[数学の杜 5] 平井武, 群のスピン表現入門ー初歩から対称群のスピン表現(射影表現)を越えて, 数学書房, 2018......Page 1
まえがき......Page 5
目次......Page 11
閑話休題1.3.1......Page 67
1.3.7 n次交代群 An の既約表現......Page 68
閑話休題1.3.3 (お楽しみ)......Page 71
3.3 誘導表現 Π(π^0,π^1)の指標と既約性......Page 112
4.8.1 射影表現の一般理論の中における立ち位置......Page 161
5.5.2 今後の見通し......Page 196
閑話休題6.3.1......Page 224
閑話休題7.2.1......Page 245
閑話休題7.3.1......Page 255
閑話休題9.5.1......Page 327
閑話休題10.2.1......Page 340
閑話休題13.9.1......Page 452
閑話休題A.2.1......Page 519
第Ⅰ部 群の線形表現の基本・スピン表現の初歩から置換群のスピン表現まで......Page 21
第1章 群の線形表現の基本......Page 22
1.1.1 表現の行列要素......Page 23
1.1.2 正則表現......Page 25
1.1.3 表現の指標......Page 28
1.1.4 Schurの補題......Page 30
1.1.5 直積群の既約表現......Page 31
1.2 誘導表現とその指標......Page 32
1.2.1 誘導表現の定義......Page 33
1.2.3 誘導表現の性質(段階定理, 自己同型との関係)......Page 34
1.2.4 誘導表現の指標......Page 35
1.2.5 誘導表現の例(行列表示, 指標など)......Page 38
1.2.6 指数[G:H]=2の場合......Page 46
1.2.7 Frobeniusの相互律......Page 49
1.2.8 誘導表現の部分群への制限......Page 52
1.2.9 誘導表現のー性質......Page 53
1.3.1 n次対称群 Sn の標準的基本表現......Page 54
1.3.2 n次対称群 Sn の共役類......Page 57
1.3.3 標準的基本表現 Π_λ の指標......Page 58
1.3.4 Frobeniusによる既約指標の記述......Page 60
1.3.5 既約表現の次元公式......Page 63
1.3.6 既約表現π_λ(λ∈Pn)とYoung図形, 同伴表現......Page 64
1.3.8 有限群Gの分裂体(おはなし)......Page 69
2.1 射影表現(スピン表現)の定義......Page 73
2.2 群の中心拡大とスピン表現......Page 76
2.3 対称群 Sn の表現群(普遍被覆群)......Page 81
2.4 巡回群の直積 Dn(Zm) の場合......Page 83
2.5 2重被覆群 ~Dn(Zm) のスピン表現とその指標......Page 87
2.6 Clifford代数との関係......Page 93
2.7 Sn の M(N,C) への種々の作用とスピン表現......Page 94
2.8 nの分割と群 Sn および ~Snの共役類......Page 96
2.8.2 ~Sn の共役類とnの分割......Page 97
2.9 対称群のスピン表現∇(1),∇(2),∇(3)の指標......Page 99
2.10.1 2重被覆群 Spin(n) の実現......Page 101
2.10.3 Spin(n) の射影表現(SO(n)の2価表現)......Page 102
2.10.4 Spin(n)の既約表現への Sn-作用と相関作用素......Page 104
3.1.1 正規部分群への制限 π|U の構造......Page 106
3.1.2 群 H の既約表現の構成にはスピン表現が出現する......Page 109
3.2 コンパクト群と有限群の半直積の既約表現......Page 110
3.3.2 Π(π^0,π^1)の既約性......Page 113
3.3.3 指標_{χΠ} の直交関係......Page 114
3.4.2 完全性の証明：コンパクト群Gの場合......Page 116
3.5 半直積群 Dn(T) rtimes Sn の既約表現の完全系......Page 118
3.6.1 スピン既約表現ρに対する固定化群S([ρ])......Page 120
3.6.2 スピン双対における Sn-軌道の完全代表元系......Page 121
3.6.3 σ^II(P_γ) と P_{σγ} との間の相関作用素......Page 122
3.6.5 J_ρは2価表現を与える......Page 125
3.6.6 Π(π^0,π^1) における既約表現 π^1 は2価であるべし......Page 126
4.1 ある種の2重被覆有限群の歪中心積......Page 128
4.2 2重被覆群に対するスピン表現の初等理論......Page 132
4.3 歪中心積群 S'_1^*S'_2^*…^* S'm のスピン表現の構成......Page 137
4.4.2 スピン表現の歪中心積 π_1^*…^* π_m の結合律？......Page 142
4.4.3 スピン表現の歪中心積 π_1^*…^* π_m の可換律？......Page 143
4.5.1 歪中心積表現 π_1^*…^*π_m の指標公式......Page 145
4.5.3 指標の歪中心積 f_1^*f_2^*…^*f_m の不思議な性質......Page 149
4.5.4 歪中心積表現 π=π_1^*…^*π_m の代表系......Page 152
4.6.1 歪中心積 π=π_1^*…^*π_m の指標に関する等式......Page 155
4.6.2 直交性(命題4.5.8)の証明......Page 157
