Mathematische Begabung in der Sekundarstufe: Modellierung, Diagnostik, Förderung

Hinweis der Herausgeber
Inhaltsverzeichnis
1 Modelle für (mathematische) Begabung
1.1 Ein fachbezogenes Modell für mathematische Begabung
1.1.1 Mathematisches Denken
1.1.1.1 Prozessbezogenes Denken
Experimentierendes Denken
Begriffsbildendes Denken
Modellierendes Denken
Problemlösendes Denken
Schlussfolgerndes Denken
Unterscheidung von Voraussetzung und Folgerung
Beweis durch direkte Schlüsse
Widerspruchsbeweis
Beweis der Kontraposition
Existenzbeweis durch Konstruktion
Widerlegung durch ein Gegenbeispiel
Funktionen schlussfolgernden Denkens
Formales Denken
Algorithmisches Denken
Theoriebildendes Denken
Verwobenheit prozessbezogenen Denkens
1.1.1.2 Mathematikbezogene Informationsbearbeitung
Mathematisches Wahrnehmen
Operieren mit mathematischen Objekten
Denken mit mathematischen Mustern
Muster: Kommutativität der Multiplikation
Muster: Lösungen quadratischer Gleichungen
Muster: Anzahl von Permutationen
Muster als Werkzeuge des Denkens
Flexibles Denken
Mathematisch kreatives Denken
Nutzen von Darstellungen
Speichern und Abrufen mathematischen Wissens
Verwobenheit mathematikbezogener Informationsbearbeitung
1.1.1.3 Inhaltsbezogenes Denken
Numerisches Denken
Geometrisches Denken
Begriffsbildung zu Figuren und Körpern
Messen von Flächen und Volumina
Raumvorstellung
Algebraisches Denken
Mit Variablen denken
Mit Termen denken
Mit Gleichungen denken
Mit algebraischen Strukturen denken
Funktionales Denken
Phänomene mit Funktionen bearbeiten
Mit Darstellungsformen von Funktionen umgehen
Grundvorstellungen zu Funktionen nutzen
Förderung funktionalen Denkens als Ziel des Mathematikunterrichts
Stochastisches Denken
Vernetzungen bei stochastischem Denken
Verwobenheit inhaltsbezogenen Denkens
1.1.2 Mathematische Fähigkeiten
1.1.3 Mathematische Begabung
1.1.4 Mathematische Leistung
1.1.5 Modell für die Entwicklung von Begabung, Fähigkeiten und Leistung
1.1.5.1 Lernen als Kernprozess der Entwicklung von Fähigkeiten
1.1.5.2 Die Dynamik von Begabung und Fähigkeiten
1.1.5.3 Persönlichkeitsmerkmale und -zustände
Interesse, Motive und Motivation
Emotion
Selbstregulation
Selbstkonzept
Soziale Kompetenzen
1.1.5.4 Die Person als Ganzes
1.1.5.5 Umweltmerkmale
Familie
Unterricht, Klasse, Schule
Peergroup
Medien
Gesellschaft
1.1.5.6 Das Spannungsfeld von genetischen Anlagen, Umwelteinflüssen und persönlicher Freiheit
1.1.5.7 Leistung und Leistungsbewertung
1.1.5.8 Weitere Wirkungen
1.1.5.9 Nutzen dieses Modells in der Schule
1.2 Modelle und Konzepte für Begabung aus der Psychologie und der Pädagogik
1.2.1 Der Intelligenzquotient
1.2.1.1 Intelligenztests und der IQ
1.2.1.2 Definition von Begabung auf Basis des IQ
1.2.1.3 Bezug zum Modell für mathematische Begabung
1.2.2 Drei-Ringe-Modell von Renzulli
1.2.2.1 Überdurchschnittliche Fähigkeiten
1.2.2.2 Aufgabenzuwendung
1.2.2.3 Kreativität
1.2.2.4 Begabung im Schnittbereich der drei Ringe
1.2.2.5 Bereichsspezifische Begabung
1.2.2.6 Interaktion mit allgemeinen Persönlichkeitseigenschaften und der sozialen Umwelt
1.2.2.7 Bezug zum Modell für mathematische Begabung
1.2.3 Triadisches Interdependenz-Modell von Mönks
1.2.3.1 Beschreibung des Modells
1.2.3.2 Bezug zum Modell für mathematische Begabung
