Книга представляет собой курс линейной алгебры и геометрии, основанный на лекциях, которые на протяжении многих лет читались одним из авторов на механико-математическом факультете Московского государственного университета.
Изложение предмета начинается с теории линейных уравнений и матриц и далее ведется на языке векторных пространств. В книге также изложена теория аффинных и проективных пространств. Кроме того, включены некоторые темы, естественно примыкающие к линейной алгебре, но обычно в таких курсах не рассматриваемые: внешние алгебры, геометрия Лобачевского, топологические свойства проективных пространств, теория квадрик в многомерных аффинных и проективных пространствах, разложения конечных абелевых групп и конечнопорожденных периодических модулей (аналогичные теореме о жордановой нормальной форме линейного преобразования). Изложение сопровождается примерами, иллюстрирующими применение изучаемой теории. Рассматриваются ее связи с другими разделами математики, включая теорию дифференциальных уравнений, дифференциальную геометрию и механику.
Книга рассчитана на студентов и преподавателей математических и физико-математических специальностей.
Рекомендовано Научно-методическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 0101 — «Математика» и 0107 — «Физика».
Author(s): Шафаревич И. Р., Ремизов А. О.
Publisher: Физматлит
Year: 2009
Language: Russian
Pages: 513
City: Москва
Оглавление......Page 4
Предисловие......Page 7
§ 1. Множества и отображения......Page 8
§ 2. Некоторые топологические понятия......Page 14
§ 1.1. Линейные уравнения и функции......Page 20
§ 1.2. Метод Гаусса......Page 25
§ 1.3. Примеры......Page 33
§ 2.1. Определители второго и третьего порядков......Page 41
§ 2.2. Определители произвольного порядка......Page 46
§ 2.3. Характеристика определителя его свойствами......Page 52
§ 2.4. Разложение определителя по столбцу......Page 54
§ 2.5. Правило Крамера......Page 57
§ 2.6. Перестановки, симметрические и антисимметрические функции......Page 59
§ 2.7. Полное развертывание определителя......Page 65
§ 2.8. Ранг матрицы......Page 68
§ 2.9. Операции над матрицами......Page 74
§ 2.10. Обратная матрица......Page 84
§ 3.1. Определение векторного пространства......Page 91
§ 3.2. Размерность и базис......Page 98
§ 3.3. Линейные преобразования векторных пространств......Page 112
§ 3.4. Замена координат......Page 117
§ 3.5. Изоморфизм векторных пространств......Page 121
§ 3.6. Ранг линейного преобразования......Page 127
§ 3.7. Сопряженное пространство......Page 130
§ 3.8. Формы и многочлены от векторов......Page 137
§ 4.1. Собственные векторы и инвариантные подпространства......Page 142
§ 4.2. Комплексные и вещественные пространства......Page 150
§ 4.3. Комплексификация......Page 157
§ 4.4. Ориентация вещественного пространства......Page 162
§ 5.1. Корневые векторы и циклические подпространства......Page 169
§ 5.2. Жорданова нормальная форма (разложение)......Page 173
§ 5.3. Жорданова нормальная форма (единственность)......Page 177
§ 5.4. Вещественные векторные пространства......Page 180
§ 5.5. Приложения......Page 183
§ 6.1. Основные определения......Page 197
§ 6.2. Приведение к каноническому виду......Page 203
§ 6.3. Комплексные, вещественные и эрмитовы формы......Page 209
§ 7.1. Определение евклидова пространства......Page 218
§ 7.2. Ортогональные преобразования......Page 227
§ 7.3. Ориентация евклидова пространства......Page 233
§ 7.4. Примеры......Page 237
§ 7.5. Симметрические преобразования......Page 248
§ 7.6. Приложения к механике и геометрии......Page 258
§ 7.7. Псевдоевклидовы пространства......Page 269
§ 7.8. Лоренцевы преобразования......Page 279
§ 8.1. Определение аффинного пространства......Page 291
§ 8.2. Аффинные подпространства......Page 296
§ 8.3. Аффинные преобразования......Page 302
§ 8.4. Евклидовы аффинные пространства и движения......Page 310
§ 9.1. Определение проективного пространства......Page 319
§ 9.2. Проективные преобразования......Page 328
§ 9.3. Двойное отношение......Page 334
§ 9.4. Топологические свойства проективных пространств......Page 338
§ 10.1. Плюккеровы координаты подпространства......Page 347
§ 10.2. Соотношения Плюккера и грассманианы......Page 351
§ 10.3. Внешнее произведение векторов......Page 355
§ 10.4. Внешняя алгебра......Page 364
§ 10.5. Приложения......Page 371
§ 11.1. Квадрики в проективном пространстве......Page 380
§ 11.2. Квадрики в комплексном проективном пространстве......Page 389
§ 11.3. Изотропные подпространства......Page 392
§ 11.4. Квадрики в вещественном проективном пространстве......Page 403
§ 11.5. Квадрики в вещественном аффинном пространстве......Page 408
§ 11.6. Квадрики в аффинном евклидовом пространстве......Page 419
§ 11.7. Квадрики на вещественной плоскости......Page 422
Глава 12. Геометрия Лобачевского......Page 427
§ 12.1. Пространство Лобачевского......Page 428
§ 12.2. Аксиомы геометрии на плоскости......Page 437
§ 12.3. Некоторые формулы геометрии Лобачевского......Page 448
§ 13.1. Группы и гомоморфизмы......Page 459
§ 13.2. Разложение конечных абелевых групп......Page 467
§ 13.3. Единственность разложения......Page 472
§ 13.4. Конечнопорожденные периодические модули над евклидовым кольцом......Page 474
§ 14.1. Основные понятия теории представлений......Page 486
§ 14.2. Представления конечных групп......Page 492
§ 14.3. Неприводимые представления......Page 497
§ 14.4. Представления коммутативных групп......Page 499
Историческая справка......Page 503
Список литературы......Page 505
Предметный указатель......Page 507