4.6.3 mho(S')= mho^{even}(S') bigsqcup {π,sgn・π；π∈ mho^{odd}(S')} の完全性......Page 158
4.7 S'の正規部分群 B'= Ker(sgn) のスピン既約表現......Page 160
4.8.2 複素鏡映群などのスピン表現の研究......Page 163
4.8.3 n→∞の極限操作と無限鏡映群のスピン指標の研究......Page 164
5.1 Sn の表現群とSchurの '主表現'......Page 166
5.2.1 共役類の標準的代表元......Page 174
5.2.2 Glaisher対応, 分割の個数, 共役類の種別......Page 177
5.2.3 ~Sn,~An の共役類の種別のまとめ......Page 179
5.2.4 ~Sn, ~An のスピン既約表現の個数......Page 180
5.3 Schur-Young部分群の主表現......Page 182
5.4.1 ~Sn のスピン基本表現......Page 188
5.4.2 標準的スピン基本表現の指標......Page 190
5.5.1 非自己同伴スピン既約表現τ_λ(λ∈SP_n^-)......Page 195
6.1 ~Sn のスピン基本表現とスピン指標のなす環......Page 198
6.1.1 Pnでの部分的逆辞書式順序と~π_λ(λ∈Pn)の順序......Page 199
6.1.2 スピン指標を部分群 ~An 上に制限したものが生成する環......Page 201
6.1.3 R^{ass}_Z における積の具体的表示......Page 205
6.1.4 環R^{ass}_C におけるノルム......Page 207
6.1.5 希望的観測とそれを実現するための道具......Page 208
6.1.6 スピン既約表現τ_λ, sgn・τ_λ......Page 211
6.2.1 既約指標χ_Δ'_n の母関数 q_n......Page 212
6.2.2 q_nの性質......Page 214
6.2.3 特性写像Chは同型写像である......Page 215
6.2.4 mathscr{Q}_{n,C} における双対基底......Page 217
6.3.1 Q_μ (μ∈Pn) の定義......Page 219
6.3.2 解説：パフィアンについて......Page 222
6.4.1 直交関係定理とその証明の手順......Page 225
6.4.2 鍵となる先頭項命題 6.4.3......Page 227
6.4.3 直交関係定理の証明のための補題2個......Page 230
6.4.4 直交関係定理 6.4.1 の証明......Page 234
6.4.5 直交関係定理から指標定理(主定理)へ......Page 235
7.1 スピン既約表現の次元公式......Page 237
7.2.1 nが小さいときの次元の表......Page 240
7.2.2 ~Sn のスピン表現, Sn の線形表現, の最低次元......Page 241
7.3.1 スピン基本表現 ~Π_λの分岐律......Page 247
7.3.2 スピン既約表現の特定, そして既約分解......Page 249
7.3.3 スピン既約表現 τ_λ の分岐律......Page 250
8.1.1 被覆群 ~Sn の新しい生成元系......Page 257
8.1.2 nの厳格分割とシフト盤......Page 258
8.1.3 スピン既約表現の表現空間......Page 260
8.2 スピン既約表現τ_{λ,γ}の構成(一般公式)......Page 262
8.3.1 n=2,3の場合(シフトヤング図形とスピン既約表現)......Page 267
8.3.2 n=4の場合(~S_4のスピン既約表現)......Page 269
8.4 一般公式の応用1. λ=(n-1,1)の場合(~Snのスピン表現)......Page 271
8.5 一般公式の応用2. λ=(4,2)の場合(~S_6のスピン表現)......Page 275
8.6 一般公式の応用3. 表現作用素の積 τ_{λ,γ}(t_1)τ_{λ,γ}(t_2) の固有値......Page 280
8.7 一般公式(定理8.2.6)の証明......Page 282
8.8.1 記号の準備......Page 286
8.8.2 空間 V_{λ,γ} の直和分解......Page 287
8.8.3 τ_{λ,γ}の ~S_{n-1} への分岐律......Page 288
8.8.4 λ↓ω, A↓Ω(Λ∈mathscr{S}_λ, Ω∈mathscr{S}_ω)などの相関関係......Page 289
8.8.5 具体例の計算......Page 290
8.9 スピン表現τ_{λ,γ}の既約性について......Page 292
8.10 2つの表現τ_{λ,1}, τ_{λ,-1}の同値・非同値......Page 296
8.11 スピン表現τ_{λ,γ}の既約性とその集合の完全性......Page 299
8.12 SchurパラメーターとNazarovパラメーター......Page 301
第Ⅱ部 有限および無限複素鏡映群のスピン表現・スピン指標, 群指標の一般理論と指標の極限......Page 305
9.1.1 スピン表現と表現群......Page 306
9.1.2 対称群の生成元と基本関係式による表示......Page 308
9.2.1 対称群 Sn と巡回群 T=Zm との環積......Page 309
9.2.2 複素鏡映群の分類......Page 310
9.3.1 一般化対称群G(m,1,n)の表現群......Page 312
9.3.2 複素鏡映群G(m,p,n)の表現群......Page 315
9.4 表現群 R(G(m,1,n)) の G(m,p,n) に対する部分群......Page 319
9.5.1 母群と子群......Page 321