1.2.4 Münchner Hochbegabungsmodell von Heller
1.2.4.1 Beschreibung des Modells
1.2.4.2 Bezug zum Modell für mathematische Begabung
1.2.5 Münchner dynamisches Begabungs-Leistungs-Modell von Perleth
1.2.5.1 Beschreibung des Modells
1.2.5.2 Bezug zum Modell für mathematische Begabung
1.2.6 „Differentiated Model of Giftedness and Talent“ und „Comprehensive Model of Talent Development“ von Gagné
1.2.6.1 Differentiated Model of Giftedness and Talent (DMGT)
Unterscheidung zwischen Begabungen und Talenten
Entwicklung von Talenten und zugehörige Katalysatoren
Rolle des Zufalls bei Entwicklungen
1.2.6.2 Comprehensive Model of Talent Development (CMTD)
1.2.6.3 Bezug zum Modell für mathematische Begabung
1.2.7 Theorie der multiplen Intelligenzen von Gardner
1.2.7.1 Kritik an der Aussagekraft des IQ
1.2.7.2 Induktiver Weg zur Modellierung des menschlichen Intellekts
1.2.7.3 Multiple Intelligenzen
1.2.7.4 Bezug zum Modell für mathematische Begabung
1.2.8 Person und Begabung nach Weigand
1.2.8.1 Anthropologische Grundlage: Der Mensch als Person
1.2.8.2 Der Personbegriff als Grundlage für Bildungs- und Erziehungsprozesse
1.2.8.3 Begabung als Potenzial zum Leben als Person
1.2.8.4 Personorientierte Begabungsförderung
1.2.8.5 Bezug zum Modell für mathematische Begabung
1.3 Modelle für Begabung aus der Fachdidaktik Mathematik
1.3.1 Modell mathematischer Begabungsentwicklung im Grundschulalter von Käpnick und Fuchs
1.3.1.1 Unterscheidung von Kompetenz und Performanz
1.3.1.2 Modell mathematischer Begabungsentwicklung
1.3.1.3 Bezug zum Modell für mathematische Begabung
1.3.2 Modell zur Entwicklung mathematischer Expertise von Fritzlar
1.3.2.1 Grundlagen für die Entwicklung mathematischer Expertise
1.3.2.2 Entwicklung von Fähigkeiten, Wissen und Leistungen
1.3.2.3 Bezug zum Modell für mathematische Begabung
Literatur
2 Diagnostik mathematischer Begabung
2.1 Grundlagen der pädagogischen Diagnostik
2.1.1 Begriffsklärung
2.1.1.1 Pädagogische Diagnostik
2.1.1.2 Vergleich pädagogischer und psychologischer Diagnostik
2.1.1.3 Bezug zur Diagnostik mathematischer Begabung
2.1.2 Der diagnostische Prozess
2.1.2.1 Phasen des diagnostischen Prozesses
2.1.2.2 Bezug zur Diagnostik mathematischer Begabung
2.1.3 Zielsetzungen, Strategien und Verfahren pädagogischer Diagnostik
2.1.3.1 Zielsetzungen
Beschreibung und Klassifikation
Erklärung
Prognose
Evaluation von Interventionen
Abgrenzung der Zielsetzungen
2.1.3.2 Strategien
Status-/Ergebnisdiagnostik vs. Prozess-/Veränderungsdiagnostik
Norm- vs. kriterienorientierte Diagnostik
Dimensionale vs. klassifikatorische Diagnostik
Unimethodale vs. multimethodale Diagnostik
Multistrategisches Vorgehen
2.1.3.3 Verfahren
Mündliche und schriftliche Befragungsverfahren
Verhaltensbeobachtung
Testverfahren
Dokumentenanalyse
2.1.3.4 Bezug zur Diagnostik mathematischer Begabung
2.1.4 Merkmale diagnostischer Urteile
Bezug zur Diagnostik mathematischer Begabung
2.1.5 Gütekriterien
2.1.5.1 Hauptgütekriterien
Objektivität
Reliabilität
Validität
Hierarchische Beziehung zwischen den drei Hauptgütekriterien
2.1.5.2 Nebengütekriterien
2.1.5.3 Effektivität, Effizienz und Spezifität
2.1.5.4 Kritische Würdigung der Gütekriterien im Rahmen der pädagogischen Diagnostik
