Zu Recht wird Albert Einsteins Entdeckung der Allgemeinen Relativitätstheorie bewundert, denn ihre Erkenntnisse haben unseren Blick auf das Universum grundlegend verändert. Aus mathematischer Perspektive basiert die Theorie auf zentralen Aussagen der Riemann’schen Geometrie. Dieses Buch liefert eine didaktisch aufbereitete und interdisziplinäre Einführung in die Geometrie der Allgemeinen Relativitätstheorie. Ausgehend von Einsteins typischen Überlegungen und Gedankenexperimenten werden die Prinzipien der Relativitätstheorie erarbeitet und mit den zugrundeliegenden mathematischen Konzepten der Differentialgeometrie verknüpft.
Der Autor bietet durch die Verbindung beider Fachdisziplinen sowohl für Studierende der Physik als auch der Mathematik die Möglichkeit, in eine der faszinierendsten Theorien der Physik einzutauchen.
Author(s): Lukas Scharfe
Series: BestMasters
Edition: 1
Publisher: Springer Fachmedien
Year: 2023
Language: German
Pages: 188
City: Wiesbaden, Germany
Tags: Allgemeine Relativitätstheorie, Mannigfaltigkeiten, Differentialgeometrie, Tensoren
Danksagung
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Tabellenverzeichnis
1 Einleitung
2 Der Weg zur Relativitätstheorie
2.1 Newtons Gravitationstheorie
2.2 Inertialsysteme und Relativitätsprinzip
2.3 Galilei-Transformation
2.3.1 Grenzen der Galilei-Transformationen
3 Spezielle Relativitätstheorie
3.1 Die Raumzeit der SRT
3.1.1 Minkowski-Raum
3.1.2 Lorentz-Transformation
3.1.3 Relativität der Gleichzeitigkeit und der Lichtkegel
3.2 Vektoren und Tensoren
3.2.1 Vektoren im Minkowski-Raum
3.2.2 Kovektoren im Minkowski-Raum
3.2.3 Tensoren
3.2.4 Tensoren im Minkowski-Raum
3.3 Folgerungen der SRT
3.3.1 Relativistische Mechanik
3.3.2 Kovariante Formulierung der Maxwell-Gleichungen
4 Grundideen der Allgemeinen Relativitätstheorie
4.1 Analogie zur Elektrodynamik
4.2 Äquivalenzprinzip
4.3 Gravitation und die Krümmung des Raums
4.3.1 Messmethoden der Krümmung
5 Differentialgeometrie: Mannigfaltigkeiten und Tensoren
5.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
5.2 Tangentialraum
5.3 Vektoren und Tensoren auf Mannigfaltigkeiten
5.3.1 Vektorfelder
5.3.2 Lie-Klammer
5.3.3 Kovektorfelder
5.3.4 Tensorfelder
5.3.5 Transformationsgesetze
5.4 Pseudo-Riemann'sche Mannigfaltigkeiten
6 Differentialgeometrie: Krümmung und Geodäten
6.1 Kovariante Ableitung
6.1.1 Levi-Civita-Zusammenhang
6.1.2 Paralleltransport
6.2 Geodäten und Geodätengleichung
6.2.1 Exponentialabbildung
6.3 Krümmung
6.3.1 Riemann'scher Krümmungstensor
6.3.2 Eigenschaften des Krümmungstensors
6.3.3 Ricci-Tensor und Krümmungsskalar
7 Allgemeine Relativitätstheorie
7.1 Kovarianzprinzip
7.2 Energie-Impuls-Tensor
7.3 Einstein'sche Feldgleichungen
7.3.1 Newton'scher Grenzfall
7.3.2 Struktur der Feldgleichungen
7.3.3 Feldgleichung mit kosmologischer Konstante
7.4 Die kugelsymmetrische Lösung
7.4.1 Eigenschaften der Schwarzschild-Metrik
7.5 Effekte der ART
7.5.1 Rotverschiebung
7.5.2 Bewegungsgleichung im Gravitationsfeld
7.5.3 Periheldrehung
7.5.4 Lichtablenkung
7.5.5 Schwarzschild-Radius als Ereignishorizont
8 Fazit und Ausblick
A Anhang
A.1 Christoffel-Symbole und Ricci-Tensor der Schwarzschild-Metrik
A.2 Parametrisierte Lösung für den Fall in ein schwarzes Loch
Literaturverzeichnis
