calcolo delle aree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
11 Teorema della media integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
12 Integrali impropri: calcolo diretto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
13 Integrali impropri: criteri del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
13.1 Convergenza assoluta............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
14 Funzioni integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
14.1 Sviluppi di Taylor e MacLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
14.2 Limiti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
14.3 Derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
15 Azzecca la funzione! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
16 Quesiti di autovalutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
8 Sulle equazioni differenziali 433
1 Alcuni quesiti di teoria - equazione differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
2 Equazioni differenziali del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
2.1 Equazioni differenziali a variabili separabili . . . . . . . . . . . . . . 436
2.2 Equazioni differenziali lineari del primo ordine . . . . . . . . . . . . 439
3 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
3.1 Equazione differenziale lineare coefficienti costanti omogenea . 443
3.2 Equazione differenziale lineare a coefficienti costanti completa 446
4 Quesiti di autovalutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
A Simbologia 463
Bibliografia