2.2 Verfahren zum Diagnostizieren mathematisch begabter Schüler
2.2.1 Ein Modell zur Strukturierung unterschiedlicher Verfahren
2.2.1.1 Die Dimensionen des Strukturmodells
Modellkomponente, Strategie und Beurteilung
Weitere Ausdifferenzierungen möglich
2.2.1.2 Die Funktionen des Strukturmodells
2.2.2 Mündliche und schriftliche Befragungsverfahren
2.2.2.1 Interviews
Verschiedene Arten von Interviews
Diagnostische Eignung von Interviews
Einordnung in das Strukturmodell
Beispiele
2.2.2.2 Fragebogen
Einordnung in das Strukturmodell
Eignung zur Diagnostik mathematischer Begabung
Beispiele
2.2.3 Verhaltensbeobachtungen
2.2.3.1 Grundlegende Überlegungen
Einordnung in das Strukturmodell
Distale und proximale Merkmale
Verhaltenskodierung
Typische Fehler
2.2.3.2 Lehrerbeobachtung
Einordnung in das Strukturmodell
Freie Beobachtungen
Lehrernomination
Lehrerchecklisten
„Lokale“ Urteile
Beispiele
2.2.3.3 Elternbeobachtung
Einordnung in das Strukturmodell
Nomination durch Eltern
Elternchecklisten
Beispiele
2.2.3.4 Beobachtung durch Peers
Einordnung in das Strukturmodell
Nomination durch Peers
Checklisten für Peers
2.2.3.5 Selbstbeobachtung
Einordnung in das Strukturmodell
Selbstnomination
Wege zur Anregung einer Selbstbeobachtung
2.2.4 Testverfahren
2.2.4.1 Grundlegende Überlegungen
Verschiedene Arten von Tests
Einordnung in das Strukturmodell
Kritische Betrachtung von Testverfahren
2.2.4.2 Intelligenztests
Eignung aufgrund der Aufgabeninhalte
Eignung aufgrund des Aufgabenformats
Eignung aufgrund der Aufgabenschwierigkeit
Empirische Befunde
Fazit
2.2.4.3 Indikatoraufgaben
Indikatoraufgaben aus Intelligenztests
Indikatoraufgaben aus vorhandenen Instrumenten
Mögliche Lösungen der Aufgabe
Messung mathematischer Kreativität
Überprüfung der Charakteristika einer Indikatoraufgabe
Indikatoraufgaben aus Schulbüchern, Fördermaterialien und Mathematikwettbewerben
Erläuterungen zur Aufgabenstellung
Überprüfung der Charakteristika einer Indikatoraufgabe
Variation der Aufgabenschwierigkeit
Lösungsskizze
Überprüfung der Charakteristika einer Indikatoraufgabe
Hinweise zur selbstständigen Gestaltung
2.2.4.4 Schulische Leistungsbeurteilungen
Unterschiedliche Formen schulischer Leistungsbeurteilung
Mündliche und schriftliche Prüfungen
Schulleistungstests und Vergleichsarbeiten
2.2.4.5 Mathematikwettbewerbe
Arten von Mathematikwettbewerben
Einordnung in das Strukturmodell
Eignung zur Diagnostik mathematischer Begabung
2.2.4.6 Weitere Tests zu Persönlichkeitsmerkmalen und -zuständen
2.2.5 Dokumentenanalyse
2.2.5.1 Lerntagebuch
Einordnung in das Strukturmodell
Eignung zur Diagnostik mathematischer Begabung
2.2.5.2 Weitere durch Schüler erstellte Dokumente
2.2.5.3 Durch andere Personen erstellte Dokumente
2.3 Vorgehen für die Diagnostik mathematischer Begabung
2.3.1 Sequenzielles Vorgehen
2.3.1.1 Screening
2.3.1.2 Statusdiagnostik
2.3.1.3 Prozessdiagnostik
2.3.2 Begründung des Vorgehens
2.3.3 Einflussfaktoren auf das diagnostische Vorgehen
2.3.4 Mathematiklehrkräfte als Diagnostiker
Literatur
3 Förderung mathematischer Begabung
3.1 Grundlagen zu Lernen und Differenzierung
3.1.1 Lernen und Lernumgebungen
3.1.1.1 Aspekte des Lernens
Lernen – ein neuronaler Prozess
Lernen – ein konstruktiver Prozess