9.5.2 一般化対称群 G(m,1,n) と複素鏡映群 G(m,p,n)......Page 323
9.5.3 母群 R(G(m,1,∞)) から 子群 R(G(m,p,∞)), p|m, への遺伝......Page 326
10.1.1 基盤の群 G(m,1,n) における共役類......Page 329
10.1.2 R(G(m,1,n)) のZを法とする共役類とスピン指標......Page 331
10.1.3 R(G(m,1,n)) のZを法とする共役類の完全代表元系......Page 332
10.1.4 g'∈R(G(m,1,n)) の回りのZを法とする共役(初歩)......Page 335
10.1.6 g'∈R(G(m,1,n)) のZを法とする共役(m 偶の場合)......Page 337
10.2 一般化対称群 G(m,1,n)のスピン指標の台......Page 338
10.3.1 G(m,1,∞),m 偶, のスピン指標の台の評価......Page 342
10.3.2 R(G(m,1,∞))の部分集合 mathcal{O}(Y) の性質......Page 343
10.4 R(G(m,1,∞)) の不変正定値関数の因子分解可能性......Page 347
10.5 因子分解可能ならば指標か？......Page 351
11.1 半直積群の既約表現構成の一般的手順の適用......Page 354
11.2.1 G(m,1,n), 4≦n＜∞, の既約表現の構成......Page 356
11.2.2 G(m,1,n), 4≦n＜∞, の既約指標......Page 359
11.3 対称群の歪対称積の歪対称積表現......Page 360
11.4.1 スピン型 χ^{odd}, χ^{IV} の R(G(m,1,n)) のスピン既約表現......Page 364
11.4.2 スピン型 χ^{odd}, χ^{IV} の R(G(m,1,n)) の既約指標......Page 366
11.5.1 半直積群の既約表現の構成法(第3章)の応用......Page 369
11.5.2 特別のスピン既約表現とそのテンソル積......Page 376
11.6.1 R(G(m,1,n)) の共役類の標準的代表元......Page 378
11.6.2 特別なスピン既約表現 Πn^{I0},Πn^{Iε} の指標について......Page 379
11.6.3 Πn^{I0},Πn^{Iε} および一般のスピン型χ^I の既約指標......Page 381
11.7 R(G(m,1,n))のスピン型χ^{II}=(-1,-1,-1) のスピン既約表現......Page 383
11.7.1 スピン型χ^{II}=(-1,-1,1)のスピン既約表現の構成......Page 384
11.7.2 特別なスピン既約表現と線形既約表現とのテンソル積......Page 389
11.8 R(G(m,1,n)) のスピン型χ^{II}の既約指標......Page 390
11.8.1 n = 2n^0 偶の場合......Page 392
11.8.2 n=2n^0 +1 奇の場合......Page 395
11.9.1 一般化対称群 Gn=G(m,1,n) のスピン双対に対する記号まとめ......Page 403
11.9.2 G(m,1,n), m 偶, のスピン既約表現の分類・構成のために......Page 405
12.1 群上の正定値関数, Gelfand-Raikov表現......Page 407
12.2 群の指標の新定義......Page 411
12.3 不変正定値関数(特に指標)の正規部分群への制限......Page 415
12.4.1 局所コンパクト群に対する正定値関数の一般論......Page 416
12.4.2 位相群の因子表現の指標......Page 418
12.5 環積 G=S_∞(T) から標準的部分群への制限......Page 420
第13章 群の帰納極限と指標の極限......Page 424
13.1 コンパクト群の増大列と分岐グラフ......Page 425
13.2 分岐グラフ上の調和関数......Page 428
13.3 道の空間上の中心的確率測度......Page 431
13.4 マルチンゲール, 逆マルチンゲールと収束定理......Page 434
13.5 乱歩の理論(Martin核とMartin境界)......Page 436
13.6 h-変換で乱歩になる場合......Page 441
13.7 端的中心的確率測度の下でのMartin核の極限......Page 445
13.8 既約指標の極限......Page 446
13.9 正規化された既約指標の極限はつねに指標か？......Page 449
14.1 n=∞ でのスピン指標と n→∞ の極限......Page 454
14.2.1 Thomaの指標公式......Page 457
14.2.2 Sn nearrow S_∞ に沿っての既約指標の極限......Page 460
14.3.1 無限対称群の非スピン指標とスピン指標の積......Page 462
14.3.2 ~S_∞のスピン指標(Nazarovの指標公式)......Page 463
14.3.3 ~Sn nearrow ~S_∞ (n→∞) に沿ったスピン指標の極限......Page 466
14.4 無限一般化対称群 G(m,1,∞) の非スピン指標......Page 468
14.4.1 G(m,1,n)=Sn(Zm) の非スピン正規化既約指標......Page 469
14.4.2 G(m,1,n)=Sn(Zm) の非スピン既約指標の極限......Page 470
14.5 G(m,1,∞)から標準的正規部分群Nへの制限......Page 473
14.5.1 指標 f_A ∈ E(G_∞) のパラメーターに関する対称性......Page 474
14.5.3 N=A_∞(T), A_∞＝(T)^{S(p)}, の場合......Page 475