Lernen – ein individueller Prozess
Lernen – ein aktiver Prozess
Lernen – ein selbstregulierter Prozess
Lernen – ein situativer Prozess
Lernen – ein sozialer Prozess
Lernen erfolgt über Beispiele
3.1.1.2 Modell der Lernumgebungen
3.1.2 Ein Theorierahmen für Differenzierung
3.1.2.1 Diversität von Lerngruppen
3.1.2.2 Differenzierung
3.1.2.3 Differenzierungsziele
3.1.2.4 Differenzierungsaspekte
3.1.2.5 Differenzierungsorganisation
3.1.2.6 Differenzierungsformate
3.1.3 Akzeleration und Enrichment
3.1.3.1 Akzeleration: früheres oder schnelleres Lernen
3.1.3.2 Enrichment: mehr Tiefe oder mehr Breite beim Lernen
3.1.3.3 Akzeleration und Enrichment unter der Perspektive der Differenzierung
3.2 Förderung im regulären Mathematikunterricht
3.2.1 Präzisiertes Begriffsbilden
3.2.1.1 Begriffsbildung: Grenzwerte von Funktionen
3.2.1.2 Begriffsbildung: Stetigkeit
3.2.1.3 Begriffsbildung: Bestimmtes Integral
3.2.1.4 Einbettung in den Mathematikunterricht
3.2.2 Verallgemeinertes Begriffsbilden
3.2.2.1 Begriffsbildung: Vektor und Vektorraum
Geometrischer Vektorbegriff mit Pfeilmengen
Geometrischer Vektorbegriff mit Verschiebungen
Arithmetischer Vektorbegriff
Physikalischer Vektorbegriff
Algebraischer Vektorbegriff
3.2.2.2 Begriffsbildung: Skalarprodukt
3.2.2.3 Einbettung in den Mathematikunterricht
3.2.3 Präzisiertes Begründen und Beweisen
3.2.3.1 Fläche von Parallelogrammen
3.2.3.2 Sinussatz
3.2.3.3 Ableitung der Sinusfunktion
3.2.3.4 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
3.2.3.5 Einbettung in den Mathematikunterricht
3.2.4 Mathematisches Experimentieren
3.2.4.1 Kombinatorisch forschen: Das MISSISSIPPI-Problem
3.2.4.2 Umkreise von Vierecken
3.2.4.3 Die Potenz 00
3.2.4.4 Einbettung in den Mathematikunterricht
3.2.4.5 Natürliche Differenzierung
Aufgaben für natürliche Differenzierung
Unterrichtsmethodik für natürliche Differenzierung
Aspekte der Unterrichtsvorbereitung und Unterrichtsgestaltung
3.2.5 Formales Denken mit differenzierter Komplexität
3.2.5.1 Formale algebraische Operationen erhöhter Komplexität
Gliedern von Termen
Lösen von Gleichungen
Ableiten von Funktionen
3.2.5.2 Formales Denken in inhaltlichen Kontexten: Kegel und ihr Mantel
3.2.5.3 Einbettung in den Mathematikunterricht
Die Lehrkraft bietet Aufgaben unterschiedlicher formaler Komplexität an
Die Lehrkraft bietet Aufgaben an, die in unterschiedlicher formaler Komplexität bearbeitet werden können
Die Schüler stellen sich selbst Aufgaben unterschiedlicher formaler Komplexität
3.2.6 Modellieren mit differenzierter oder erhöhter Komplexität
3.2.6.1 Fermi-Aufgaben
Fermi-Aufgaben für die gesamte Klasse
Fermi-Aufgaben für Enrichment
3.2.6.2 Modellieren mit Methan-Molekülen
3.2.6.3 Modellieren zeitlicher Änderungen
3.2.6.4 Einbettung in den Mathematikunterricht
3.2.7 Lokales Theoriebilden
3.2.7.1 Eine Definition als Basis
3.2.7.2 Eigenschaften aus der Definition ableiten: Notwendige Bedingungen
3.2.7.3 Hinreichende Bedingungen
3.2.7.4 Äquivalente Charakterisierungen
3.2.7.5 Einordnung in Begriffsnetze
3.2.8 Einordnung in den Theorierahmen für Differenzierung
3.3 Schulische Förderung neben dem Mathematikunterricht
3.3.1 Das Drehtürmodell zur Begabtenförderung
3.3.2 Erarbeiten zusätzlicher mathematischer Gebiete
3.3.2.1 Beispiel: Komplexe Zahlen für Enrichment
3.3.2.2 Einführung komplexer Zahlen
3.3.2.3 Komplexe Zahlen als Punkte in der Zahlenebene
3.3.2.4 Komplexe Zahlen als Pfeile und Vektoren zur geometrischen Deutung der Grundrechenarten
3.3.2.5 Lösen quadratischer Gleichungen
3.3.2.6 Die Mandelbrot-Menge
3.3.3 Entwickeln und Implementieren von Algorithmen
3.3.3.1 Euklidischer Algorithmus für den ggT
3.3.3.2 Näherungsverfahren zur Bestimmung der Kreiszahl π
Bestimmung von π mit Methoden der Geometrie, Analysis und Stochastik
Das Verfahren von Cusanus
3.3.3.3 Numerische Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen von Funktionen
3.3.3.4 Numerische Integration
3.3.3.5 Darstellungen der Mandelbrot-Menge
3.3.4 Problemlösen mit Knobelaufgaben
3.3.4.1 Das Schubfachprinzip
Geometrische Formen als Schubfächer
Eigenschaften definieren Schubfächer
Reste als Schubfächer
3.3.4.2 Das Invarianzprinzip
Terme führen zu Invarianten
Geometrische Muster führen zu Invarianten
3.3.4.3 Das Extremalprinzip
Ein extremales Objekt als Lösung identifizieren
Mit einem extremalen Objekt eine Lösung entwickeln
3.3.5 Mathematische Forschungsprojekte
3.3.5.1 Forschendes Lernen
3.3.5.2 Dezimalbruchentwicklungen erforschen
Untersuchung der Reste beim schriftlichen Dividieren
Unterscheidung nach dem Verhalten der Folge der Reste
Fazit zum Beweis
Ausblick in die Algebra und Zahlentheorie
3.3.5.3 Längen von Funktionsgraphen erforschen
Approximation mit Streckenzügen und numerische Auswertung
Integraldarstellung der Länge eines Graphen
Beispiele
3.3.5.4 Modellieren und Optimieren
3.3.6 Mathematische Lektüre
3.3.6.1 Lektüre für Schüler ab der Sekundarstufe I
3.3.6.2 Lektüre zum Übergang „Schule – Hochschule“
3.3.6.3 Fachliteratur für das Mathematikstudium
3.3.7 Einordnung in den Theorierahmen für Differenzierung
Literatur
4 Begabung als Impuls für Unterrichts- und Schulentwicklung
4.1 Die Lehrkraft als Schlüsselperson für begabte Schüler
4.1.1 Entwicklungen in überschaubaren Handlungsfeldern der Unterrichtspraxis
4.1.2 Innovationen im komplexen System „Mathematikunterricht“
4.1.3 Entwicklung professioneller Kompetenz zur Diagnostik und Förderung mathematischer Begabung
4.2 Die Schule als Raum für die Entfaltung von Begabung
4.2.1 Systematische Diagnostik und Förderung mathematischer Begabung an einer Schule
4.2.2 Komponenten und Wege von Schulentwicklung
4.2.3 Personorientierte Schulentwicklung
4.2.4 Organisationsstruktur für Schulentwicklung
4.2.4.1 Team der Mathematiklehrkräfte
4.2.4.2 Steuergruppe
4.2.4.3 Einbezug weiterer Beteiligter
4.2.5 Prozessstruktur für Schulentwicklung
4.2.5.1 Bestandsaufnahme
4.2.5.2 Entwicklung und Vereinbarung von Zielen und Maßnahmen
4.2.5.3 Kooperative Umsetzung von Maßnahmen
4.2.5.4 Präsentation von Ergebnissen
4.2.5.5 Evaluation und Reflexion
4.2.6 Offene und forschende Haltung
4.3 Netzwerke zur Unterrichts- und Schulentwicklung
4.3.1 Kooperation mit Schulen
4.3.2 Kooperation mit Hochschulen
4.3.2.1 Förderung von Schülern
4.3.2.2 Schulentwicklung mit universitärer Begleitung
4.3.3 Kooperation mit Partnern außerhalb des (Hoch-)Schulsystems
4.3.4 Tim – ein Beispiel aus der Praxis
Literatur
Bisher erschienene Bände der Reihe Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II
Stichwortverzeichnis