14.6.1 有限次元スピン表現は存在しない......Page 476
14.6.2 R(G(m,1,∞),m 奇, のスピン指標......Page 477
14.7.2 スピン型χ^{IV} の R(G(m,1,∞))のスピン指標......Page 480
14.8.1 有限次元表現を許す R(G(m,1,∞))のスピン型......Page 481
14.8.2 スピン型χ^{VII}=(1,1,-1)の有限次元スピン既約表現......Page 482
14.9.1 2次元スピン既約表現とのテンソル積......Page 484
14.9.2 R(G(m,1,∞))のスピン型χ^{VII}=(1,1,-1)のスピン指標......Page 485
14.10.1 R(G(m,1,n))のスピン型χ^Iの正規化スピン指標......Page 488
14.10.2 R(G(m,1,∞))のスピン型χ^Iのスピン指標......Page 490
14.11 スピン型χ^{II}=(-1,-1,1)のスピン指標......Page 491
14.12.1 スピン型χ^{III}=(-1,1,-1)の R(G(m,1,∞))のスピン指標......Page 495
14.12.2 スピン型χ^{VI}=(1,-1,1)の R(G(m,1,∞))のスピン指標......Page 497
14.13 R(G(m,1,∞)) のスピン指標のパラメーター空間......Page 498
A.1 「前史」......Page 502
A.2.1 群の表現論の創始......Page 508
A.2.2 射影表現(スピン表現)の創始......Page 510
A.2.3 Lie群およびLie環の場合......Page 513
A.2.4 量子力学でのスピン理論と量子力学の数学的基礎付け......Page 514
A.2.5 A.H.Cliffordの仕事再発見......Page 518
A.2.6 数学における発展と量子力学......Page 520
A.2.7 (半世紀の休眠を経て) 有限群のスピン表現の理論 再生......Page 521
文献......Page 524
索引......Page 534
謝辞......Page 542
奥付......Page 543
1 INTRODUCTION......Page 545
2 The s-seminorm "026B30D w"026B30D s on a Coxeter group and problem setting......Page 546
3.1 Gelfand–Raikov representation......Page 547
3.3 Partial orders for positive definite functions and subrepresentations......Page 548
4.2 Induced representations and GR representations......Page 549
5.1 Isomorphism of fQ,F into the direct sum F' F IndWF'W 1WF'......Page 550
5.3 Isomorphism of fQ,F with IndWFW 1WF for an F finite......Page 551
6.1 Cyclic subrepresentation of a finite direct sum of representations......Page 552
6.2 The cyclic part of (IndH1G 1H1) (IndH2G 1H2)......Page 554
7.1 GR representations and induced representations......Page 555
7.2 Induced representation s and subrepresentation of s=1W s......Page 556
8 The Case of finite Coxeter groups (W,S)......Page 557
9.2.1 Intertwining operators between i=IndHiG 1Hi (i=1,2)......Page 558
9.2.2 The case of a Coxeter group W and WFi="426830A SFi"526930B (i=1,2)......Page 559
11 The case of hyperbolic Coxeter groups......Page 560
11.2 The case of non-compact hyperbolic Coxeter groups......Page 561
References......Page 562
[Hir1]T. Hirai, Some aspects in the theory of representations of discrete groups, Japan. J. Math., 16(1990), 197-268......Page 565
[Hir2]T. Hirai, Construction of irreducible unitary representations of the infinite symmetric group mathfrak{S}_infty, J. Math. Kyoto Univ., 31(1991), 495-541......Page 637
[平井1]平井武, Frobeniusによる「群の指標と表現」の研究(その1), 津田塾大学数学・計算機科学研究所報，第15回数学史シンポジウム(2004.10.16〜17), 26(2005)......Page 684
[平井1]平井武, Frobeniusによる「群の指標と表現」の研究(その2), 津田塾大学数学・計算機科学研究所報，第16回数学史シンポジウム(2005.10.15〜16), 27(2006)......Page 703
[平井1]平井武, Frobeniusによる「群の指標と表現」の研究(その3), 津田塾大学数学・計算機科学研究所報，第17回数学史シンポジウム(2006.10.14〜15), 28(2007)......Page 718
[平井1]平井武, Frobeniusによる「群の指標と表現」の研究(その4), 津田塾大学数学・計算機科学研究所報，第18回数学史シンポジウム(2007.10.27〜28), 29(2008)......Page 747
[平井2]平井武, Schurの表現論の仕事(射影表現3部作), そのI, 津田塾大学数学・計算機科学研究所報，第19回数学史シンポジウム(2008.10.11〜12), 30(2009)......Page 766
[平井2]平井武, Schurの表現論の仕事(射影表現3部作), そのII, 津田塾大学数学・計算機科学研究所報，第20回数学史シンポジウム(2009.10.17〜18), 31(2010)......Page 795
[平井3]平井武, 対称群の線形表現の性質, スピン表現の性質に関するSchurの2論文について, 津田塾大学数学・計算機科学研究所報，第26回数学史シンポジウム(2015.10.10〜11), 37(2016)......Page 804
[Hir3]T. Hirai, Centralization of positive definite functions, weak containment of representations and Thoma characters for the infinite symmetric group, J. Math. Kyoto Univ., 44(2004), 685-713......Page 823
[Hir4]T. Hirai, Classical method of constructing all irreducible representations of semidirect product of a compact group with a finite group, Probability and Math. Statistics, 33(2013), 353-362......Page 853
[HH1]T. Hirai and E. Hirai, Characters for the infinite Weyl groups of type B_infty／C_infty and D_infty, and for analogous groups, in 'Non-commutativity, infinite-dimensionality and probability at the crossroad'......Page 863
[HH2]T. Hirai and E. Hirai, Character formula for wreath products of finite groups with the infinite symmetric group, 2005......Page 885
[HH3]T. Hirai and E. Hirai, Characters of wreath products of finite groups with the infinite symmetric group, J. Math. Kyoto Univ., 45(2005), 547-597......Page 907
[HH4]T. Hirai and E. Hirai, Character formula for wreath products of compact groups with the infinite symmetric group, 2006......Page 958
[HH5]T. Hirai and E. Hirai, Positive definite class functions on a topological group and characters of factor representations, J. Math. Kyoto Univ., 45(2005), 355-379......Page 974
[HH6]T. Hirai and E. Hirai, Characters of wreath products of compact groups with the infinite symmetric group and characters of their canonical subgroups, J. Math. Kyoto Univ., 47(2007), 269-320......Page 999
[HHH1]T. Hirai and E. Hirai and A. Hora, Realization of factor representations of finite type with emphasis on their characters for wreath products of compact groups with the inifinite symmetric group......Page 1051
[HHH2]T. Hirai and E. Hirai and A. Hora, Towards projective representations and spin characters of finite and infinite complex reflection groups, 2009......Page 1083
[HHH3]A. Hora, T. Hirai and E. Hirai, Limits of characters of wreath products Sn(T) of a compact group T with the symmetric groups and characters of S∞(T), I, Nagoya. Math. J, 193(2009), 1-93......Page 1102
[HHH4]T. Hirai, E. Hirai and A. Hora, Projective representations and spin characters of complex reflection groups G(m, p, n) and G(m, p,∞), I, in MSJ Memoirs, Vol. 29, Math. Soc. Japan, 2013, pp.49-122......Page 1195
[HHo1]T. Hirai and A. Hora, Spin representations of twisted central products of double covering finite groups and the case of permutation groups, J. Math. Soc. Japan, 66(2014), 1191-1226......Page 1269
[HHo2]T. Hirai, A. Hora, Projective representations and spin characters of complex reflection groups G(m, p, n) and G(m, p,∞), III_arXiv[mathRT]1804.06063v1......Page 1305
[HHoH1]T. Hirai, A. Hora and E. Hirai, Introductory expositions on projective representations of groups, in MSJ Memoirs, Vol. 29, Math. Soc. Japan, 2013, pp.1-47......Page 1393
[HHoH2]T. Hirai, A. Hora and E. Hirai, Projective representations and spin characters of complex reflection groups G(m, p, n) and G(m, p,∞), II, Case of generalized symmetric groups, in MSJ Memoirs, Vol. 29, 2013......Page 1440
[HSTH] T. Hirai, H. Shimomura, N. Tatsuuma and E. Hirai, Inductive limits of topologies, their direct products, and problems related to algebraic structures, J. Math. Kyoto Univ., 41(2001), 475-505......Page 1590
[HoHH]A. Hora, T. Hirai and E. Hirai, Limits of characters of wreath products Sn(T) of a compact group T with the symmetric groups and characters of S∞(T), II, J. Math. Soc. Japan, 60(2008), 1187-1217......Page 1621
[HoH]A.Hora and T.Hirai, Harmonic functions on branching graph associated with the infinite wreath product of a compact group, Kyoto J. Math., 54(2014), 775-817......Page 1652
[平井4]平井武, 群の表現論草創期における T.Molien の仕事と Frobenius, 津田塾大学数学・計算機科学研究所報，第21回数学史シンポジウム(2010.10.9〜10), 32(2011)......Page 1688
[平井5]平井武, (Benjamin)Olinde Rodrigues(1795-1851)の業績について－とくに「空間の運動の記述」に関して－, 津田塾大学数学・計算機科学研究所報，第22回数学史シンポジウム(2011.10.29〜30), 33(2012)......Page 1707
平井武, 群の表現の指標について(経験よりの管見), 津田塾大学数学・計算機科学研究所報, 第12回数学史シンポジウム(2001.10.20〜21), 23(2002)......Page 1728
平井武, 対称群の指標に関するFrobenius,Schurの仕事, 津田塾大学数学・計算機科学研究所報, 第13回数学史シンポジウム(2002.10.19〜20), 24(2003)......Page 1739
平井武, Schurの学位論文および対称群の表現, 津田塾大学数学・計算機科学研究所報，第14回数学史シンポジウム(2003.10.25〜26), 25(2004)......Page 1745
平井武, 群のスピン表現(射影表現)の歴史概観(付 年表), 津田塾大学数学・計算機科学研究所報，第23回数学史シンポジウム(2012.10.13〜14), 34(2013)......Page 1754
平井武, A.H.Clifford (1908-1992) の「群の表現論」に関する業績, 津田塾大学数学・計算機科学研究所報，第24回数学史シンポジウム(2013.10.12〜13), 35(2014)......Page 1775
平井武, 対象群のスピン表現：Schur(1911)の研究,Morris(1962)以降の研究, 津田塾大学数学・計算機科学研究所報，第25回数学史シンポジウム(2014.10.11〜12), 36(2015)......Page 1805
平井武, Schur の３論文[S51],[S52],[S53]とWeylの論文[W61]について, 津田塾大学数学・計算機科学研究所報，第27回数学史シンポジウム(2016.10.8〜9), 38(2017)......Page 1824
平井武 Schur の単位円盤上の有界冪級数に関する結果と純粋数学以外への応用, 津田塾大学数学・計算機科学研究所報，第28回数学史シンポジウム(2017.10.14〜15), 39(2018)......Page 1842
